熱平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布(幾率事件 必然事

s1gt2偶然事件拋硬幣， 2記號(hào)：某個(gè)事發(fā)生頻

PA事件發(fā)生次數(shù)N實(shí)驗(yàn)次數(shù)

N某個(gè)事件的概率P概率的特1、0PAP(A)P(A)

2、所有事件的概率和 歸一拋硬幣P(正P(反)11 3、乘法法則：兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概單獨(dú)發(fā)生概率的P(AB)P(A)P(B)兩枚硬幣都是正面的概11 值G

-GG(正)P(正G(反)P(反1111 GGGiin 小球落入第i個(gè)小槽的概：iPi

N

hixiiNi：落入第i個(gè)小槽的小球N：下落的總小球滿(mǎn)足歸一化iPii連續(xù) 量的概當(dāng)小槽細(xì)化，即 dx：dPdN

h( h( h(h(

x處單位區(qū)間內(nèi)的dPfx)dx (xx+dx區(qū)間內(nèi)的概f(x)dP1f(x)dP1 GG(x)f(

平均值速率分布函dPf(x)dx

dPF(v)dvf(f(x)dP1 F(v)dP1 滿(mǎn)足歸一f(x)dxF(v)dv平均GGG(x)f(GG(v)F例：N個(gè)假想的氣體分子的速率分布如圖所示，求：（1）Nv0N0；NF解：速率分NF0F(v) N v,當(dāng)0v N0NvF(v)N0,

v2v

F(v)0,v滿(mǎn)足歸一化

N

vdv

2

N0dvNN

v2N0

20000Nv 000F(v)1 求：（2）速率在1.5v0到F(v)1 dNNF

F(v)N N

2

NF(v)dv

2

N2dv 求：（3）分子的平均速率 N 0解v0

vF(v)dv

0v dv

0dv 速率分布函

mv4π 2πkTdNF(v)dv

2kTv2d

FF(v)

e mve 2kTv 2πkT 速率在(vvdv)區(qū)間內(nèi)的分 總分

Tm F

2F(v)dvv v速率在(v1v2)區(qū)間內(nèi)的分或分子速率位于(v1v2)區(qū)間內(nèi)的幾

速率在(vvdv)區(qū)間內(nèi)的分子速率位于(vvdv)區(qū)間內(nèi)的幾率F(v)為速率分布函n為分子數(shù)密度說(shuō)明下式的物QF(v)

dNNdv

,nVnF(v)dvdVNF(v)dvQF(v)NdvNF(v)dvd表示分布在速率區(qū)間vvdv內(nèi)的分子n

F(v)dvQF(v)dN,n n

F(v)dvNN 內(nèi)的分子

2vF(v)dvvvvv F(v)dv

QF(v)N

2NN 表示速率在vv2)內(nèi)的分子的平均同一氣體不同溫度下速F

T1T2T1T 同一溫度下不同種氣體速率分布F1

m1m2 最概然速速率分布函數(shù)F(v)中的極大值對(duì)應(yīng)的分子速率vp。3

mv

F(v) 2πkT

2kTvdF(v)

4π 2 2πkT

mv

v

m

2vmv3

vp

mm平均速

3

mvvvF(v)d

F(v)

e2kTv03 2

mv

2πkT4π

e2kTv3dv x20x x20xdxmv m常 積分ex2dx

xex2dx

x x2exdx x

dx2

x4exdx

x5exdx 積分的ex2dx

用極坐標(biāo)改寫(xiě)I ex2

I2

er0

r I

ey2

I2e(x2y2)

ex

dx xy平面上的2重積 積分的遞推關(guān) Gn

xnex d

xnexdx

xn(x2)exdx

d

nG1

xex2dx dGd1 GnGndn

d2 速3v2

F(v)

mve 2kTve0

3 mv

2πkT

e2kTv0m

2πkT0x40x4ex2dx38

1 mF

vpvvmTvmTv v

例：根 速率分布率求：速率倒數(shù)的平

1v解 F(v)

