6/6主題尤拉公式§1公式導(dǎo)出考慮一片耕地共有Ｅ條田埂，將此片耕地分割成F塊（含外部的一塊)，二條田埂的交點(diǎn)為某塊田的角頂，設(shè)角頂共有V個(gè)。想像最外面一塊田充滿著水，欲灌溉全部田地，由外圍開始,每挖掉一條田埂就可灌溉一塊田,當(dāng)然為灌溉全部田地及修復(fù)田埂起見，田埂能夠不挖盡量不挖,當(dāng)全部灌溉完畢時(shí)，我們觀察田埂的情形:欲多灌溉一塊田地,必須多挖掉一條田埂，而原先共有F—１塊乾地，故被挖去的田埂數(shù)為F—１條。固定任一角頂，我們必可由此角頂經(jīng)由未挖去的田埂不需涉水，及可達(dá)到其他任意角頂，如果有一角頂無法經(jīng)由乾路到達(dá),則必定有一條田埂不需挖而被挖掉了。由固定角頂?shù)狡渌旤c(diǎn)的乾路必唯一，否則必有一塊田地仍為乾地,我們將其他頂點(diǎn)與到達(dá)此頂點(diǎn)的最後一段路一一對應(yīng),發(fā)現(xiàn)未被挖去的田埂數(shù)恰為V—1條.由（1)（2)知，田埂總數(shù)為未挖去的田埂數(shù)加上已挖去的田埂數(shù)，即E＝（Ｆ—1)+（V－1)得證尤拉公式V—E+F＝2§2西瓜的切割問題1：平面上有n條相異直線,這n條直線可將此平面分割成多少塊區(qū)域？如果這n條直線任二直線必相交，任三條直線不共點(diǎn),則此ｎ條直線必有C（n，2)個(gè)交點(diǎn),外加一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此V=C（n，2）＋１又每條直線都會(huì)與其他直線都會(huì)相交，因此這條直線上共有n—１個(gè)交點(diǎn),這條直線被分成n段，因此E=ｎ2利用Ｅuleｒ公式可知Ｆ＝2-V+E=問題2：平面上有ｎ條直線，這n條直線將平面分割成多邊形區(qū)域，這些區(qū)域中有多少個(gè)是有界的？有多少個(gè)是無界的?n條直線在平面最多有個(gè)交點(diǎn),可找出一個(gè)很大的圓包含所有的交點(diǎn),則此圓與給定的n條直線相交於2n的點(diǎn)此圓周被分割成２n段，又每一段恰在一個(gè)無界區(qū)域上，故無界區(qū)域恰有2n個(gè),從而有界區(qū)域共有個(gè)研究問題：射影平面上ｎ條直線將此平面分割成多少個(gè)區(qū)域?Ａns：條問題３如果限制這ｎ條直線任二不平行任三不相交,則其中有多少個(gè)區(qū)域是三角形區(qū)域？解:(1）三角形區(qū)域個(gè)數(shù)的上界：由於任三線不共點(diǎn)，三角形不會(huì)有公共邊，故總邊數(shù)為3a，另一方面由於每個(gè)邊都是基本線段,而每條直線上有n－2個(gè)基本線段，故得，當(dāng)n＝3,４，5，７,9，15時(shí)等號(hào)成立。（2）三角形區(qū)域個(gè)數(shù)的下界：設(shè)直線與另外ｎ—1條直線的交點(diǎn)依次為Ａ1，A2，…，Ａn，基本線段AｉＡｉ+１，與過Ａi,Aｉ＋１的直線圍成三角形△ＢAiAｉ+1(1in-2）,任意直線穿過這個(gè)三角形將它分成兩塊時(shí)，仍有一塊為三角形區(qū)域,因此在整個(gè)構(gòu)圖中每個(gè)△BAiAi+1都有三角形區(qū)域，它們的頂點(diǎn)中必有一個(gè)離最遠(yuǎn)，記為Pi，由於i≠j時(shí)Δi≠Δj，就得到a≧n—２.問題4空間中任作n個(gè)平面，最多將空間分成多少個(gè)區(qū)域？ans：問題５瓜皮問題:（a）平面上任作n個(gè)圓,最多將平面分成多少個(gè)區(qū)域？