山東省濟(jì)寧市運(yùn)河實驗中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)和的圖象的對稱中心完全相同，若，則的取值范圍是

（

）

（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A略2.ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B解析：長方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為

因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為÷2＝

取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為3.四面體的四個頂點(diǎn)都在球的球面上,，,,平面,則球的表面積為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D考點(diǎn)：空間幾何體的表面積與體積因為球心O在過正中心H且垂直于面BCD的直線上，且

所以，

故答案為：D4.設(shè)等差數(shù)列的前項和是.若(N*,且),則必定有 （）A．,且 B．,且C．,且 D．,且參考答案：A略5.若是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則一定是（

）

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.斜三角形

參考答案：C由得,即，所以,所以三角形為直角三角形，選C.6.已知的值如表所示：如果與呈線性相關(guān)且回歸直線方程為，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：7.已知圓O的半徑為定長r，點(diǎn)A是平面內(nèi)一定點(diǎn)（不與O重合），P是圓O上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡可能是下列幾種：①橢圓，②雙曲線，③拋物線，④直線，⑤點(diǎn)（）A．①②⑤ B．①②③ C．①④⑤ D．②③④參考答案：A【考點(diǎn)】J3：軌跡方程．【分析】對A的位置進(jìn)行討論，利用中垂線的性質(zhì)即可得出QO和QP的關(guān)系，根據(jù)圓錐曲線的定義得出結(jié)論．【解答】解：∵線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，∴QA=QP，（1）若A在圓外，則|QO﹣OP|=OP，即|QO﹣QA|=r＜OA，此時Q點(diǎn)軌跡為雙曲線；（2）若A在圓內(nèi)，則|QA+QO|=|QP+QO|=r＞OA，此時Q點(diǎn)軌跡為橢圓；（3）若A在圓上，則AP的中垂線經(jīng)過圓心O，過Q點(diǎn)軌跡為圓心O，故選A．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐曲線的定義，屬于中檔題．8.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A

B

C

D

參考答案：A9.設(shè)P為直線3x+4y+3=0上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB的面積最小時∠P=(

) A．60° B．45° C．30° D．120°參考答案：A考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題．分析：由題意畫出圖形，判斷四邊形面積最小時P的位置，利用點(diǎn)到直線的距離求出PC，然后求出∠P的大?。獯穑?解：圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圓心坐標(biāo)（1，1），半徑為1；由題意過點(diǎn)P作圓C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個三角形的面積的和，因為CA⊥PA，CA=1，顯然PC最小時四邊形面積最小，即PC最小值==2．，∠CPA=30°，所以∠P=60°．故選A．點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正確判斷四邊形面積最小時的位置是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．10.己知分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，是等腰直角三角形，且

，則的離心率為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C因為是等腰直角三角形，且，可設(shè),則,即,所以,化簡得,解得或(舍去),選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)，則實數(shù)a=

．參考答案：4【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】由題意可得，f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0對于任意的x都成立，從而可求a【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)∴f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題12.若x，y滿足約束條件，則的最大值為_____________．參考答案：6【分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點(diǎn)時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.13.若函數(shù)()滿足且時，,函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)有___個.參考答案：12略14.甲、乙兩名同學(xué)各自等可能地從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四個興趣小組中選擇一個小組參加活動，則他們選擇相同小組的概率為

。參考答案：略15.已知關(guān)于x的二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為

參考答案：216.已知全集，集合，，則___▲____．參考答案：17.學(xué)校體育組新買2個同樣籃球，3個同樣排球，從中取出4個發(fā)放給高一4個班，每班1個，則共有種不同的發(fā)放方法．參考答案：10考點(diǎn)：排列、組合及簡單計數(shù)問題．專題：排列組合．分析：根據(jù)題意，分2種情況討論，①、將3個排球、1個籃球分給4個班，②、將2個排球、2個籃球分給4個班，分別求出每種情況的發(fā)放方法數(shù)目，由分類計數(shù)原理，計算可得答案．解答：解：根據(jù)題意，分2種情況討論，①、將3個排球、1個籃球分給4個班，在4個班中取出3個，分得排球剩余1個班分得籃球即可，則有C43=4種情況，②、將2個排球、2個籃球分給4個班，在4個班中取出2個，分得排球剩余2個班分得籃球即可，則有C42=6種情況，則共有6+4=10種發(fā)放方法，故答案為：10點(diǎn)評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意籃球、排球之間是相同的，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..已知函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間（用k表示）；（2）若，求k的取值范圍.參考答案：(1)答案不唯一，見解析；(2)[1,+∞)【詳解】解：（1）已知，，①當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，單調(diào)減區(qū)間為；②當(dāng)，令，解得，所以當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；（2）由條件得，當(dāng)時，恒成立即恒成立， 當(dāng)時，由時，得顯然不成立，所以，令，解得，當(dāng)時，所以，所以，即恒成立，所以，當(dāng)時，在上恒成立，又當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，所以，不滿足題意，綜上，所求的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)單調(diào)區(qū)間，含參數(shù)函數(shù)恒成立問題，討論的取值范圍是關(guān)鍵，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）如圖，BD⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角C－DE－A的余弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面CDE的距離．參考答案：解析（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，∵F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，∴AE∥FG且AE＝FG，∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，∵BD⊥平面ABC，BD⊥AG，∵G為BC中點(diǎn)，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD．································································································5分（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以、、所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)面CDE的法向量，則取，·················8分取面ABDE的法向量，由，

9分故二面角C－DE－A的余弦值大小為．·······················10分（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量，，則點(diǎn)A到平面CDE的距離．12分20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列{}的前n項和，求；（3）設(shè)，證明：.參考答案：

(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項公式為分式,為求其前n項和可以考慮利用裂項求和法.進(jìn)行裂項,在進(jìn)行求和就可以得到的前n項和為,利用非負(fù)即可證明原不等式.試題解析：所以，

（8分）故.

（9分）（3）由（1），得（12分）

（13分）.

（14分）考點(diǎn)：裂項求和錯位相減不等式21.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=，曲線C的參數(shù)方程為．（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)M平行于直線l1的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若|MA|?|MB|=，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，直接寫出直線l的普通方程，消去參數(shù)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）以及平行于直線l1的直線參數(shù)方程，直線l1與曲線C聯(lián)立方程組，通過|MA|?|MB|=，即可求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．通過兩個交點(diǎn)推出軌跡方程的范圍，【解答】解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為θ=，所以直線斜率為1，直線l：y=x；曲線C的參數(shù)方程為