山東省泰安市大安山鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列有關(guān)選項(xiàng)正確的是

A．若為真命題，則為真命題.B．“”是“”的充要條件.C．命題“若，則”的否命題為：“若，則”.D．已知命題：，使得，則：，使得參考答案：D略2.函數(shù)y=x2（x﹣3）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣2，2）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得y'＜0，建立不等量關(guān)系，求出單調(diào)遞減區(qū)間即可．【解答】解：∵y=y=x2（x﹣3）=x3﹣3x2，∴y′=3x2﹣6x，∴3x2﹣6x＜0即x（x﹣2）＜0∴0＜x＜2，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．故選：C【點(diǎn)評】本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查分析和解決問題的能力．3.是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略4.給出三個(gè)命題（

）①若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行②若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行③若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B略5.設(shè)P：在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，q：，則P是q的(

)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略6.已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題．【分析】由成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡關(guān)系式，再由等比數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)得到a1不為0，故在等式兩邊同時(shí)除以a1，得到關(guān)于q的方程，求出方程的解得到q的值，最后利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡所求的式子后，將q的值代入即可求出值．【解答】解：∵成等差數(shù)列，∴a3=a1+2a2，又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，∴a1q2=a1+2a1q，又各項(xiàng)都是正數(shù)，得到a1≠0，∴q2﹣2q﹣1=0，解得：q=1+，或q=1﹣（舍去），則==q2=（1+）2=3+2．故選C【點(diǎn)評】此題考查了等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．7.已知直二面角，點(diǎn)C為垂足，點(diǎn)，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=

(

) A．2 B． C．

D．1參考答案：C略8.圓與圓的位置關(guān)系是（

）A.相交

B.外切

C.內(nèi)切

D.相離參考答案：圓，圓心，半徑；圓，圓心，半徑.圓心距，因，故兩圓外切.選B.9.有下列4個(gè)命題：①“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆否命題；②“若a＞b，則a2＞b2”的逆命題；③“若x≤﹣3，則x2﹣x﹣6＞0”的否命題；④“若ab是無理數(shù)，則a，b是無理數(shù)”的逆命題．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)四種命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)，為真命題．則逆否命題也為真命題，故①正確，②“若a＞b，則a2＞b2”的逆命題為若a2＞b2，則a＞b，若a=﹣2，b=0．滿足a2＞b2，但a＞b不出來了，故②為假命題；③“若x≤﹣3，則x2﹣x﹣6＞0”的否命題為若x＞﹣3，則x2﹣x﹣6≤0，當(dāng)x=4時(shí)，x2﹣x﹣6≤0不成立，故③為假命題．④若ab是無理數(shù)，則a，b是無理數(shù)”的逆命題為：若a，b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)．該命題是假命題．取a=，b=，則ab===2．為有理數(shù)．所以該命題是假命題．故真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：B10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)、，直線PA與直線PB的斜率之積為﹣2，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．=1 B．=1（x≠0）C．=1 D．=1（y≠0）參考答案：B【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA與直線PB的斜率之積為﹣2，建立等式求得x和y的關(guān)系式，得到點(diǎn)P的軌跡方程．【解答】解：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由條件得=﹣2．即=1（x≠0）．所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為=1（x≠0）．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積為__________.參考答案：12.函數(shù)是R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則=

▲

．參考答案：-2；

13.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上運(yùn)動，設(shè)，將△ABP沿BP折起，使得二面角A—BP—C成直二面角，當(dāng)為__________時(shí)，AC長最?。畢⒖即鸢福?5略14.已知平面向量，，滿足=（m，2），=（3，﹣1），且（﹣）⊥，則實(shí)數(shù)m=．參考答案：4利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出，再由（﹣）⊥，能求出m的值．解：∵平面向量，，滿足=（m，2），=（3，﹣1），∴=（m﹣3，3），∵（﹣）⊥，∴（﹣）?=3（m﹣3）﹣3=0，解得m=4．故答案為：4．15.向量，的夾角為60°，且?=3，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，則||的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】可先畫出圖形，從而由條件得出，兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出，根據(jù)不等式a2+b2≥2ab及數(shù)量積的計(jì)算公式即可得出，從而便可得出的最小值．【解答】解：如圖，根據(jù)條件：；∴====；∴；即的最小值為．故答案為：．16.(4分)已知，那么等于_________參考答案：1517.已知函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=﹣1的對稱點(diǎn)在y=kx﹣1的圖象上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（，1）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由題意可化為函數(shù)f（x）圖象與y=﹣kx﹣1的圖象有且只有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合題意作圖求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=﹣1的對稱點(diǎn)在y=kx﹣1的圖象上，而函數(shù)y=kx﹣1關(guān)于直線y=﹣1的對稱圖象為y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的圖象與y=﹣kx﹣1的圖象有且只有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)f（x）=的圖象與y=﹣kx﹣1的圖象如下，易知直線y=﹣kx﹣1恒過點(diǎn)A（0，﹣1），設(shè)直線AC與y=xlnx﹣2x相切于點(diǎn)C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1，故kAC=﹣1；設(shè)直線AB與y=x2+x相切于點(diǎn)B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故kAB=﹣2+=﹣，故﹣1＜﹣k＜﹣，即＜k＜1；故答案為（，1）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝(Ⅰ)證明：SA⊥BC；(Ⅱ)求二面角S—AD—C的正切值；（13分）參考答案：解析：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面，得

因?yàn)?，所以，又，故為等腰直角三角形，，∴，得．?分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題得，故，∴二面角S—AD—C的平面角為∠SAO由，，得，，∴（13分）19.（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）若在處有極值，求；

（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍.（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；參考答案：（Ⅰ）由已知可得的定義域?yàn)?，又?/p>

由已知.經(jīng)驗(yàn)證得符合題意----4分

（Ⅱ）對恒成立，

對恒成立，

因?yàn)?，所以的最大值為，所以?----------------9分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)、使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則由知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，，則

當(dāng)時(shí)，故與式矛盾，故假設(shè)不成立，

∴當(dāng)時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立；

………13分略20.已知圓C的圓心坐標(biāo)為（2，0），且圓C與直線x﹣y+2=0相切，求圓C的方程． 參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系． 【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓． 【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，算出點(diǎn)（2，0）與直線x﹣y+2=0的距離，得出所求圓的半徑，即可寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解答】解：點(diǎn)（2，0）與直線x﹣y+2=0的距離為d==2， ∵直線x﹣y+2=0與圓相切， ∴圓的半徑為2，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+y2=4． 【點(diǎn)評】本題求以定點(diǎn)為圓心，且與已知直線相切的圓方程．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題． 21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的漸近線方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求的最小值.參考答案：解：(1)雙曲線的漸近線方程為

雙曲線的方程可設(shè)為

點(diǎn)在雙曲線上，可解得

雙曲線的方程為………6分

（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)將直線的方程代入雙曲線的方程，可化為

①

………8分由即化簡得

………10分當(dāng)時(shí)，成