8.1二叉樹期權定價模型8.1.1二叉樹模型的基本方法熟悉8.1.2基本二叉樹方法的擴展熟悉8.1.3構造樹圖的其他方法和思路了解8.1.4二叉樹定價模型的深入理解熟悉8.2蒙特卡羅模擬8.2.1蒙特卡羅模擬的基本過程熟悉8.2.2蒙特卡羅模擬的技術實現(xiàn)熟悉8.2.3減少方差的技巧了解8.2.4蒙特卡羅模擬的理解和應用了解8.3有限差分方法8.3.1隱性有限差分法熟悉8.3.2顯性有限差分法熟悉8.3.3有限差分方法的比較分析和改進了解8.3.4有限差分方法的應用了解1、從開始的上升到原先的倍，即到達；2、下降到原先的倍，即。圖8.1時間內資產價格的變動把期權的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設在每一個時間間隔內證券價格只有兩種運動的可能：其中.如圖8.1所示。價格上升的概率假設為，下降的概率假設為。相應地，期權價值也會有所不同，分別為和。二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產價格運動二叉樹模型可分為以下幾種方法：（一）單步二叉樹模型1.無套利定價法2.風險中性定價法3.風險中性定價法（二）證券價格的樹型結構4.證券價格的樹型結構（三）倒推定價法

5.

倒推定價法二叉樹方法的一般定價過程－以無收益證券的美式看跌期權為例6.一般定價過程無套利定價法：構造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權空頭當則組合為無風險組合此時因為是無風險組合，可用無風險利率貼現(xiàn)，得將代入上式就可得到：其中在風險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。在風險中性的條件下,參數(shù)值滿足條件：假設證券價格遵循幾何布朗運動，則：再設定：（第三個條件的設定則可以有所不同，這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件）由以上三式可得，當很小時：從而以上可知，無套利定價法和風險中性定價法具有內在一致性。一般而言，在時刻，證券價格有種可能，它們可用符號表示為：其中注意：由于，使得許多結點是重合的，從而大大簡化了樹圖。得到每個結點的資產價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結構圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權定價。

如果是歐式期權，可通過將時刻的期權價值的預期值在時間長度內以無風險利率貼現(xiàn)求出每一結點上的期權價值；

如果是美式期權，就要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權和繼續(xù)再持有時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值。假設把該期權有效期劃分成N個長度為的小區(qū)間，同時用表示結點處的證券價格可得：，其中假定期權不被提前執(zhí)行，后，則：（表示在時間時第j個結點處的美式看跌期權的價值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：支付連續(xù)續(xù)紅利率率資產的的期權定定價當標的資資產支付付連續(xù)收收益率為為的的紅利利時，在在風險中中性條件件下，證證券價格格的增長長率應該該為，因此：對于股價價指數(shù)期期權來說說，為為股股票組合合的紅利利收益率率；對于外匯匯期來說說，為為國國外無風風險利率率，因此以上上式子可可用于股股價指數(shù)數(shù)和外匯匯的美式式期權定定價。支付已知知紅利率率資產的的期權定定價可通過調調整在各各個結點點上的證證券價格格，算出出期權價價格；如果時刻刻在在除除權日之之前，則則結點處處證券價價格仍為為：如果時刻刻在在除除權日之之后，則則結點處處證券價價格相應應調整為為：若在期權權有效期期內有多多個已知知紅利率率，則時時刻刻結點的的相應的的證券價價格為：：（為為0時刻到到時時刻之間間所有除除權日的的總紅利利支付率率）已知紅利利額將證券價價格分為為兩個部部分：一一部分是是不確定定的；另另一部分分是期權權有效期期內所有有未來紅紅利的現(xiàn)值值。