專題2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,函數(shù)的最值是函數(shù)的一個重要性質(zhì),有些復(fù)雜的函數(shù)的最值,只能借助導(dǎo)數(shù)來求,高考常考題型一是給出確定函數(shù)或含有參數(shù)的函數(shù)求最值,二是求解不等式恒成立問題,常常利用函數(shù)的最值來求解,此類問題一般難度較大,多以壓軸題形式出現(xiàn).二、解題秘籍(一)求函數(shù)在區(qū)間上的最值一般地,如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值．求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值．【例1】（2022屆重慶市南開中學(xué)高三7月考試）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時,求在區(qū)間上的最值；（2）若在定義域內(nèi)有兩個零點,求的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)時,,,,,.（2）,則,∴在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,作出函數(shù)和得圖像,∴由圖象可得.(二)求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值,一般通過函數(shù)的研究函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定,若函數(shù)在某一區(qū)間上有唯一極值點,則該點處的極值一定是函數(shù)的最值.【例2】已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)g(x)＝eq\f(f（x）,x),x＞－1,且x≠0,證明：g(x)＜1.【分析】(1)f′(x)＝－xex.當(dāng)x∈(－∞,0)時,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,＋∞)時,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減．所以f(x)的最大值為f(0)＝0.(2)當(dāng)x＞0時,f(x)＜0,g(x)＜0＜1.當(dāng)－1＜x＜0時,g(x)＜1等價于f(x)＞x.設(shè)h(x)＝f(x)－x,則h′(x)＝－xex－1.當(dāng)x∈(－1,0)時,0＜－x＜1,0＜ex＜1,則0＜－xex＜1,從而當(dāng)x∈(－1,0)時,h′(x)＜0,h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減．所以當(dāng)－1＜x＜0時,h(x)＞h(0)＝0,即g(x)＜1.綜上,總有g(shù)(x)＜1.(三)含參數(shù)的函數(shù)的最值含參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出最值．含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區(qū)間,二是定極值點動區(qū)間,這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點的位置關(guān)系來分類討論．【例3】已知a∈R,函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－1.(1)當(dāng)a＝1時,求曲線y＝f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值．【分析】(1)f(x)＝eq\f(1,x)＋lnx－1,x∈(0,＋∞),f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x2),x∈(0,＋∞)．確定曲線y＝f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為x－4y＋4ln2－4＝0.(2)f′(x)＝－eq\f(a,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－a,x2),x∈(0,e]．令f′(x)＝0,得x＝a.根據(jù)a與(0,e]位置關(guān)系分類討論①若a≤0,則f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x)無最小值．②若0<a<e,則當(dāng)x∈(0,a)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a,e]時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,e]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝a時,函數(shù)f(x)取得最小值lna.③若a≥e,則當(dāng)x∈(0,e]時,f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x＝e時,函數(shù)f(x)取得最小值eq\f(a,e).綜上可知,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上無最小值；當(dāng)0<a<e時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為lna；當(dāng)a≥e時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為eq\f(a,e).(四)把不等式恒成立或有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題有些不等式恒成立或有解問題,常通過分類參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,常用結(jié)論是：若的值域為,則恒成立,有解.【例4】（2021屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三二模）已知函數(shù)（1）討論g(x)的單調(diào)性；（2）若,對任意恒成立,求a的最大值；【分析】對求導(dǎo),然后分及討論得出單調(diào)性情況；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為,設(shè),求出的單調(diào)性,可知當(dāng)時,,設(shè),則,易知函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,（e）,,即的最大值為．(五)根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值,通常情況是有最小值,但無法求出,這種情況下一般設(shè)出函數(shù)的極值點,把最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點的式子,根據(jù)極值所在范圍,確定最小值的大致范圍,由此確定整數(shù)a的最大值.【例5】已知.（1）求的最小值；（2）若對任意都成立,求整數(shù)的最大值.【分析】（1）根據(jù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取唯一的極小值,也是最小值（2）（注意）,記,則考查函數(shù),,在定義域上單調(diào)遞增.顯然有,,所以存在唯一的使得.在上,,單調(diào)遞減；在上,,單調(diào)遞增.所以在取唯一的極小值也是最小值,注意此時,所以,所以整數(shù)的最大值可以取3三、典例展示【例1】（2022屆重慶市清華中學(xué)高三上學(xué)期7月月考）已知函數(shù),其中.（1）若函數(shù)恰好有三個單調(diào)區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點,且,求的最大值.【解析】（1）由,得.∵存在三個單調(diào)區(qū)間∴有兩個不相等的實數(shù)根,即.∴,即,故.（2）∵圖象經(jīng)過點,∴,得∴,,.的單調(diào)性和極值情況列表如下：2000增函數(shù)極大值3減函數(shù)極小值增函數(shù)12故的最大值為12.【例2】已知函數(shù)．（1）求f（x）的極值；（2）設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù)．