專題19平行四邊形、矩形、菱形閱讀與思考平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線三個(gè)方面探討的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個(gè)直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來(lái)體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過來(lái)，判定一個(gè)四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件.連對(duì)角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關(guān)問題時(shí)，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四邊形的背景下思考問題，運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.熟悉以下基本圖形：例題與求解【例1】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于O,AE平分ZBAD，交BC于E,/CAE=15。，那么ZBOE=.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手.【例2】下面有四個(gè)命題：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形；其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：從四邊形邊、角、對(duì)角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對(duì)假命題能突破正規(guī)的、標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形構(gòu)造反例否定.【例3】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,BD=2,E,F分別是邊AD,CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足AE+CF=2.判斷ABEF的形狀，并說明理由；設(shè)NBEF的面積為S,求S的取值范圍.D(煙臺(tái)中考試題)解題思路：對(duì)于(1)由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對(duì)于(2),只需求出BE的取值范圍.【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PE丄AC于點(diǎn)E,PF丄BC于點(diǎn)F,PG丄EF于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GP并在春延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D,使得PD=PC.求證：BC丄BD,BC=BD.B(B(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)解題思路：只需證明厶CPB^^DPB，關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì).【例5】在口ABCD中,ZBAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

FDCFF（1）（2）（3）的度數(shù).在圖FDCFF（1）（2）（3）的度數(shù).（如圖2）,直接寫出ZBDG的度數(shù);若ZABC=90°（如圖2）,直接寫出ZBDG的度數(shù);若ZABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分別連結(jié)DB,DG（如圖3）,求ZBDG（北京市中考試題）解題思路：對(duì)于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個(gè)等腰三角形；對(duì)于（2）,用測(cè)量的方法可得ZBDG=45°,進(jìn)而想到等腰直角三角形，連CG,BD,只需證明厶BGC^ADGF，這對(duì)解決（3）,有不同的解題思路.對(duì)于（3）【例6】如圖，△ABC中，ZC=90。，點(diǎn)M在BC上，且BM=AC,點(diǎn)N在AC上，且AN=MC,AM與BN相交于點(diǎn)P.（浙江省競(jìng)賽試題）求證：ZBPM=（浙江省競(jìng)賽試題）解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移AN或AC,即作ME丄AN,ME=AN,構(gòu)造平行四邊形.能力訓(xùn)練A級(jí)如圖，□ABCD中，BE丄CD,BF丄AD,垂足分別為E、F,若CE=2,DF=1,ZEBF=60°,則dABCD的面積為.

第1題如圖，□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,且AD^CD，過點(diǎn)O作OM丄AC,交AD于點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\zM,若ACDM周長(zhǎng)為a那么□ABCD的周長(zhǎng)為.第2題（浙江省中考試題）3.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,ZBAC=78。，過C作CF〃AB,連結(jié)AF與BC相交于G,若GF=2AC,則ZBAG的大小是.BA（“希望杯”競(jìng)賽試題）如圖,在菱形ABCD中,ZB=ZEAF=60°,ZBAE=20°,則ZCEF的大小是.C第4題（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是ab,c,d其中ac為對(duì)邊，且滿足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，則這個(gè)四邊形一定是（）A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形

現(xiàn)有以下四個(gè)命題：①對(duì)角線相等的四邊形是矩形；②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個(gè)角為直角且對(duì)角線互相平分的四邊形為矩形；④菱形的對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)的平方的4倍.其中，正確的命題有（）A.①②B.③④C.③D.①②③④7.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=,AF平分ZDAB，過點(diǎn)C作CE丄BD于E,延長(zhǎng)AF,EC交于點(diǎn)H,下列結(jié)論中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED.正確的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④（齊齊哈爾中考試題）8.如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)為a,寬為b如果S=S=丄㈡+S），則S=（）122344A.—A.—ab83B.—ab2C.ab3D.ab2（“縉云杯”競(jìng)賽試題）9.已知四邊形ABCD,現(xiàn)有條件：?AB#DC；?AB=DC；@AD#BC；?AD=BC；@ZA=ZC；@ZB=ZD.從中取兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請(qǐng)具體寫出這些組合.（江蘇省競(jìng)賽試題）10.如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點(diǎn)，且CD=BF,以AD為邊作等邊AADE.

（1）求證：△ACD^^CBF；（2）當(dāng)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，且ZDEF=30°,證明你的結(jié)論.（江蘇省南通市中考試題）11.如圖，在RtAABC中，AB=AC,ZA=90°,點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF丄AC于F,DELAC于E，M為BC中點(diǎn)，試判斷AMEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.（河南省中考試題（河南省中考試題）12.如圖，△12.如圖，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積.（山東省競(jìng)賽試題）B級(jí)1.如圖，已知ABCD是平行四邊形，E在AC上,AE=2EC,F在AB上,BF=2AF,如果ABEF的面積為2cm2，則口ABCD的面積是.第1第1題（“希望杯”競(jìng)賽試題）2.如圖，已知P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，P4=3,PD=4,PC=5，則PB=C第C第2題（山東省競(jìng)賽試題）TOC\o"1-5"\h\z如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將矩形折疊，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合,則折痕EF長(zhǎng)為.C第C第3題（武漢市競(jìng)賽試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4，將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處,CD'交AB于點(diǎn)F,則重疊部分OAFC的面積為.BB（山東省競(jìng)賽試題）5.如圖，在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE丄BD于E,PF丄AC于F,那么PE+PF的值為.第5題（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,且ZABC=60°,E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上,則PE+PC的最小值為

