2018-2019學年八年級(上)數(shù)學-專屬教案整式的乘法與因式分解知識點平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2【類型一】判斷能否應用平方差公式進行計算下列下列運算中，可用平方差公式計算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(—x＋y)(x—y)C．(—x—y)(y—x)D．(x＋y)(—x—y)解析：A中含x、y的項符號相同，不能用平方差公式計算，錯誤；B中(-x+y)(x—y)=—(x—y)(x—y),含x、y的項符號相同，不能用平方差公式計算，錯誤；C中(一x—y)(y—x)=(x+y)(x—y),含x的項符號相同，含y的項符號相反，能用平方差公式計算，正確；D中(x+y)(—x—y)=—(x+y)(x+y),含x、y的項符號相同，不能用平方差公式計算，錯誤；故選C.方法總結：對于平方差公式，注意兩個多項式均為二項式且兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．【類型二】直接應用平方差公式進行計算利用平方差公式計算:(1)(3x—5)(3x＋5)；(2)(—2a—b)(b—2a)；(3)(—7m＋8n)(—8n—7m)；(4)(x—2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式進行計算即可．解：(1)(3x—5)(3x+5)=(3x)2—52=9x2—25；(2)(—2a—b)(b—2a)=(—2a)2—b2=4a2—b2；(3)(—7m＋8n)(—8n—7m)=(—7m)2—(8n)2=49m2—64n2；(4)(x—2)(x＋2)(x2＋4)=(x2—4)(x2＋4)=x4—16.方法總結：應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式.【類型三】平方差公式的連續(xù)使用求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)的值.解析：根據(jù)平方差公式,可把2看成是(3—1),再根據(jù)平方差公式即可算出結果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(3—1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(32—1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(34—1)(34＋1)(38＋1)=(38—1)(38＋1)=316—1.方法總結：連續(xù)使用平方差公式，直到不能使用為止．【類型四】應用平方差公式進行簡便運算利用平方差公式簡算:TOC\o"1-5"\h\z/、1 2/、(1)20-X19-；(2)13.2X12.8.3312 1 1解析：(1)把203X19鼻寫成(20+-)X(20—3)，然后利用平方差公式進行計算；(2)把13.2X12.8寫33 3 3成(13+0.2)X(13—0.2),然后利用平方差公式進行計算.12 1 1 1 8解：(1)20zX19-=(20+-)X(20—-)=400—=399-；33 3 3 9 9(2)13.2X12.8=(13＋0.2)X(13—0.2)=169—0.04=168.96.方法總結：熟記平方差公式的結構并構造出公式結構是解題的關鍵．

【類型五】【類型五】化簡求值先化簡，再求值:(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=1,y=2.先化簡，再求值:解析：利用平方差公式展開并合并同類項，然后把x、y的值代人進行計算即可得解.解：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)=4x2—y2—(4y2—x2)=4x2—y2—4y2+x2=5x2—5y2.當x=1,y=2時，原式=5X12—5X22=—15.方法總結：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數(shù)值直接計算．【類型六】利用平方差公式探究整式的整除性問題定是10的倍數(shù)嗎?對于任意的正整數(shù)n,整式(3n+1)(3n—1)—(3—n)(3+n定是10的倍數(shù)嗎?解析：利用平方差公式對代數(shù)式化簡，再判斷是否是10的倍數(shù)．解：原式=9n2—1—(9—n2)=10n2—10=10(n+1)(n—1),???n為正整數(shù)，???(n—1)(n+1)為整數(shù)，即(3n+1)(3n—1)—(3—n)(3+n)的值是10的倍數(shù).方法總結：對于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式，在探究整除性或倍數(shù)問題時，要注意這方面的問題．【類型七】平方差公式的實際應用“我把王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽.今年王大伯對李大媽說:“我把這塊地一邊減少4米,另外一邊增加4米,繼續(xù)租給你,你看如何?”李大媽一聽,就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎?為什么?解析：根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較二者的大小即可．解：李大媽吃虧了.理由：原正方形的面積為a2,改變邊長后面積為(a+4)(a—4)=a2—16,：a2>a2—16,??.李大媽吃虧了.方法總結：解決實際問題的關鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡解決問題．完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab＋b2；【類型一】直接運用完全平方公式進行計算F利用完全平方公式計算:(1)(5—a)2；(2)(—3m—4n)2；(3)(—3a＋b)2.解析：直接運用完全平方公式進行計算即可．解：(1)(5—a)2=25—10a+a2；(2)(—3m—4n)2=9m2＋24mn＋16n2；(3)(—3a＋b)2=9a2—6ab＋b2.方法總結：完全平方公式：(a土b)2=a2±2ab+b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.【類型二】構造完全平方式如果36如果36x2+(m+1)xy+25y2是個完全平方式，求m的值.解析：先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值.解：,.?36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+l)xy+(5y)2,.，.(m+1)xy=±2?6x?5y,.，.m+1=士60,.'.m=59或一61.方法總結：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．【類型三】運用完全平方公式進行簡便運算利用乘法公式計算:⑴982—101X99；(2)20162—2016X4030+20152.解析：原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計算即可得到結果.解：(1)原式=(100—2)2—(100+1)(100—1)=1002—400+4—1002+1=—395；(2)原式=20162—2X2016X2015+20152=(2016—2015)2=1.方法總結：運用完全平方公式進行簡便運算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．【類型四】靈活運用完全平方公式求代數(shù)式的值已知*—丫=6,xy=—8.(1)求x2+y2的值;