①若函數(shù)g（x）恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍；②當(dāng)時,求函數(shù)g（x）的最小值．【解析】（1）f（x）的定義域為,,當(dāng)時,,f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時,,f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）的極小值為,f（x）無極大值；（2）函數(shù)有兩個零點,等價于有兩個不同的根,等價于的圖象與的圖象有兩個不同的交點.令,則,又,結(jié)合（1）單調(diào)性和極值情況,作函數(shù)圖象如下：由圖象得時,f（x）與h（x）的圖象相切,此時只有一個交點．令,則,當(dāng)h（x）的右半邊圖象與f（x）相切時,切點為,則切線為,即,與x軸的交點為,f（x）與h（x）的圖象相切,此時只有一個交點．結(jié)合圖象得,a的取值范圍為；②（i）當(dāng)時,,因為恒成立,所以g（x）在上單調(diào)遞增,所以此時g（x）的最小值為；（ii）當(dāng)時,在恒成立,所以g（x）在上單調(diào)遞減,所以此時g（x）的最小值為；（iii）當(dāng)時,若,則,若,則,由（i）,（ii）知g（x）在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞増,所以此時g（x）的最小值為．綜上有：當(dāng)時,g（x）的最小值為；當(dāng)時,g（x）的最小值為；當(dāng)時,g（x）的最小值為．【例3】已知函數(shù).（1）若是曲線的切線,求a的值；（2）若有兩不同的零點,求b的取值范圍；（3）若,且恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)依題意,設(shè)切點為,則,,于是得,則有且,時,,無解,所以；(2)由得,令,則有時時,在上遞增,在上遞減,,又時,恒成立,于是得有兩個不同的零點,等價于直線與函數(shù)圖象有兩個不同的公共點,即,,所以有兩不同的零點,b的取值范圍是；(3),,令,,令,,即在上遞增,而,即,使得,時,時,,在上遞減,在上遞增,從而有,而,即,令,兩邊取對數(shù)得,則,即有,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而得,于是得,,所以,.四、跟蹤檢測1.（2021屆遼寧省大連高三上學(xué)期期中）設(shè)函數(shù),（）．（1）若,求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若時,函數(shù)的最小值為,求實數(shù)的取值范圍；（3）試判斷的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論．【解析】函數(shù)的定義域是,（1）時,,,,又,所以切線方程為,即；（2）,令,,時,,在上恒成立,在上是減函數(shù)；此時在上是減函數(shù),,與矛盾,故舍去；時,,時,,單調(diào)遞減,時,,遞增．當(dāng)即時,在上是增函數(shù),,所以滿足題意；當(dāng)即時,在上是減函數(shù),則,,故舍去；當(dāng),即時,在間遞減,在上遞增,則,而,且,故不可能成立,故舍去；綜上,實數(shù)的取值范圍是．（3）函數(shù)的零點個數(shù),即方程,即根的個數(shù),也即函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)．由（2）知時,在上是減函數(shù),時,,時,,因此函數(shù)的圖象與直線有且只有1個交點；時,在上遞減,在上遞增,,下面比較與的大小,,記,則,令得,當(dāng)時,,時,,在是遞增,在上遞減,時,,所以,而和進都有,直線與函數(shù)的圖象有兩個交點．綜上所述．時,函數(shù)有一個零點,時,函數(shù)有2個零點．2.（2021屆安徽省合肥高三6月模擬）已知函數(shù).（1）當(dāng)時,求證：；（2）當(dāng)時,,求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）證明：當(dāng)時,,定義域為,則,由,得,由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是的極小值點,也是的最小值點,且,所以,（2）解：由（）,得（）,當(dāng)時,上述不等式恒成立,當(dāng)時,,令（）,則,由（1）可知,當(dāng)時,,所以由,得,由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是的極小值點,也是的最小值點,且,所以,所以實數(shù)的取值范圍為3.（2021屆黑龍江省哈爾濱市高三下學(xué)期第五次模擬）已知函數(shù),.（1）求函數(shù)在上的最值；（2）若對,總有成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為單調(diào)遞增；令得,.當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,,單調(diào)遞增.又因為,,,所以,.（2）因為,等價于,令,因為,總有成立,所以,在上單調(diào)遞增.問題化為對恒成立.即對恒成立.令,則.由得,.當(dāng)時,,遞增,當(dāng)時,,遞減,,故的取值范圍是：.4.（2021屆貴州省甕安中學(xué)高三6月關(guān)門考試）已知（）（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時,若在上恒成立,證明：的最小值為.【解析】（1）因為,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,若時,,單調(diào)遞增；若時,,單調(diào)遞減,綜上：時,在上單調(diào)遞增；時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；（2）因為在上恒成立,所以在上恒成立,設(shè),所以,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,此時顯然不恒成立；當(dāng)時,若時,,單調(diào)遞增；若時,,單調(diào)遞減,所以,所以,又因為,令,,所以,當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,,單調(diào)遞增；所以,所以的最小值為.5.（2021屆廣東省佛山市五校聯(lián)盟高三5月模擬）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立,求的最大值.【解析】（1）當(dāng)時,恒成立在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減當(dāng)時,在單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減（2）在恒成立,可得恒成立；設(shè),則令,則令,則,因為,所以在上單調(diào)遞增,令,則易知在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；,可得所以在上單調(diào)遞增,又因為所以在上,在上所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增所以在上,,所以6.（2021屆廣東江門市高三模擬）設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若,為整數(shù),且當(dāng)時,,求的最大值．【解析】(1)f(x)的定義域為(－∞,＋∞),f′(x)＝ex－a.若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(－∞,＋∞)上單調(diào)遞增．若a>0,則當(dāng)x∈(－∞,lna)時,f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna,＋∞)時,f′(x)>0.所以,f(x)在(－∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由于a＝1時,(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故當(dāng)x>0時,(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價于k<＋x(x>0)①令g(x)＝＋