《空間向量及其運算》題型分析題型一共線和共面向量【例1】設(shè)A、B、C及A1、B1、C1分別是異面直線l1、l2上的三點，而M、N、P、Q分別是線段AA1、BA1、BB1、CC1的中點，求證：M、N、P、Q四點共面.【證明】因為＝eq\f(1,2)，＝eq\f(1,2)，所以＝2，＝2，又＝eq\f(1,2)(＋)，＝λ＝2λ，＝ω＝2ω，所以＝eq\f(1,2)(2λ＋2ω)＝λ＋ω，所以、、共面，即M、N、P、Q四點共面.【點撥】可以利用共面向量定理或其推論完成證明.用共線向量定理證明線線平行，從而證明面面平行，更簡捷，使問題簡單化.【變式訓(xùn)練1】如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A、B、N、M四點共面.【證明】設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝b－a.因為M是DD1的中點，所以＝c－eq\f(1,2)a.因為AN∶NC＝2，所以＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(b＋c)，所以＝－＝eq\f(2,3)(b＋c)－a＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(2,3)(c－eq\f(1,2)a)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)，所以A、B、M、N四點共面.題型二利用向量計算長度和證明垂直【例2】已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1所有棱長均為1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1⊥平面A1BD.【解析】(1)設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，a2＝b2＝c2＝1.而＝a＋b＋c，所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋2×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝6，即||＝eq\r(6).(2)證明：因為＝a－c，所以·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0.所以⊥.同理可得⊥.所以AC1⊥平面A1BD.【點撥】利用|a|2＝a2是計算長度的有效方法之一；而利用向量數(shù)量積為零是證明垂直問題的常用方法之一.【變式訓(xùn)練2】已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b，且AA1與AB，AD的夾角都是120°.求AC1的長.【解析】||2＝2＝(＋＋)2＝eq\x\to(AB)2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos120°＋2abcos120°＝2a2＋b2－2ab.所以|AC1|＝eq\r(2a2＋b2－2ab).題型三利用坐標(biāo)求法向量和證明垂直問題【例3】正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點.(1)求證：D1F⊥平面ADE；(2)求平面ADE的一個法向量.【解析】(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D－xyz，則D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，F(xiàn)(0，eq\f(1,2)，0)，E(1,1，eq\f(1,2)).所以＝(0，eq\f(1,2)，－1)，＝(－1,0,0)，＝(0,1，eq\f(1,2))，因為·＝0，所以⊥，又·＝0，所以⊥，所以D1F⊥平面ADE.(2)由(1)知D1F⊥平面ADE，故平面ADE的一個法向量為＝(0，eq\f(1,2)，－1).【點撥】空間向量坐標(biāo)化，大大降低了立體幾何試題的難度，同學(xué)們需要善于利用.【變式訓(xùn)練3】已知平面α內(nèi)有一個點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，則下列各點中，在平面α內(nèi)的是()(2,3,3) (－2,0,1)(－4,4,0) (3，－3,4)【解析】由于n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它應(yīng)該和平面α內(nèi)任意一個向量垂直，只有在選項A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝0.故選A.題型四利用坐標(biāo)法求解線面及面面位置關(guān)系【例4】如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點.(1)證明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2).設(shè)平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則所以2x1＝0,2x1＋2y1＋z1＝0.令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理可得平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1).因為n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.(2)由于點M在直線AE上，所以可設(shè)＝λ＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M(2,2λ，λ)，于是＝(0,2λ，λ－2).A1M⊥平面DAE，則A1M⊥AE，所以·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝eq\f(2,5).故當(dāng)AM＝eq\f(2,5)AE時，A1M⊥平面DAE.【變式訓(xùn)練4】已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，求平面ABC的單位法向量.【解析】設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，且n·＝0，即2x＋2y＋z＝0且4x＋5y＋3z＝0，解得所以n＝z(eq\f(1,2)，－1,1)，單位法向量n0＝eq\f(n,|n|)＝±(eq\f(1,3)，－eq\f(2,3)，eq\f(2,3)).總結(jié)提高1.利用共線向量定理，可解決立體幾何中三點共線和兩直線平行等問題.2.利用共面向量定理，可解決立體幾何中直線在平面內(nèi)，直線與平面平行以及四點共面等問題.3.同時要重視空間向量基本定理的運用，要注意空間向量基底的選取，用基向量表示出已知條件和所需解決問題的所有向量，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.4.用空間向量處理某些立體幾何問題時，除要有應(yīng)用空間向量的意識外，關(guān)鍵是根據(jù)空間圖形的特點建立