不等式與不等式組知識點(diǎn)歸納一、不等式的概念不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。不等式的解集：對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解。不等式的解集：對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡稱這個(gè)不等式的解集。解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式。用數(shù)軸表示不等式的解集。二、不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號的方向不變。不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。說明：①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運(yùn)算改變。②如果不等式乘以0,那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。例：已知不等式3x-a<0的正整數(shù)解恰是1,2,3,則a的取值范圍是xa0TOC\o"1-5"\h\z已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是。52x\o"CurrentDocument"2x40不等式組1的整數(shù)解為x202如果關(guān)于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，貝Ua的值為。x4x1已知關(guān)于x的不等式組32的解集為x2,那么a的取值范圍是xa0當(dāng)x時(shí)，代數(shù)式2x5的值不大于零7?若x<1,貝y2x20（用“〉”“=”或“”號填空）8?不等式72x>1,的正整數(shù)解是9.不等式x>a10的解集為x<3,貝Uaxa..,亠十10?若a>b>c,則不等式組xbXX若不等式組2xa若avb,用“〉”號或“v”號填空:的解集是一1<若avb,用“〉”號或“v”號填空:x2b3有解集2<x<3的不等式組是(寫出一個(gè)即可)一罐飲料凈重約為300g,罐上注有“蛋白質(zhì)含量0?6”其中蛋白質(zhì)的含量為g若不等式組xa的解集為x>3,則a的取值范圍是x3一元1一元1,且1.2?解一元一次不等式的一般步驟:2?解一元一次不等式的一般步驟:(2)去括號(2)去括號(3)移項(xiàng)⑸將x項(xiàng)的系數(shù)化為1(4)合并同類項(xiàng)不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式例：一、判斷題(每題1分，共6分)1、2、a>b,得a+m>b+m3由a>3,得a>一3、x=2是不等式x+3>43、4、1由—>一1，得->—a5、如果a>b,cvO，貝Uac>bc6、如果avbv0,則三v11、a—5b—1、a—5b—5;b；—1+2a—1+2b;6—a6—b;2、x與3的和不小于一6,用不等式表示為3、時(shí)，代數(shù)式2x—3的值是正數(shù)；4、代數(shù)式1+2x的不大于8一-的值，那么x3、正整數(shù)解是45、如果5、如果x—7V—5,貝Ux；如果>0,那么x6、不等式ax>b的解集是xv一，則a的取值范圍是；a7、一個(gè)長方形的長為x米，寬為50米，如果它的周長不小于280米，那么x應(yīng)滿足的不等式為&點(diǎn)A（—5’）、B（—2,y2）都在直線y=一2x上，則y】與y2的關(guān)系是9、如果一次函數(shù)y二（2一m）x+m的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，那么m的取值范圍四、一元一次不等式組（難點(diǎn)）1、一元一次不等式組的概念：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。2、幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。例:、選擇題A.3<x<5B.—3<x<5C.—5<x<3D.—5<x<—3x20,的解集是（)5.不等式組30)x4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)UP（2x—6/x—5）在第四象限，貝x的取值氾圍是（B.x<3C.2<x<3D.無解20,x2,0,A20,x2,0,A.x302.x3,的解集5<x<3A.不等式組2,的解集是x2223.不等式組3J的最小整數(shù)解為32x1.F列說不等法正式組確的中，是是（元一次不等式組的是3x13x20,xC.(x2)(x3)02,的解集是一3<x<—23,的解集是是＜”33、填空題6?若不等式組6?若不等式組？如果實(shí)際每天比計(jì)劃多用'有解，則m的取值范圍是xm已知三角形三邊的長分別為2,3和a,貝Ua的取值范圍是&將一筐橘子分給若干個(gè)兒童，如果每人分4個(gè)橘子，則剩下9個(gè)橘子；？如果每人分6個(gè)橘子，則最后一個(gè)兒童分得的橘子數(shù)將少于3個(gè)，由以上可推出，共有個(gè)兒童,分個(gè)橘子.a2,9?若不等式組X的解集是一i<x<i，則(a+b)2006=b2x0三、解答題2(x2)x4,⑴10?解不等式組xm111?若不等式組'無解，求m的取值范圍.x2m112?為節(jié)約用電，某學(xué)校于本學(xué)期初制定了詳細(xì)的用電計(jì)劃.22度電，那么本那么學(xué)校每天計(jì)劃度電，那么本學(xué)期用電量將會超過2530度；如果實(shí)際每天比計(jì)劃節(jié)約了學(xué)期用電量將會不超過2200度.若本學(xué)期的在校時(shí)間按110天計(jì)算用電量在什么范圍內(nèi)？易錯(cuò)點(diǎn)分析:易錯(cuò)點(diǎn)1:誤認(rèn)為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個(gè)數(shù)之間的部分.x—1>0,①例1解不等式組X+2v0.