(b)空間中任作n個(gè)球，最多將空間分成多少個(gè)區(qū)域?Ａｎs:ａ。b．問題6平面上任作ｎ個(gè)凸ｍ邊形，最多將平面分成多少個(gè)區(qū)域？解:設(shè)最多個(gè)數(shù)為un,則u１＝2,uｎ＝un-1+2ｍ(ｎ－1）故等號(hào)成立的構(gòu)形:將直徑為１的圓周mn等分,交錯(cuò)連成n個(gè)正m邊形，每兩個(gè)m邊形交於2m個(gè)點(diǎn),每條邊上的２(n—1)個(gè)交點(diǎn)都不重合,因此等號(hào)成立.問題5平面上任作n條拋物線，最多將平面分成多少個(gè)區(qū)域？如果限制拋物線的軸互相平行，最多將平面分成多少個(gè)區(qū)域?§３Ｐicｋ面積公式熱流證法：設(shè)P為格子多邊形,內(nèi)部共有I個(gè)格子點(diǎn),邊上共有b個(gè)格子點(diǎn)，Ｐiｃk面積公式：P的面積為（P）=設(shè)初始時(shí)刻t＝０時(shí),每個(gè)格子點(diǎn)有一單位的熱源,熱量從格子點(diǎn)散佈到整個(gè)格子板上,經(jīng)過長時(shí)間後,熱量均勻分布在整個(gè)格子板上，且平均密度為1,此時(shí)格子多邊形的總熱量恰為格子多邊形的的面積（P）。問題：格子多邊形Ｐ的總熱量來自何處？觀察下面事實(shí):設(shè)e為格子多邊形P的一個(gè)邊,Ｍ為ｅ的中點(diǎn)，不在e上的格子點(diǎn)成對對稱於M點(diǎn)，從每組成對的格子點(diǎn)所散發(fā)出來且穿過邊e的熱量相等,但其方向相反，因此穿過邊e的熱流總和為0。因此我們可說格子多邊形P的總熱量來自P內(nèi)部的格子點(diǎn)和來自P邊界P上的格子點(diǎn)。（２）計(jì)算格子多邊形的總熱量（P),來自P內(nèi)部的格子點(diǎn)共有i個(gè)，每個(gè)熱量為1,共有i單位的熱量；來自邊界P但不為頂點(diǎn)的格子點(diǎn)，每個(gè)熱量為1,有一半的熱量留在P，來自頂點(diǎn)的格子點(diǎn),每個(gè)熱量為1,有（內(nèi)角／２），即一半再扣掉（外角/2）的熱量留在Ｐ中，來自邊界P上的格子點(diǎn)共有（）i單位的熱量留在P中。綜合(１）(２）可導(dǎo)出。幾何證法：先考慮有兩條直角邊分別平行於兩座標(biāo)軸的格點(diǎn)直角三角形，此三角形無論沿橫座標(biāo)軸方向，縱座標(biāo)方向，無論平移多少整數(shù)單位長,均不影響其邊上及其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù),故不妨設(shè)這個(gè)格點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)是O(０,０）,A(ａ,0），Ｂ(０,b），a，b均為正整數(shù)。設(shè)AB內(nèi)部不含端點(diǎn)的格子數(shù)為u,內(nèi)部格子點(diǎn)數(shù)q，邊上的格子點(diǎn)數(shù)為p=u+ａ+b+1。取C為點(diǎn)（ａ，ｂ)，則矩形OAＣB內(nèi)部格子點(diǎn)數(shù)為(ａ-1)（b－1)=u＋２q,得p+２q=u+a+b+1+2q=（ａ—１）（b—１)＋a+ｂ＋1=aｂ+2=２OAB＋２從而OＡB=進(jìn)而考慮一般的格子三角形，它可視為一個(gè)含它的矩形截去若干個(gè)格點(diǎn)直角三角形得到的。最後考慮一般的格子多邊形，它可分割為若干個(gè)格點(diǎn)三角形。尤拉公式證法:基本三角形是指三個(gè)頂點(diǎn)是格子點(diǎn)且內(nèi)部和邊上都沒有其他的格子點(diǎn)的三角形。