第14講四邊形與面積模擬講解1Smdp+S田1Smdp+S田pc=Siabp?Sadpc="Sabcdi&+S3=S2==Sabcd

21Sl+S3=S2+S4=二Sabcd2Si=S2Smbc=SaadeSmbc=SaadeSMGE=2S正方形CEFG SABDF=2S正方形ABCD【例題講解】例題1、如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，依次連接EB、EC、FC、FD,圖中陰影部分的面積分別為 S1、S2、S3、S4,已知S1=2、S2=12、S3=3,則&的值是（ ）A.4 B.5 C.6D.72S2S4=S2-S1-S3=12-2-3=7故選Dicc1 1 _ __ _可知SaBEC=Sadfc=—S平行四邊形ABCDSaAFD+SaBFC=—S平行四邊形=SaEBCS3+S4+①+S1+②=①+S2+②【鞏固練習(xí)】1、已知△ABC,面積為12,點(diǎn)D在邊BC上，滿足CD:BD=1:2,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接BE、AD相交于點(diǎn)P,設(shè)4APE的面積為Si, △BPD的面積為S?,求S2-S尸.2、如圖，RtAABC中，/C=90°,AC=12,BC=5,分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDE、ACFG、BCIH,四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4,則S1+S2+S3+S4等于（）A.60B.90C.144D.169于（）A.60B.90C.144D.169例題2、如圖，在面積為24的平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，連接FH、EG,且GH=1DC.則圖中陰影部分面積為2

【解析】如右圖，連接HOGOHGOFOEEF行四邊形DEFC的底EF、【解析】如右圖，連接HOGOHGOFOEEF行四邊形DEFC的底EF、EH、GF,則四邊形EFCD為平行四邊形，且Sefcd=12由題意得，1-,設(shè)AHOG的底HG=a,圖為h,則4OEF的底EF為2a,圖為2h,平2EF為2a,高為3h,貝U2a3h=12,即ah=2所以Sahog=aah=1,2S"ef=_2a2h=4,所以S陰影=SEfcd-空hog-S^eof=12-1-4=72【解析】???BC//AD, △BFHDAH,且相似比為1：2,SaADH=—>2X-=—,2 33及FBH=3=1,2 33易證△ABFDAE,?./BAF=/ADF,/BAF+/AEG=90°/AEG=90°,AEG^AEDA至任皿處解得AG=2^,EG=^「6AEG=【解析】???BC//AD, △BFHDAH,且相似比為1：2,SaADH=—>2X-=—,2 33及FBH=3=1,2 33易證△ABFDAE,?./BAF=/ADF,/BAF+/AEG=90°/AEG=90°,AEG^AEDA至任皿處解得AG=2^,EG=^「6AEG=LAGADADDE 5 5 5S四邊形BEGH=2--—-=一5315【鞏固練習(xí)】1、如圖，邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是DCADDCAD2、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接BF、DE,則圖中陰影部分的面積為 3、如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在DC邊上，且PQ=1DC.4若AB=16,BC=20,則圖中陰影部分的面積是4、如圖，在Rt^ABC中，/A=90°,AB=3,AC=4,以斜邊BC上的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。成圖中的^DEF位置，當(dāng)BP=3時(shí)，求旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 5、如圖,E、F、G5、如圖,E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH=1一AB,3則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為例題4、如圖，以^ABC的兩條邊AB、AC為一邊向上作正方形ABED和正方形ACGF,連接FD。(1)求證：SaABC=SaAFD.(2)過(guò)點(diǎn)A作AN^BC,反向延長(zhǎng)NA交DF于點(diǎn)M,求證：DM=MF.

【解析】(1)如圖3,???四邊形D過(guò)點(diǎn)F作FPLAD,ACGF為正方形，，D點(diǎn)C作CQ^AB,.

AC=AF,/FAC=90/FPA=/AQC=90°???/【解析】(1)如圖3,???四邊形D過(guò)點(diǎn)F作FPLAD,ACGF為正方形，，D點(diǎn)C作CQ^AB,.