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）TOC\o"1-5"\h\z7.如圖，△ABC的周長(zhǎng)為24,M是AB的中點(diǎn)，MC=MA=5,則AABC的面積是（）A.30B.24C.16D.12A（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8.如圖，□ABCD中，ZABC=75°,AFLBC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,貝VZAED的大小是（）A.60°B.65°C.70°D.75°第8題9.如圖，已知ZA=ZB,AA,PP,BB均垂直于AB,AA=17,PP=16,BB11111111=20,AB=12，則AP+PB的值為（）11A.15B.14C.13D.12

t?t?第9題(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)10.如圖1,△ABC是直角三角形，ZC=90。，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可畫出兩個(gè)：矩形ACBD和矩形AEFB(如圖2).圖1A圖3圖1A圖3解答問題：設(shè)圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S,S，則SS(填“〉”、1212“=”或“V”).如圖3,△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出個(gè)，利用圖3畫出來(lái).如圖4，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC>AC>AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出個(gè)，利用圖4畫出來(lái).在(3)中所畫出的矩形中，哪一個(gè)的周長(zhǎng)最?。繛槭裁?？圖4(陜西中考試題)11.四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，ZBAD=120°，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn).求證：若AAMN有一個(gè)內(nèi)角等于60°，則AAMN為等邊三角形.12.如圖，六邊形ABCDEF中，AB〃DE,BC//EF,CD〃AF,對(duì)邊之差BC~EF=ED—AB=AF—CD>0.求證：該六邊形的各角相等.（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題）專題19平行四邊形、矩形、菱形例175°例2A只有命題③正確.例3(L)Z\BEF為正三角形捉示'由/VLBD和△BCD為止三角形?可證明△BDEi2Z\BCF,得:BE=BF,/DBE=ZCBF.???ZDBC-ZCBF+ZDBF=/DBE〒/DEE-60S即ZEBF=60°,故為等邊三角形.(2)設(shè)BE-BF:EF=z?則可得，S=亨分.當(dāng)BE丄.AD時(shí)小有放小值為71??亠=作")—沁?當(dāng)BE與AB垂合時(shí)*址大值為2.???S“=亨X203???孑廉陶！例4提示：PC-EF-PD?ZCPjB=45°+ZPFC=4M一ZEPG=/GPA=ZBPDt0J證明ACPB例5(1〉路(2〉45°(3>60°如圖，延長(zhǎng)八B至H?使AH=AD?連DH?BOAAHD是等邊三角形.???AH—/WDF.ABHGF.乂乙BHD=ZGFD：：6(T?DH-DF,ZGDF.???ZBIX；=ZADC-ZADB一/GDF一Z八％、（/ADB十Z"DH）=120?-（50°=62例6如圖?過M作MEgAN.連NE,BE,則四邊形AMEN為平行四邊形，得NE-AM.ME丄BC???ME=CM,/EMB“Q4CA=90\BM-AC.???△BEMtAAMC■得”e=AM=N￡\Z1=Z2?Z3=Z4?VZHZ3=&0°????Z2+Z4=90°且BE-NE.???△BEN為等懐百角三角形?ZiiWE=4畀???AM〃NE,???/切心"、疋=4亍?A級(jí)12732.2a25e捉示「作FG邊上中線?連結(jié)EC則EFEC=AC.4-20"捉示：連結(jié)AC?則△AFCS4AEB,Z\AEF為等邊三角形.5.C6?B7.DA提示：E、F分別為Ali.BC中點(diǎn).9?從6個(gè)條件中任取2個(gè)，只有15種組合?英中能乖岀四邊形力BCQ是平行四邊彭的冇以下9種惰形:①與③孑②與④I⑤與?①與②;③與④;①與⑤;①與⑥焜與⑤『③與⑥.10?撫示，<2）當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，満足題氐提示：連AM■證明△AMF仝△BME.可證△MEF為竽複宜角二角形?6由△ABO^ZxDBDZiABC幻△EfT毎川C=DF^AE.ABEFAD.故四邊形AEFD為平行四邊形?又ZBAC-90\則/LWE=36（T-90°—6『-60°-150=■則z9WFhZAEF=：Q?則F到AI）的比離為2?故S?a?7j=3X2—6.B級(jí)L9en?2.3屈捉示：可以證明P.々+PC-PB陽(yáng)?3.羅cm10稷祐可先ii：AF=CR設(shè)AF=CF=a)WjBF8一工，.???工=3???S.=w=*AF?反：=尋><5><4=10?5?罟提示;過A作AG丄UDTG可證/E〒P(yáng)F=AG?由AG-UD=A13-AD可毎:2^3m提示:九C關(guān)于BD對(duì)稱?連AE交BD于P.:.PE+PC=AE.又VAE丄BCRZB4E=30S???AE=2、$為最小.B8?B提示，取DE中點(diǎn)為G準(zhǔn)結(jié)AG.則AG=DG=EG?C10?<1）=?圖略（2）1；圖略（3）3.圖略〈4）以AE為邊的坯瑕戲悅址小，啟囪稅誌訂明.1L訐明：連咼門如圖，則易hEAABC與&LDC都為尊邊三帝旌一“)右/jVWA'=60c.Sli]也沁K.'.-,4M=..A.VrAil\-陽(yáng)"r?ZVLMW為等辿三角搭一(2>ZAMN=fiG\jdM作C4時(shí)