②錯(cuò)解：由①，得x>1,由②，得XV—2，所以不等式組的解集為一2vxv1.錯(cuò)因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分?此題錯(cuò)在對“公共部分”的理解上，誤認(rèn)為兩個(gè)數(shù)之間的部分為“公共部分”（即解集）?實(shí)際上，這兩部分沒有“公共部分”，也就是說此不等式組無解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分?此外，有些同學(xué)可能會受到解題順序的影響，把解集表示成1vxv—2或一2vx>1等，這些都是錯(cuò)誤的.正解：由①，得x>1.由②，得xv—2，所以此不等式組無解.易錯(cuò)點(diǎn)2：誤認(rèn)為“同向解集哪個(gè)表示范圍大就取哪個(gè)”例2解不等式組5x+12>6—3x,①4+x2(1+x)—3.②x3.②x>5.由于x>—-的范圍較大，所以不等式3不等式組的解集為x>-3.錯(cuò)因剖析：本例錯(cuò)解中,由于對不等式組的解集理解得不深刻,在根據(jù)兩個(gè)解集的范圍確定不等式組的解集時(shí)，形成錯(cuò)誤的認(rèn)識.其實(shí)在求兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集時(shí)，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)avb),x>a,由于對不等式組的解集理解得不深刻,在根據(jù)兩個(gè)解集的范圍確定不等式組的解集時(shí)，形成錯(cuò)誤的認(rèn)識.其實(shí)在求兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集時(shí)，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)avb),x>a,xva,x>a,①②③④x>b,x>b,xvb,xvax>b.利用數(shù)可確定它們的解集分別為?x>b，②xva，③avxvb,④空集.也可以用下面的口訣來幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）正解：解不等式①，得X>—3.解不等式②，得x>5.4所以不等式組的解集為x>5.易錯(cuò)點(diǎn)3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法.例3解不等式組3x—+2(x+3)w3.②錯(cuò)解：由①+②，得2X14，即xw7所以不等式組的解集為xw7.錯(cuò)因剖析：本例錯(cuò)在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中.產(chǎn)生此類錯(cuò)誤的根本原因是沒有正確區(qū)分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點(diǎn)，(1)解二元一次方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是單獨(dú)存在的；(2)由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨(dú)立解，集中到”，即獨(dú)立地解不等式組中的每一個(gè)不等式組中的每一個(gè)不等式，在解的過程中，各不等式彼此不發(fā)生關(guān)系，“組”的作用在最后，即每一個(gè)不等式的解集都要求出來后，再利用數(shù)軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集.334正解：由不等式①，得|x>-17，即x>-即由不等式②，得|xw-3,即xw—6所以原不等式組的解集為一TAWxw一7.易錯(cuò)點(diǎn)4:在去分母時(shí)，漏乘常數(shù)項(xiàng).2x—3v1,①例4解不等式組x一1—+2>——x.②錯(cuò)解：由①，得xv2?在x—21+2>—x的兩邊同乘2,得x—1+2>—2x.于是有x11>—3所以原不等式組的解集為2>x>—3.最后找出它們的公共本例的解答過程中沒還要注意在表示“大小小錯(cuò)因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的公共本例的解答過程中沒還要注意在表示“大小小部分.對不等式進(jìn)行變形時(shí)，一定要使用同解變形，不然就容易出錯(cuò).有掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)，在去分母時(shí)漏乘了中間的一項(xiàng).此外，

大中間取”這類不等式的解集時(shí)應(yīng)按一般順序，把小的那個(gè)數(shù)放在前面，大的那個(gè)數(shù)放在后面，用“V”連接.x—1正解：由①，得XV2.在一2—+2》一x的兩邊冋乘2,得X—1+4》一2x.于是有X》—1—1,所以原不等式組的解集為—1wxV2.55易錯(cuò)點(diǎn)5:忽視不等式兩邊同乘(或除以)的數(shù)的符號，導(dǎo)致不等式方向出錯(cuò).1例5解關(guān)于x的不等式(-—a)x>1—2a.錯(cuò)解：去分母，得(1—2a)x>2(1—2a).將不等式兩邊同時(shí)除以(1—2a),得x>2.錯(cuò)因剖析：在利用不等式的性質(zhì)解不等式時(shí)，如果不等式兩邊同乘(或除以)的數(shù)是含字母的式子，應(yīng)注意討論含字母的式子的符號?本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(1—2a),在不確定取值符號的情況下進(jìn)行約分，所以出錯(cuò).正解：將不等式變形，得(1—2a)x>2(1—2a).1當(dāng)1—2a>0時(shí)，即av時(shí)，x>2;當(dāng)1—2a=0時(shí)，即a二扌時(shí)，不等式無解；1當(dāng)1—2av0時(shí)，即a>時(shí)，xv2.