高數測試題八（曲線積分與曲面積分部分）一、選擇題（每題5分，共25分）1、對于格林公式PdxQdy(QP)dxdy，下陳述法正確的選項是LDxy（C）AQPL取逆時針方向，函數P，Q在閉地區(qū)D上存在一階偏導數且yxBQPL取順時針方向，函數P，Q在閉地區(qū)D上存在一階偏導數且yxL為D的正向界限，函數P，Q在閉地區(qū)D上存在一階連續(xù)偏導數L取順時針方向，函數P，Q在閉地區(qū)D上存在一階連續(xù)偏導數2、取定閉曲面的外側，假如所圍成的立體的體積是V，那么曲面積分=V的是（D）xdydzydzdxzdxdyB(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdyC(xyz)(dydzdzdxdxdy)D1(xyz)(dydzdzdxdxdy)33、C為隨意一條不經過且不包括原點的正向圓滑簡單閉曲線，則xdyydxCx24y2=（B）A4B0C2D4、設為x2y2z2a2在zh(0ha)部分，則zdS=（B）2d02d0

a2h2r2rdr2da2h20a2B00ardra2h22a2h2a2h2ardrD0d0a2r2rdr5、設AP(x,y)iQ(x,y)j,(x,y)D，此中P，Q在地區(qū)D內擁有連續(xù)的一階偏導數，又L是D中任一曲線，則以下對于曲線積分的論斷，此中不正確的選項是（C）A假如Adl與路徑沒關，則在地區(qū)QPD內，必有LxyB假如Adl與路徑沒關，則在地區(qū)D內，必存在單值函數u(x,y)，L使得du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dyC假如在地區(qū)D內，QP，則必有Adl與路徑沒關xyLD假如對D中的每一條閉曲線C，恒有Adl0，則Adl與路徑無LL關二、填空題（每題5分，共25分）1、設C為依逆時針方向沿橢圓x2y21一周路徑，則a2b2(xy)dx(xy)dy=2abC2、設為球心在原點，半徑為R的球面的外側，在xdydzydzdxzdxdy=4R33、設C為圓周xacost,yasint(0t2)，則(x2y2)ds=2a3C4、設是由錐面zx2y2與半球面zR2x2y2圍成的空間地區(qū)，是的整個界限的外側，則xdydzydzdxzdxdy=(22)R35、設有力場F(x2y2)k(yixj)(y0)，已知質點在此力場內運動時，場力F所作的功與路徑的選擇沒關，則k=1三、計算題1、（8分）計算(xy)ds，此中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)為極點L的三角形的周界。(xy)dsOA(xy)ds(xy)ds(xy)ds解：LOBAB1112dx12xdxydy0002、（8分）計算(x2y2)dx(x2y2)dy，此中L為沿曲線y11xL從點O（0，0）到B（2，0）一段。x0x1解：y11x2x1x2

LOAAB(x2y2)dx(x2y2)dy1xx2x2)dx0(x22L2(2x2)[x(2x)2]}dx4{x22133、（8分）計算Ixdyydx，此中C是沿曲線22(y2)從點Cx2y2xA(22,2)到點B(22,2)的一段。解：利用格林公式，增補一段BA，由于QPy2x2xy(x2y2)2，((x,y)(0,0))，作包括（0，0）的協(xié)助閉曲線C1xcos,ysin，:20得xdyy0dxdy0，因此222dxCC1BA2xyxyDIxdyydx(xdyydxx2y2C1BA)x2y2Csin2)d22arctan2(cos2222dx2022x2224、（10分）設曲線積分xy2dxy(x)dy在全平面上與路徑沒關，此中L(x)(x)擁有一階連續(xù)導數，且(0)0，計算(1,1)y(x)dyxy2dx(0,0)解：Pxy2,Qy(x)，由條件知QP，得2xyyx( )，當y0xy時，(x)2x,(x)x2C.(0)0,(x)x2，取直線段OA:yx(0x1)，由O（0，0）到A（1，1）(1,1)y(x)dyxy2dxy(x)dy1xy2dx(0,0)OA25、（8分）計算(z2x4y)dS，此中為平面xyz1在第一3234卦限中的部分解：寫成z42x4y,zx2,zy433Dxy:0y33x,0x2，dS1zx2zy2dxdy61dxdy23(z2x4y)dS[(42x4y)(2x4y)]61dxdy3613Dxy33826（8分）設f(u)擁有連續(xù)導函數，計算曲面積分Ix3dydz[1f(y)y3]dzdx[1f(y)z3]dxdy，此中為zzyzx0的錐面x2y2z2與球面x2y2z21,x2y2z24所圍成立體表面的外側。Px3,Q1f