(2)求代數(shù)式1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)的值.乙 乙解析：⑴由(x—y)2=x2+y2—2*丫，可得x?+y2=(x—丫)2+2*丫，將x—y=6,xy=-8代入即可求得x2+y2的值；⑵首先化簡1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)=x?+y2,由⑴即可求得答案.22解：(1)Vx—y=6,xy=—8,A(x—y)2=x2+y2—2xy,Ax2+y2=(x—y)2+2xy=36—16=20；(2)V1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)=1(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)+1[(x—y)2—22 2 2z2]—xz—111z2]—xz—11111yz^rx2+-y2+-z2+xy+xz+yz+-x2+-y2—xy—-Z2—xz—yz=x2+y2,222 22 2又\"2+丫2=20,???原式=20.方法總結：通過本題要熟練掌握完全平方公式的變式：(x-y)2=x2+y2-2xy,x?+y2=(x—y)2+2xy.【類型五】完全平方公式的幾何背景我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式.例如圖甲可以用來解釋(a+b)2—(a—b)2=4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是()困甲 四已A．a(chǎn)2—b2=(a＋b)(a—b)B．(a—b)(a＋2b)=a2＋ab—2b2C．(a—b)2=a2—2ab＋b2D．(a＋b)2=a2＋2ab＋b2解析：空白部分的面積為(a—?2,還可以表示為a2—2&匕+匕2,所以，此等式是(a—b)2=a2—2ab+b2.故選C.方法總結：通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對完全平方公式做出幾何解釋．探究點二：添括號后運用完全平方公式計算：(1)(a—b+c)2；(2)(1—2x＋y)(1＋2x—y)．解析：利用整體思想將三項式轉化為二項式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括號的符號法則.解：(1)原式=[(a—b)+c]2=(a—b)2+c2+2(a—b)c=a2—2ab+b2+c2+2ac—2bc=a2+b2+c2—2ab＋2ac—2bc；(2)原式=[1+(—2x+y)][1—(—2x+y)]=12—(—2x+y)2=1—4x2+4xy—y2.方法總結：利用完全平方公式進行計算時，應先將式子變成(a土b)2的形式.注意a,b可以是多項式，但應保持前后使用公式的一致性．因式分解提公因式法(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)；(2)a2—b2=(a+b)(a—b)；(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.探究點一：因式分解的概念下列從左到右的變形中是因式分解的有(①x2—y2—1=(x+y)(x—y)—1；②x3+x=x(x2+1)；③(x—y)2=x2-2xy+y2；④x2—9y2=(x+3y)(x—3y)．A.1個B.2個C.3個D.4個解析：①沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故①不是因式分解；②把一個多項式轉化成幾

個整式積的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故④是因式分解；故選B.方法總結：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式．探究點二：提公因式法分解因式【類型一】確定公因式多項式6ab2c—3a2bc+12a2b2中各項的公因式是(A．a(chǎn)bcB．3a2b2C．3a2b2cD．3ab解析：系數(shù)的最大公約數(shù)是3,相同字母的最低指數(shù)次冪是ab,??.公因式為3ab.故選D.方法總結：確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：(1)定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)定字母，即確定各項的相同字母因式(或相同多項式因式)；(3)定指數(shù)，即各項相同字母因式(或相同多項式因式)的指數(shù)的最低次冪．【類型二】用提公因式法因式分解因式分解:(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)—3(b＋c)；(3)(a＋b)(a—b)—a—b.解析：將原式各項提取公因式即可得到結果．解：⑴原式=4ab2(2a2+3bc)；⑵原式=(2a—3)(b+c)；(3)原式=(a+b)(a—b—1).方法總結：提公因式法的基本步驟：(1)找出公因式；(2)提公因式并確定另一個因式．(1)39X37—13X91；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14.解析：(1)(1)39X37—13X91；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14.解析：(1)首先提取公因式13,進而求出即可；(2)首先提取公因式20.16,進而求出即可．解：(1)39X37—13X91=3X13X37—13X91=13X(3X37—91)=13X20=260；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14=20.16X(29+72+13—14)=2016.方法總結：在計算求值時，若式子各項都含有公因式，用提取公因式的方法可使運算簡便．