學案4數(shù)列求和名師伴你行SANPINBOOK名師伴你行SANPINBOOK考點1考點2考點3填填知學情課內(nèi)考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預測2.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK考綱解讀數(shù)列求和1.掌握等差、等比數(shù)列的求和公式.2.了解非等差、等比數(shù)列求和的幾種常用方法.3.名師伴你行SANPINBOOK

等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式的考查一直是高考中數(shù)列考查的重點內(nèi)容，同時，數(shù)列與其他知識的綜合問題中考查錯位相減、裂項求和也時有出現(xiàn)，是復習中另一個注意方面.預測2012年高考,錯位相減法求和仍是高考重點,同時注意裂項相消法求和.考向預測返回目錄

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1.等差數(shù)列的前n項和公式是采用

方法推導的，等比數(shù)列的前n項和公式是用

方法推導的.2.數(shù)列{an}的前n項和Sn與an的關系為an=

.3.求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法：（1）等差數(shù)列的前n項和公式：倒序相加乘公比錯位相減S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)名師伴你行SANPINBOOK5.

.（2）等比數(shù)列的前n項和公式：①當q=1時，Sn=

;②當q≠1時，Sn=

=

.（3）拆項求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.（4）裂項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK6.（5）錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和.（6）倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.（7）自然數(shù)求和公式有：①1+2+…+n=;②12+22+…+n2=.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK7.根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式，求其前n項和Sn.（1）an=10n-1;（2）an=n(n+1).

【分析】若數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列，或能轉化為等差、等比數(shù)列，或轉化為能用其他公式的，用公式法求和.考點1公式法求和名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

8.【解析】（1）Sn=a1+a2+…+an=（101+102+…+10n）-n=（2）Sn=a1+a2+…+an=（12+1）+（22+2）+…+（n2+n）=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)=n(n+1)(n+2).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

9.在數(shù)列求和中，常用的公式有：（1）等差數(shù)列：na1q=1q≠1.（3）1+2+…+n=（4）12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1).（2）等比數(shù)列:Sn=名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

10.已知數(shù)列{log2(an-1)},n∈N*為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）證明:名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

11.(1)設等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d.由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28,即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.(2)證明:因為，所以名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

12.

［2010年高考課標全國卷］設數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【分析】由an與an+1的關系可用累加法求數(shù)列通項公式，由an特點選擇恰當方法求Sn.考點2錯位相減法求和名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

13.

【解析】(1)由已知,當n≥1時,an+1=［(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)］+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,符合上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=22n-1.(2)由bn=nan=n·22n-1知Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1,①從而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即Sn=［(3n-1)22n+1+2］.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

14.

（1）一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法.（2）用乘公比錯位相減法求和時，應注意：①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.③利用錯位相減法求和時，轉化為等比數(shù)列求和.若公比是個參數(shù)（字母），則應先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

15.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n2,{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）設cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

16.（1）∵當n=1時，a1=S1=2；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2.故{an}的通項公式為an=4n-2，即{an}是首項a1=2，公差d=4的等差數(shù)列.設{bn}的公比為q，則b1qd=b1，d=4，∴q=.故bn=b1qn-1=2×，即{bn}的通項公式為bn=.返回目錄

17.（2）∵cn==（2n-1）4n-1，∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×41+5×42+…+（2n-1）4n-1，4Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n-3）×4n-1+（2n-1）×4n.兩式相減得3Tn=-1-2（41+42+43+…+4n-1）+（2n-1）4n=［（6n-5）4n+5］.∴Tn=［（6n-5）4n+5］.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

18.【分析】由條件，設首項為a1,公差為d,建立方程組求解a1,d,則an可求，Sn可求，由{bn}中bn與an關系選擇恰當求法.考點3裂項相消法求和［2010年高考山東卷］已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

19.名師伴你行SANPINBOOK【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7a1=32a1+10d=26,d=2.所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.解得返回目錄

20.名師伴你行SANPINBOOK(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=所以Tn=即數(shù)列{bn}的前n項和Tn=返回目錄

21.

(1)利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項等，實際上，裂項法求和時消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項后就剩多少項；前剩第幾項，后就剩倒數(shù)第幾項.再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.(2)一般情況如下,若{an}是等差數(shù)列，則此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和.(3)要注意掌握常用的裂項方法和技巧.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

22.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，)(n∈N*)均在函數(shù)y=3x-2的圖象上.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2），Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn＜對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

23.

（1）依題意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5；當n=1時，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,∴an=6n-5(n∈N*).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

24.（2）由(1)得bn=故Tn=b1+b2+…+bn

因此，使得(n∈N*)成立的m必須滿足,即m≥10.故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.〔