AC=AF,/FAC=90/FPA=/AQC=90°1Saabc=一ABCQ...AD=AB,sSaadf=S"bc2.sADF=；ADPF，(2)如圖4,過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)F作NM垂線，垂足分別為點(diǎn).sADF=；ADPF，△DHA^ABNA,得GH=NA,再證△FKA^ACNA,得FK=NA,所以GH=FK,最后再證△DHMFKM,所以DM=MF【鞏固練習(xí)】1、如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7和11,則4CDE的面積等于.

EELFJ第2題EELFJ第2題如圖②，連結(jié)EF、GH、IJ、如圖②，連結(jié)EF、GH、IJ、KL.若DABCD例題5、如圖，四邊形的兩條對(duì)角線AC、BD所成的銳角為45°,當(dāng)AC+BD=18時(shí)，四邊形ABCD的面積最大值是.【分析】以前我們做的都是求對(duì)角線成直角的四邊形面積，面積公式為對(duì)角線乘積的一半，那么我們回憶一下，你知道公式是怎么推倒出來(lái)的嗎？當(dāng)角度為45。時(shí)，是否可以用同樣的方法去解決呢？【解答】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BFXAC,過(guò)點(diǎn)D作DELAC,過(guò)點(diǎn)D作DGLBG,交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.S四邊形abcd=Saacb+Saacd，S四邊形ABCD=1AC?BF+1AC?DE=1AC(BF+DE)=1ACBG2 2 2 2根據(jù)題意，易得BG=BBDCA-FCA-FB【鞏固練習(xí)】1、如圖，四邊形的兩條對(duì)角線AC、BD所成的角為%AC+BD=10,當(dāng)AC、BD的長(zhǎng)等于時(shí),則四邊形ABCD的面積最大是.2、已知四邊形ABCD中，AD+BD+BC=16,則四邊形ABCD的面積最大值是（ ）256A.16B.32C.16.3D.——9【鞏固練習(xí)】1、如圖，在一個(gè)平行四邊形中，兩對(duì)平行于邊的直線將這個(gè)平行四邊形分為九個(gè)小平行四邊形，如果原來(lái)這個(gè)平行四邊形的面積為 100cm2,而中間那個(gè)小平行四邊形（陰影部分）的面積為20平方厘米，則四邊形ABDC的面積是（ ）A.40cm2 B.60cm2 C.70cm2 D.80cm2AD B C第AD B C第1題 第2題2、如圖，已知點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，△PAB的面積為3,△PBC的面積為7,則^PBD的面積為。3、如圖，在DABCD3、如圖，在DABCD中，AB=3,F,與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,AD=4,/ABC=60°,過(guò)BC的中點(diǎn)則^DEF的面積是.E作EFXAB,垂足為點(diǎn)第3題AHPDB GC第5第3題AHPDB GC第5題4、如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD和邊長(zhǎng)為8的正方形BEFG排放在一起，Oi和。2分別是兩個(gè)正方形的對(duì)稱中心，則陰影部分的面積為.5、如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,點(diǎn)E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2,BE=DH=1,點(diǎn)P是直線EF、GH之間任意一點(diǎn)，連結(jié)PE、PF、PG、PH,則△PEF和^PGH的面積和等于.6、如圖，矩形ABCD長(zhǎng)為a,寬為b,若Si=S?=1（S3+S4）,則3=（用含a、b字母2的代數(shù)表示）