假設在期期權有效效期內只只有一次次紅利，，除息日日在到之之間，則則在時刻刻不確定定部分的的價值為為：當時時當時時（（表示紅紅利）在時時刻：當時時，這個個樹上每每個結點點對應的的證券價價格為：：當時時，這這個樹上上每個結結點對應應的證券券價格為為：（為為零零時刻的的值值））利率是時時間依賴賴的情形形假設，，即在時時刻的的結點上上，其應應用的利利率等于于到到時時間內內的遠期期利率，，則：這一假設設并不會會改變二二叉樹圖圖的幾何何形狀，，改變的的是上升升和下降降的概率率，所以以我們仍仍然可以以象以前前一樣構構造出二二叉樹圖圖的二叉樹樹圖在確定參參數(shù)、、和和時時，，不再假假設，，而令，，可可得：該方法優(yōu)優(yōu)點在于于無論和和如如何變變化，概概率總是是不變的的三叉樹圖圖每一個個時間間間隔隔內內證證券價價格有有三種種運動動的可可能：：1、從從開始始的上上升升到原原先的的倍倍，即即到達達；；2、保保持不不變，，仍為為；；3、下下降到到原先先的倍倍，，即一些相相關參參數(shù)：：控制方方差技技術基本原原理：：期權權A和和期權權B的的性質質相似似，我我們可可以得得到期期權B的解解析定定價公公式，，而只只能得得到期期權A的數(shù)數(shù)值方方法解解。假設：：（（代代表期期權B的真真實價價值，，表表示示關于于期權權A的的較優(yōu)優(yōu)估計計值，，和和表表示示用同同一個個二叉叉樹、、相同同的蒙蒙特卡卡羅模模擬或或是同同樣的的有限限差分分過程程得到到的估估計值值）則期權權A的的更更優(yōu)估估計值值為：：適應性性網(wǎng)狀狀模型型在使即在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個時間步長進一步細分，如分為，每個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程隱含樹樹圖通過構構建一一個與與目前前市場場上的的期權權價格格信息息相一一致的的資產產價格格樹圖圖，從從而得得到市市場對對標的的資產產價格格未來來概率率分布布的看看法。。其具體方法法是在二叉叉樹圖中，，通過前一一時刻每個個結點的期期權價格向向前推出（（注意不是是倒推）下下一時刻每每個結點的的資產價格格和相應概概率隱含樹圖的的主要作用用在于從交交易活躍的的常規(guī)期權權中得到的的關于波動動率微笑和和期限結構構的信息，，來為奇異異期權定價價二叉樹圖模模型的基本本出發(fā)點：：假設資產價價格的運動動是由大量量的小幅度度二值運動動構成，用用離散的隨隨機游走模模型模擬資資產價格的的連續(xù)運動可能能遵循的路路徑。模型型中隱含導導出的概率率是風險中中性世界中中的概率，，從而而為期權定定價取當前時刻刻為，，在給給定參數(shù)、、和和的的條件件下，當時時，二叉樹樹公式：可以在進進行泰勒勒展開，最最終可以化化簡為：在時時，，二叉樹模模型收斂于于布萊克－－舒爾斯偏偏微分方程程。MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路：：由于大部分分期權價值值實際上都都可以歸結結為期權到到期回報(payoff)的期望值值的貼現(xiàn)；；因此，盡可可能地模擬擬風險中性性世界中標標的資產價價格的多種種運動路徑徑，計算每每種路徑結結果下的期期權回報均均值，之后后貼現(xiàn)就可可以得到期期權價值。。隨機路徑：：在風險中性性世界中，，為為了模模擬的路徑徑，我們把把期權的有有效期分為為N個長度度為時間段段，則上式式的近似方方程為或（是從標準準正態(tài)分布布中抽取的的一個隨機機樣本）重復以上的的模擬至足足夠大的次次數(shù)，計算算回報值的的平均值，，折現(xiàn)后就就得到了期期權的期望望值單個變量和和多個變量量的蒙特卡卡羅模擬：：1、當回報報僅僅取決決于到期時時的的最最終價值時時可直接用一一個大步（（））（假設初初始時刻為為零時刻））來多次模模擬最終的的資產價格格，得到期期權價值：：2、當回報報依賴于多多個市場變變量時每次模擬運運算中對每每個變量的的路徑都必必須進行抽抽樣，從樣樣本路徑進進行的每次次模擬運算算可以得出出期權的終終值。