第五節(jié)解斜三角形及應(yīng)用舉例1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理解決的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊．②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角.①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角. 在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么條件？【提示】充要條件．(1)勾股定理是余弦定理的特珠情況．在余弦定理表達(dá)式中分別令A(yù)、B、C為90°，則上述關(guān)系式分別化為：a2＝b2＋c2，b2＝c2＋a2，c2＝a2＋b2.(2)在△ABC中，有如下結(jié)論：①a2＜b2＋c2?0°＜A＜90°；②a2＝b2＋c2?A＝90°；③a2＞b2＋c2?90°＜A＜180°.2．在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下A為銳角圖形關(guān)系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥b解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解【答案】

B2．(2008年北京卷)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于 ()A．135° B．90°C．45° D．30°【答案】C【解析】

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝1＋c2－c，c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)．【答案】

B【答案】直角三角形【答案】

無解【思路點(diǎn)撥】已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，可利用正弦定理解三角形，但要注意解的判斷

余弦定理揭示了三角形中兩邊及其夾角與對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，是勾股定理的推廣，它能解決以下兩類問題：(1)已知三邊，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知兩邊及它們的夾角，求第三邊及其他兩角，此時(shí)也只有一解．(2009年上海卷)已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝ ，求△ABC的面積．判斷三角形形狀主要有如下兩條途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．故B、D的距離約為0.33km.三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的基本步驟是：(1)根據(jù)題意，抽象或者構(gòu)造出三角形；(2)確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊和角的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；(4)給出結(jié)論．本題中不僅僅是臺(tái)風(fēng)的中心隨時(shí)間的推移而移動(dòng)，而且臺(tái)風(fēng)的半徑也隨著時(shí)間的推移而不斷擴(kuò)大，所以臺(tái)風(fēng)的侵入范圍也隨著時(shí)間的變化而不斷變化．3．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？即緝私船沿東偏北30°方向能最快追上走私船．本節(jié)內(nèi)容是利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)