ADDCA第7題ADDCA第7題7、如圖，設(shè)F為正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，CE，CF,交AB的延長(zhǎng)線于E,若正方形ABCD的面積為64,△CEF的面積為50,則^CBE的面積為。8、如圖，已知矩形ABCD,AB=6,BC=8,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于I,與BD相交于H,則四邊形BEIH的面積為。9、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC9、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、B在雙曲線y=-(x>0)上，BC與x軸交X于點(diǎn)D.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,則四邊形OABD的面積為第9題第第9題第10題10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,4）,陰影三角形部分的面積從左向右依次記為 Si、S2、S3、…、Sn,則Sn的值為.（用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù)）11、如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H依次是各邊中點(diǎn)，O是形內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形AEOH、四邊形BFOE、四邊形CGOF、四邊形DHOG的面積分別為S1、S2、S3、S4,求證：S+S2=S3+S4.12、已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn)(端點(diǎn)B、C除外)，連接AF、AC,連接DF,并延長(zhǎng)DF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE.(1)當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證△EFC與△ABF的面積相等；(2)當(dāng)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說(shuō)明理由.13、如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成4個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定/HAF的大小，并證明你的結(jié)論.14、如圖1,小紅將一張直角梯形紙片沿虛線剪開(kāi)，得到矩形和三角形兩張紙片，測(cè)得 AB=15,AD=12,在進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了下面的幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。(1)將△EFG的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使E點(diǎn)落在CD邊上，此時(shí)，EF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(如圖2)求FB的長(zhǎng)度；(2)在(1)的條件下，小紅想用△EFG包裹矢I形ABCD,她想了兩種包裹的方法如圖 3、圖

（紙片厚度忽略不計(jì)）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)服4,請(qǐng)問(wèn)哪種包裹紙片的方法使得未包裹住的面積大?小紅.（紙片厚度忽略不計(jì)）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)服DEC(G)BDEC(G)B參考答案.答案：4.答案：90參考答案1.答案：參考答案.答案：4.答案：90參考答案1.答案：222.答案：833.答案：924.答案：1.445.答案：2:51.答案:2.答案:101.答案:5,252.答案:參考答案1.答案：B2.答案：43.答案：234.答案：125.答案：76.答案：3.ab8

.答案：24“28.答案：5“ 75.答案：16.答案：24n5.答案：連接OC,OB,OA,OD,???￡、F.G、H依次是各邊中點(diǎn)，，△AOE和△BOE等底等高，所以SOAE=SaOBE,同理可證,SAOBF=S^OCF,5AODG=SAOCG,SAODH=S^OAH,S四邊形AEOH+S四邊形CGOF=S四邊形DHOG+S四邊形BFOE,「?：S1+S2=S3+S4.答案：⑴證明：.?點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，，BF=CF=3BC=a，又BF//AD,?.BE=AB=b,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2A,E兩點(diǎn)到BC的距離相等，都為bsin則SAABF=1?a?)sin妹1absin%\o"CurrentDocument"22 412 1a, S^abf=Saefc；Saefc=— ?a?Dsin=—absin(2)法一：當(dāng)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè)BF=x,則FC=a-x,.四邊形a, S^abf=Saefc；AD=BE:(BE+AB),..x:a=BE(BE+b),..BE=-bx-x,在^EFC中,FC邊上的高h(yuǎn)1=BEsina,ax?1-h1=bx:sina(a-x)，.二5Aefc=12FC?h=：(a-x)?bxsina-x=；bxsin%又在△ABF中,BF邊上的高h(yuǎn)2=bsina, SAABF=12bxsina,法二：:ABCD為平行四邊形，，???SAABF=h2=bsina, SAABF=12bxsina,法二：:ABCD為平行四邊形，，Saabc=Sacde=—absina,又「5Aafc=S\cdf,2SaABF=SaEFCSaabc-Saafc=SacdeSaABF=SaEFC13.答案：如圖,連結(jié)FH,延長(zhǎng)CB至UM,使BM=DH,連結(jié)AM,「RtAABM^RtAADH,AM=AH,/MAB=/HAD,?./MAH=ZMAB+ZBAH=ZBAH+ZHAD=90,如圖，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,AG=m,GP=n,貝UFC=a-n,CH=a-m,二?矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍，，a2-(m+n)a+mn=2mn,①在RtAFCH中，F(xiàn)H2=(a-n)2+(a-m)2,②聯(lián)立①②彳導(dǎo)FH2=MF2=(m+n)2, FH=MF./AF=AF,AH=AM,.