mve2kTv1

2πkT

3 mv F(v)dv

e2kTv

3

2πkT mv4π

e2kTdv2πkT 2 2

2kT

mv

2m2π

e 2πkT πkT速度分布 速度分布率表dNv f(v)

mveeNdvxdvyd 2πkT以dNvx

vxvx+dvxdNvxNydNvy

f(vx)dvx

f(v)dv dNv N

f(vz)dvzvx~vx+dvxvy~vy+dvyvz~vz+dvz間的概dNv N

f

)f

)f

)d

d

dvf(v)dvxdvyd式中f(v)f(vxf(vyf(vz)vx2vx2v2vyzvf(v)f(v)f(v)f(v2)f(v2v2v2 f(vx)

xf(v)CeAvx

CeAv

CeAvyz C3eA(v2v2vyz

C3eAv 令A(yù)1/ f(v)Cxyz分布函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足歸一化xyz

(v2v2v2)/αf(v)dvdvdv

ev2/α2

ev2/α2

ev2/

dv

x

y 1 ex21

ev2/

x xC

f(v)

3α3α速率分

1、速度

vx,vy,vz

(vx,vy,vzOv v Ovv4v2dv的球殼內(nèi)，粒子的速 vv出現(xiàn)在同一速率區(qū)間dv內(nèi)的 dvxdvydvz4v2dvF(v)dv

3α

ev / v2

v2322常數(shù)P2N1mv3 理想氣體狀態(tài)PV速率平方的平均

v232

22kT速度分布律及速率分布律表達(dá)式3f(v)

mvee2πkT3F(v)

mve2kTve2πkT 解三維

f(v)

mvee2πkTf(v)f(vx)f(vy)f(vz各向同x1x

mv2

2 y 2

2 f(v)

e

e

e2πkT

2πkT

2πkT

f(vx)

mvexex

2πkT正反向?qū)?/p>

12m

xx

F(vx)2f(vx)

e最概然速率： x1

πkT2m

mvxex

mv

xxπkT 平均速

vx0vxF(vx)d

1mv2m F(vx)

eπkT1 2m

mvxvxx

vx

e2kT πkT 解二維

f(v)f(vx)f(vy1

mv

2 2xf(v)x

e

e2πkT 2πkTf(v)

m(v2v2

mv2πkT 2πkTdvxdvy換成2vdvF(v)2vf(v2v

mv2 e 2πkTmv

mv e

kTmv m小孔充分小，改變檢測(cè)lD檢測(cè)lD，就可測(cè)氣體速率給 t vl

抽 抽l，可使不同速度的重力場(chǎng)中微粒密度的等粒子數(shù)密度n，面積zpp(pdp)dSnmgdSdzppdpnmg理想氣體p等溫狀態(tài)：dpkTdnnmg

zzdnmg

n

pp0e

dN(z) dN(z)n0e 0NdN(z)n0e 0n0kT

f(z) mg

f(n

n(r)

U(rf(r)f0e

mv

f(v) 2πkT

f(v) e2πkTm εmf(v,r)f0

e e2πkT不可逆過(guò)程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（以氣體自由膨脹為例初始狀

抽掉隔

末狀或不確定性增加1464分 詳細(xì)分（宏觀(guān)態(tài) （微觀(guān)態(tài)

左 右左 右左 右左 右左 右左 右5432104個(gè)粒子分布若所有的微觀(guān)狀態(tài)其出現(xiàn)的可能性是相總微觀(guān)狀態(tài)數(shù)16，左4右00右4，幾率各為1/16；對(duì)應(yīng)微觀(guān)狀態(tài)數(shù)目多的宏觀(guān)狀態(tài)是均勻統(tǒng)計(jì)物理基本等幾Skln

其中 常微觀(guān)狀態(tài)初始狀S

抽掉隔

末狀或SklnSkln對(duì)于多個(gè)初始狀

抽掉

或S