【類型四】利用因式分解整體代換求值已知&+匕=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解析：原式提取公因式變形后，將a+b與ab的值代入計算即可求出值.解：\*a+b=7,ab=4,.?.原式=&伏&+?=4*7=28.方法總結：求代數(shù)式的值，有時要將已知條件看作一個整體代入求值．公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)【類型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(A．a(chǎn)2+(—b)2B．5m2—20mnC．—x2—y2D．—x2+9解析：A中a2+(-b)2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤；B中5m2—20mn兩項都不是平方項，不能用平方差公式分解因式，錯誤；C中一X2-y2符號相同，不能用平方差公式分解因式，錯誤;D中一X2+9=-X2+32,兩項符號相反，能用平方差公式分解因式，正確.故選D.方法總結：能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．【類型二】利用平方差公式分解因式分解因式:⑴a4—116b4；⑵X3y2—Xy4.解析：⑴a4-和可以寫成(a2)2-(4b2)2的形式，這樣可以用平方差公式進行分解因式，而其中有一

個因式a2—7b2仍可以繼續(xù)用平方差公式分解因式；(2)x3y2—xy4有公因式xy2,應先提公因式再進一步分解因式．解：⑴原式=(a2+1b2)(a2—1b2)=(a2+1b2)(a—1b)(a+1b)；44 422(2)原式=xy2(x2—y2)=xy2(x+y)(x—y).方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．【類型三】底數(shù)為多項式或單項式時，運用平方差公式分解因式分解因式:(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解析：將原式轉化為兩個式子的平方差的形式后，運用平方差公式分解因式．解：(1)原式=(a+b—2a)(a+b+2a)=(b—a)(3a+b)；⑵原式=(3m+3n—m+n)(3m+3n+m—n)=(2m+4n)(4m+2n)=4(m+2n)(2m+n).方法總結：在平方差公式a2—b2=(a+b)(a—b)中，a和b可以代表單項式、多項式或單獨一個數(shù).【類型四】利用因式分解整體代換求值已知x2已知x2—y2=—1,x+y=2，求x—y的值.解析：已知第一個等式左邊利用平方差公式化簡，將x+y的值代入計算即可求出x—y的值.解：Vx2—y2=(x+y)(x—y)=—1,x+y=1,Ax—y=—2.2方法總結：有時給出的條件不是字母的具體值，就需要先進行化簡，求出字母的值，但有時很難或者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點，將一個代數(shù)式的值整體代入可使運算簡便．【類型五】利用因式分解解決整除問題248—1可以被60和70之間某兩個自然數(shù)整除，求這兩個數(shù).解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可.解：248—1=(224+1)(224—1)=(224+l)(2l2+1)⑵2—1)=(224+1)⑵2+1)⑵+1)(26—1).V26=64,；.26—1=63,26+1=65,.?.這兩個數(shù)是65和63.方法總結：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除．【類型六】利用平方差公式進行簡便運算利用因式分解計算:(1)1012—992；小c1 … 1(2)5722X4—4282X4.解析：(1)根據(jù)平方差公式進行計算即可；(2)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進行計算即可.解：(1)1012—992=(101+99)(101—99)=400；(2)5722X4—4282x1=(5722—4282)X4=(572+428)(572—428)x4=1000X144X4=36000.方法總結：一些比較復雜的計算，如果通過變形轉化為平方差公式的形式，則可以使運算簡便．【類型七】在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.(1)x2—5；(2)x3—2x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x,然后利用平方差公式進行二次分解，即可求得答案.解：(1)x2—5=(x+\i'5)(x—\'5)；(2)x3—2x=x(x2—2)=x(x+\'2)(x—\'2).方法總結：注意因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解的結果可以出現(xiàn)無理數(shù)．課后練習一、選擇題1．下列計算中正確的是( )．A.a2+b3=2a5C.a2?a4=a82.(%—a)(x2+ax+a2)的計算結果是(A.x3＋2ax2－a3C.x3+2a2x—a3B.a4：a=a4D.(—a2)3=—a6).B.x3—a3D.x3+2ax2+2a2—a3.下面是某同學在一次測驗中的計算摘錄，其中正確的個數(shù)有().①3x3?(一2x2)=—6x5；②4a3b：(—2a2b)=—2a[③53)2=a5；④(—a)3：(—a)=—a2.TOC\o"1-5"\h\zA.1個 B.2個 C.3個 D.4個.若2a=3,2b=2，貝Q2a+2b=( ).A.12B.7C.6 D.5A.A.下列各式是完全平方式的是( ).x2—x+ B.1+x2C.4x+xy+1把多項式ax2—ax—2a分解因式，下列結果正確的是().a(x—2)(x+1)B.a(x+2)(x—1)D.x2+2x—1C．a(chǎn)(x－1)2 D．(ax－2)(ax＋1)7.如(%+m)與(x+3)的乘積中不含％的一次項，則m的值為().A．－A．－3 B．3C．0D．18.若3%=15,3y=5,則3%^等于(A.5 B.3C.159．下列分解因式正確的是(A．x3－x=x(x2－1)C．(a+4)(a－4)=a2－16)．D.10)B．m2+m－6=(m+3)(m－2)D．x2+y2=(x+y)(x－y)10.從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪開拼成一個矩形，上述操作所能驗證的等式是()A.a2-A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)二、填空題19二、填空題19.計算(一3%2y).(3%y2)=2311.計算：(一不%--y)2=22.10.計算：(—3m+n)(—