云南省昆明市高新技術產業(yè)開發(fā)區(qū)第三中學2023年高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某校周四下午第五、六兩節(jié)是選修課時間,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位教師可開課。已知甲、乙教師各自最多可以開設兩節(jié)課,丙、丁教師各自最多可以開設一節(jié)課.現(xiàn)要求第五、六兩節(jié)課中每節(jié)課恰有兩位教師開課(不必考慮教師所開課的班級和內容),則不同的開課方案共有（）種。A、20

B、19 C、16 D、15參考答案：B略2.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數f（x）=，稱為狄利克雷函數，則關于函數f（x）有以下四個命題：①f（f（x））=1；②函數f（x）是偶函數；③任意一個非零有理數T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；④存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A【考點】2K：命題的真假判斷與應用；5B：分段函數的應用．【分析】①根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1；②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點恰好構成等邊三角形．【解答】解：①∵當x為有理數時，f（x）=1；當x為無理數時，f（x）=0，∴當x為有理數時，ff（（x））=f（1）=1；當x為無理數時，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1，故①正確；②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，∴對任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；③若x是有理數，則x+T也是有理數；若x是無理數，則x+T也是無理數，∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個數是4個，故選：A．【點評】本題給出特殊函數表達式，求函數的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數、無理數的性質和函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．3.已知命題：“存在，使得”，則下列說法正確的是（

）A.是假命題；“任意，都有”

B.是真命題；“不存在，使得”C.是真命題；“任意，都有”

D.是假命題；“任意，都有”參考答案：C4.若直線被圓C：截得的弦最短，則直線的方程是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.設{}是公差為一2的等差數列，如果A．40

B．30

C．20

D．10參考答案：C6.已知方程的解為，則下列說法正確的是（

）A．

B.

C.

D.

參考答案：B7.函數f（x）的圖象關于y軸對稱，且對任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若當x∈（，）時，f（x）=（）x，則fA．﹣ B． C．﹣4 D．4參考答案：A【考點】函數的值．【分析】推導出f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），當x∈（，）時，f（x）=（）x，從而f=f（﹣1）=﹣f（2），由此能求出結果．【解答】解：∵函數f（x）的圖象關于y軸對稱，且對任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵當x∈（，）時，f（x）=（）x，∴f=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故選：A．8.已知滿足條件，則的最大值為（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A9.復數的虛部為

（

）

A．－l

B．－i

C．－

D．參考答案：C略10.設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（A）[1,3]

(B)[2,]

(C)[2,9]

(D)[,9]參考答案：【解析】本題考查線性規(guī)劃與指數函數。如圖陰影部分為平面區(qū)域M，顯然，只需要研究過、兩種情形。且即答案：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是

cm3．參考答案：4012.已知球的表面積為，是球面上的三點，點是的中點，，則二面角的正切值為

.

參考答案：13.設z=x+2y，其中實數x，y滿足，則z的取值范圍是_________。參考答案：

利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的四邊形，但目標函數過點（0,0）時，目標函數最小，當目標函數過點時最大值為.14.等差數列中，則該數列前十項的和

．參考答案：15.在邊長為2的等邊三角形中，，則向量在上的投影為______．參考答案：，為的中點，，，，則向量在上的投影為，故答案為．16.若的展開式中含x3的項為第6項，設（1﹣3x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則a1+a2+…+an的值為

．參考答案：﹣513【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】利用的展開式的通項，結合含x的項為第6項，確定n的值，再利用賦值法確定系數的和．【解答】解：的展開式的通項為Tr+1=（﹣1）rCnrx2n﹣3r，∵的展開式中含x3的項為第6項，∴r=5，且2n﹣3r=3，∴n=9，再令x=1，則a0+a1+a2+…+a9=（1﹣3）9=﹣512，令x=0，可得a0=1，∴a1+a2+…+an=﹣512﹣1=﹣513，故答案為：﹣513．【點評】本題考查二項展開式，考查系數和的計算，考查學生的計算能力，屬于基礎題．17.一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工

．參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數數列{}滿足（1）

求（2）

根據（1）猜想數列{}的通項公式，并證明；求證：參考答案：

19.已知函數.（1）討論函數f(x)的單調性；（2）若存在正數a，使得時，，求實數k的取值范圍.參考答案：（1）時，f(x)在上遞增；時，在上遞減，在上遞增.（2）或.【分析】（1）求得的導函數，將分成和兩種情況，討論的單調性.（2）將分成、和三種情況，結合（1）中的結論，化簡，然后利用構造函數法，結合導數，求得實數的取值范圍.【詳解】（1）.當時，，在上遞增.當時，令解得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增.（2），①當時，在上單調遞增，且，所以，所以，即，也即，令，則.因為，，所以，所以，所以在上遞增，，所以存在，在上成立.②當時，，由（1）知在上遞減，在上遞增，所以在上遞增，，所以，所以，即，也即.令，則.令，解得，因為，所以，所以在上遞減，，不符合.③當時，.因為在上遞減，在上遞增，存在，時，，所以，要使，只需，即.令，則，令，得.當時，，在上遞增，，不成立.當時，，存在，使得在上遞減，，成立.綜上所述，或.【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求解不等式成立時參數的取值范圍，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.20.（本小題滿分12分）已知等差數列{}的公差，它的前n項和為，若，且成等比數列，(Ⅰ)求數列{}的通項公式；(Ⅱ)若數列{}的前n項和為，求證：。參考答案：解：(Ⅰ)由已知，，又成等比數列，由且可解得，，故數列{}的通項公式為；(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)，，顯然，。略21.（14分）已知函數f（x）=xlnx﹣2x，g（x）=﹣ax2+ax﹣2，（a＞1）．（I）求函數f（x）的單調區(qū)間及最小值；（II）證明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．參考答案：見解析【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】常規(guī)題型；轉化思想；綜合法；導數的概念及應用．【分析】（I）首先對f（x）求導，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；即可得到單調區(qū)間與最值；（II）要證f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）﹣g（x），判斷h（x）的單調性即可．【解答】解：（I）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），∵f（x）=xlnx﹣2x，∴f'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；∴函數f（x）的單調增區(qū)間為（e，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，e）；∴函數f（x）的最小值為f（e）=elne﹣2e=﹣e；證明：（II）令h（x）=f（x）﹣g（x），∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）min≥0，x∈[1，+∞）．∵h（x）=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2，∴h'（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，令m（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，x∈[1，+∞），則m'（x）=+2a，∵x＞1，a＞1∴m'（x）＞0∴m（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴m（x）≥m（1）=a﹣1，即h'（x）≥a﹣1，∵a＞1，∴a﹣1＞0，∴h'（x）＞0∴h（x）=xlnx+ax2﹣2x+2在[1，+∞）上單調遞增，∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）﹣g（x）≥0，故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立．【點評】本題主要考查了利用導數研究函數的單調區(qū)間與最值，以及構造新函數證明恒成立問題，屬中等題．

22.小明打算從組和組兩組花樣滑冰動作中選擇一組參加比賽．已知小明選擇組動作的概率是選擇組動作的概率的3倍，若小明選擇組動作并正常發(fā)