例6如果關(guān)于x的不等式(2a—b)x+a—5b>0的解集是x號，則關(guān)于x的不等式ax>b的解集是錯(cuò)解：因?yàn)椴坏仁?2a—b)x+a—5b>0的解集是xv嚴(yán)，所以型—a二孕，則有72a—b72a—b=7,5b—a=10,TOC\o"1-5"\h\za=5,3解得從而知ax>b的解集是x>3.b=3.5錯(cuò)因剖析：本題錯(cuò)因有兩個(gè)，一是忽視了原不等式的不等號方向與解集的不等號方向正好相反；—是對含有字母系數(shù)的不等式?jīng)]有根據(jù)解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，所以2a—b=7,a=5,3在解題時(shí)錯(cuò)誤得出解得從而錯(cuò)誤得到ax>b的解集是x>3.2a—bv正解：由不等式(2a2a—bv正解：由不等式(2a—b)x+a—5b>0的解集是5b—a=10,b=3.xv號，得5ba=10解得av0,b_3所a=2a—b=75.3以ax>b的解集是xv-.易錯(cuò)點(diǎn)6：尋找待定字母的取值范圍時(shí)易漏特殊情況.例7例7若關(guān)于X的不等式組5—2x>—1,無解，則a的取值范圍是x—a>2錯(cuò)解：由5—2x>—x得x<3，又因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以a的取值范圍是a>3.x—a>0/x>a.錯(cuò)因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時(shí)，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規(guī)律求解，但當(dāng)已知不等式組的解集而求不等式x>x>3,而此時(shí)不等式組也是無解的.因此，本題錯(cuò)在沒有考慮待定字母的取值范圍a=a=3,有xw3及的特殊情況．TOC\o"1-5"\h\z5—2x》一1,xw3,正解：由得又因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以a的取值范圍是a>3.x－a>0x>a．x_ao例8已知關(guān)于x的不等式組_-，的整數(shù)解共有5個(gè)，則a的取值范圍是3_2x>_1錯(cuò)解：由_-，解得-，又因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解共有5個(gè)，所以awxv2,3_2x>_1xv2.這5個(gè)整數(shù)解為一3,_2,_1,0,1,從而有aw_3（或a=_3）.錯(cuò)因剖析：本題主要考查同學(xué)們是否會運(yùn)用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解.上述解法錯(cuò)在忽視awxV2中有5個(gè)整數(shù)解時(shí)，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在一3與一4之間，其中包括—3,但不應(yīng)包括一4,所以錯(cuò)解在確定a的取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍.x_a-0,x-a,正解：由解得又因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解共有5個(gè)，所以awxv3_2x>_1xv2.2.又知這5個(gè)整數(shù)解為一3,_2,—1,0,1.故a的取值范圍是一4Vaw_3.總之對于解一元一次不等或組）問題，我們要深刻領(lǐng)會一元一次不等式（組）的基礎(chǔ)知識，熟悉這6個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠(yuǎn)離解一元一次不等式（組）的錯(cuò)誤深淵.11的解集是【2x1x不等式1.（2012山東濱州3分）x84xA.x3B.x2【答案】AOC.2x3D.空集【考點(diǎn)】解一兀一次不等式組?！痉治觥拷庖回４尾坏仁浇M，先求出不等式組中每一-個(gè)不等式的解集，再利用口訣求出這中考考點(diǎn)解讀:此,（2012山東濱州3分）李明同學(xué)早上騎自行車上學(xué)，中途因道路施工步行一段路，到學(xué)校共用時(shí)15分鐘.他騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘.他y分鐘，列出的方程是【。因y分鐘，列出的方程是【。因x,果他騎1得不等式組4魏解得X31得不等式組4魏解得X3。按同集的公解共部分：4同大取大X是：x3.古故選%80y2900同小取小xy15，大小小大中間找，大大小小解不了80x250y2900無解）C.4xyD.1580x250x80y290080x250y2900答D考由實(shí)際冋題抽象出—兀,次方程組。分李明同學(xué)騎車和步行的時(shí)間分別為x,y分鐘，由題意得:所以得方程：x,y分鐘，由題意得:所以得方程：x+y=150李明同學(xué)到學(xué)校共用時(shí)15分鐘,李明同學(xué)騎自行車的平均速度是家離學(xué)校的距離是2900米.如李明同學(xué)騎自行車的平均速度是250米/分鐘，x分鐘騎了250x米；步行的平均速度是80米/分鐘，y分鐘走了80y米。他家離學(xué)校的距離是2900米，所以得方程:250x+80y=2900。故選Doa+2b=43.（2012山東德州3分）已知/貝Ua+b等于【3a+2b=88A.3B.-C.2D.13【答案】A0考點(diǎn)】解二元一次方程組?！痉治觥績墒较嗉蛹纯傻贸?a+4b=12，方程的兩邊都除以4即可得出答案：a+b=3。故選A。4.(2012山東東營3分)方程k1X2【】.A.k>1B.kw1C11kx+—=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是4k>1D.k<1【答案】Do考點(diǎn)】一元二次方程的意義和根的判別式【分析】當(dāng)k=1時(shí)，原方程不成立，故kz1,當(dāng)kzi時(shí)，方程k1X21kx+—=0為一元二次方程。