所有的基本三角形其面積都是1/2所有的格子多邊形都可分解成基本三角形將給定的格子多邊形可分解成基本三角形,然後在複製此格子多邊形，將兩個(gè)格子多邊形沿著邊界黏合起來得到球面上的連通圖形，由尤拉公式知Ｖ'-E’+Ｆ'=2因這個(gè)連通圖形的面都是三角形區(qū)域，因此2E’=３F’；又圖形式上下對稱，得知Ｆ’=２F,Ｖ’=２I＋b代入尤拉公式得2I+ｂ－3F+2Ｆ＝２解得F＝2Ｉ+b-2因此格子多邊形的面積是§4正三角形的相異正三角形分割問題:是否能將一個(gè)正三角形分割成若干個(gè)大小均異的小正三角形?設(shè)一個(gè)正三角形有一個(gè)相異小正三角形分割,記此分割為T.T的頂點(diǎn)可分為三大類:(1)原大正三角形的頂點(diǎn)（２）六個(gè)小三角形的公共頂點(diǎn)（3）恰為三個(gè)小三角形的公共頂點(diǎn)，其他的角在T的外部或?yàn)槟硞€(gè)小三角形內(nèi)部.首先構(gòu)造一個(gè)連通圖形：結(jié)點(diǎn)：（a）在分割T的小三角形中心放置一個(gè)紅點(diǎn)，（ｂ）在恰為三個(gè)小三角形的公共頂點(diǎn)上均放置一個(gè)綠點(diǎn)，(c)在大正三角形的外部某定點(diǎn)放置一個(gè)綠點(diǎn)，(d）在六個(gè)小三角形的公共頂點(diǎn)選出一對對頂角，在此角頂附近各放置一個(gè)綠點(diǎn)?；。海╝)若小三角形中心有一紅點(diǎn),有一頂點(diǎn)為綠點(diǎn),將此兩點(diǎn)連成一??；（ｂ）連結(jié)包含原大正三角形頂點(diǎn)的小正三角形中心的紅點(diǎn)與外部的綠點(diǎn);(c）在包含六個(gè)小三角形的公共頂點(diǎn)的小正三角形中心的紅點(diǎn),或與該三角形的綠點(diǎn)相連,或與緊鄰該三角形的綠點(diǎn)相連.假設(shè)Ｔ共被分割成ｎ個(gè)小三角形，則此連通圖形共有n個(gè)紅點(diǎn)，每條弧都是連接一個(gè)紅點(diǎn)與一個(gè)綠點(diǎn)，每個(gè)紅點(diǎn)恰與三個(gè)綠點(diǎn)相連接，故E=3n；又每個(gè)綠點(diǎn)都與三條弧相連,故知綠點(diǎn)共有n個(gè),因此V＝n+ｎ;利用尤拉公式知F=E－Ｖ+２=3n—2n+2=ｎ+2。設(shè)ｃi為恰由ｉ條弧所圍成區(qū)域的個(gè)數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)面都是紅綠結(jié)點(diǎn)交替連接射,當(dāng)ｉ為奇數(shù)時(shí)，ｃＩ=0,又每對結(jié)點(diǎn)最多只有一弧連接，因此c2＝0，從而Ｆ=c4＋ｃ6+c8+…＝n+２因每條弧都是兩線的交線，故2Ｅ=4c4+６c6+8c8+…=2(3n)＝6ｎ消去n可得6=c４-ｃ8—2c10—…因此c46,及至少有六個(gè)四邊形區(qū)域.由連通圖形的造法我們知道至少有一對三角形具有公共邊,此時(shí)這兩個(gè)三角形全等，與假設(shè)矛盾。問題：任給一個(gè)非正三角形，是否必有一個(gè)彼此相似且大小相異的三角分割？當(dāng)ｘ+x3≠x4時(shí),非正三角形的相異相似分割如左上圖當(dāng)ｘ+x3=x4時(shí)，非正三角形的相異相似分割如右上圖。問題:球面上是否存在一個(gè)圖形使得每個(gè)頂點(diǎn)至少引出六條弧?設(shè)ci為恰由ｉ條弧所圍成區(qū)域的個(gè)數(shù)，每對結(jié)點(diǎn)最多只有一弧