4???此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，二b24ac(1k)24(k1)41k(k1)22k0,解得：kw1。綜上k的取值范圍是kV1。故選Dox=25.（2012山東荷澤3分）已知是二元y=1次方程組mX+ny=8的解，則2mnxmy=1n的算平方根為【】A.土2B.2C.2D.4【答案】Co考點(diǎn)】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根?！鰔=2口一，—【分析】?/是二兀一次方程組mx+ny=8y的解，???2m+n=8”+m=3，解得y=1nxmy=12nm=1n=2?2mn二232=4=2。即2mn的算術(shù)平方根為2。故選C。11.若2?(2x—1)=（2012山東萊蕪3分）對于非零的實(shí)數(shù)a、b.若2?(2x—1)=ba1則x=[】AA.5531【答案】【考點(diǎn)】新定義，解分式方程。【分析】"411■/a?b=u,2?(2x—1)=1,?2【答案】【考點(diǎn)】新定義，解分式方程?！痉治觥?411■/a?b=u,2?(2x—1)=1,?2?(2x—1)2x1—1=332x1=26x2x123=26x=5x=5o6檢驗(yàn)，合適。古攵選A。（2012山東萊蕪3分）已知mn是方程x+2:2x+1=0的兩根，則代數(shù)式,誦+n2+3mn的值為【A.9.土3【答案】Co【考點(diǎn)】一元二次&求代數(shù)式的值?！痉治觥縨22+n+3mn=■/mn是方程x2+2:2x+1=0的兩根,???mAn=22【分析】m22+n+3mn=m+n2+mn=212+1=8+1=9=3。故選C。（2012山東臨沂3分）用配方法解兀二次方程x24x5時(shí)，此方程可變形為A.x21BA.x21B.x2C.229D.【答案】【考點(diǎn)】配方法解一元二次方程。【分析】X24x5X24x+45+42=9。故選Do【考點(diǎn)】配方法解一元二次方程。【分析】X24x5X24x+45+42=9。故選Do9.（2012山東臨沂3分）不等式組A.C.2x3x的解集在數(shù)軸上表示正確的是【B.D.-10【答案】A【考點(diǎn)】解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集。33再利用口訣求出這分析】解一元一次不等式組,先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大,同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此,些解集的公共部分：同大取大,同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此,x31x3。ox12xx31x3。ox13x11x2不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（>,》向右畫；V,w向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè)。在表示解集時(shí)““W”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；要用空心圓點(diǎn)表示。因此，在數(shù)軸上表示為：'0故選A。10.（201210.（2012山東臨沂3分）關(guān)于X、y的方程組3xym的解是X1ntxmyn值是【A.5B.3C.2D.1【答案】【考點(diǎn)】A.5B.3C.2D.1【答案】【考點(diǎn)】【分析】Do二兀一次方程組的解和解二兀一次方程組，求代數(shù)式的值。一3xym???萬程組xmyn冃x1的解是y1=23二1。故選D。22（2012山東日照4分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k一2）x+（2k+1）x+仁0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是【4口44口4口(A)k>且kz2(B)k>且kz2(C)k>33口且「2(D)k>43口且k工24【答案】Co考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義?！痉治觥?“方程為一元二次方程,k—2z0,即kz2?！匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,???△>0,2222???（2k+1）一4（k一2）>0,即（2k+1—2k+4）（2k+1+2k—4）>0,35（4k—3）>0,k>。4k的取值范圍是k>3且k豐2。故選Co4（2012山東日照4分）某校學(xué)生志愿服務(wù)小組在“學(xué)雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人?如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒貝U這個(gè)敬老院的老人最少有【】（A）29人（B）30人（C）31人（D）32人【答案】Bo【考點(diǎn)】一元一次不等式組的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)這個(gè)敬老院的老人有x人，則有牛奶（4x+28）盒，根據(jù)關(guān)鍵語句“如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式組：4x285x1<4，解得：29vxw32o4x285x1Tx為整數(shù)Tx為整數(shù)，「.x最少為300故選（2012山東泰安3分）將不等式組B04x1的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的16是【C.「01234是【C.「0123451【答【考解-元在數(shù)軸上表示不等式的解集。［分解一