的的離散過程程可以寫為為：（期權依賴賴于個個變量量，，，為為的的波動率，，為為在在風險中性性世界中的的期望增長長率，為為和和之之間的的瞬間相關關系數(shù)）常數(shù)利率和和隨機利率率的蒙特卡卡羅模擬利率為常數(shù)數(shù)時：期權權價值為（（初始時刻刻設為0））：.其中，表表示示風險中性性世界中的的期望。利率為變量量時：期權權價值為（（初始時刻刻設為0））：為有效期內內瞬間無風風險利率的的平均值。。隨機樣本的的產生和模模擬運算次次數(shù)的確定定：1.的的產生是服從標準準正態(tài)分布布的一個隨隨機數(shù)。如果只有一一個單變量量，則可以以通過下式式獲得：其中是是0到1的相互獨獨立的隨機機數(shù)。2.模擬運算次次數(shù)的確定定如果對估計計值要求95％的置置信度，則則期權價值值應滿足（是是進行運算算的個數(shù)，，為為均均值，是是標準差差）（一）對偶偶變量技術術（二）控制制方差技術術（三）重點點抽樣法（四）間隔隔抽樣法（五）樣本本矩匹配法法（六）準隨隨機序列抽抽樣法（七）樹圖圖取樣法主要優(yōu)點：：1.在大大多數(shù)情況況下，人們們可以很直直接地應用用蒙特卡羅羅模擬方法法，而無需需對期權定定價模型有有深刻的理理解2.蒙特主要缺點：：1.只能能為歐式期期權定價，，難以處理理提前執(zhí)行行的情形。。2.為了了達到一定定的精確度度，一般需需要大量的的模擬運算算。主要思想是是：應用有有限差分方方法將衍生生證券所滿滿足的偏微微分方程轉化為一系系列近似的的差分方程程，即用離離散算子逼逼近、、和和各各項，之后后用迭代法法求解，得得到期權價價值。具體地說，，有限差分分方法就是是用有限的的離散區(qū)域域來替代連連續(xù)的時間間和資產價價格在坐標圖上上，有限差差分方法則則體現(xiàn)為格格點（Grids））可以理解為為從格點圖圖內部向外外推知外部部格點的期期權價值。。如圖所示示：下面介紹一一下、、和和的的差差分近似－－>8.3.1(2)、、和和的的差差分近似1.的的近近似對于坐標方方格內部的的點，，期期權價值對對資產價格格的一階導導數(shù)可以用用三種差分分來表示：：、和2.的的近近似對于點點處處的，，我們則采采取前向差差分近似以以使時時刻的值和和時時刻的的值相關聯(lián)聯(lián)：3.的的近近似點處處的的的后后向差分近近似為，，因此點處處期權價值值對標的資資產價格的的二階差分分為這個二階差差分也是中中心差分，，其誤差為為。。差分方程把以上三個個近似代入入布萊克－－舒爾斯偏偏微分方程程，整理得得到：其中，邊界條件1.時時刻看跌跌期權的價價值為其其中中2.當股股票價格為為零時，下下方邊界上上所所有格點的的期權價值值：3.當股股票價格趨趨于無窮時時求解期權價價值：聯(lián)立個個方方程：和時時，時，解出每個的期權價值值最后可以計計算出，，當當?shù)鹊扔诔跏际假Y產價格格時，該格格點對應的的就就是我我們要求的的期權價值值。頁面呈現(xiàn)顯性有限差差分法：其中，即直接從時時刻的的三個相鄰鄰格點的期期權價值求求出時時刻資資產價格為為時時的期期權價值，，可理解為為從格點圖圖外部推知知內部格點點期權價值值的方法有限差分方法法樹圖方法VS相同點：兩種種方法都用離離散的模型模模擬資產價格格的連續(xù)運動動不同點：樹圖圖方法中包含含了資產價格格的擴散和波波動率情形；；有限差分方法法中的格點則則是固定均勻勻的，只是參參數(shù)進行了相相應的變化，，以反映改變變了的擴散情情形。VS隱性有限差分分方法顯性有限差分分方法顯性方法計算算比較直接方方便，無需象象隱性方法那那樣需要求解解大量的聯(lián)立立方程，工作作量小，易于于應用。但是是，顯性方法法存在一個缺缺陷：它的三三個“概率””可能小于零零，這導致了了這種方法的的不穩(wěn)定，它它的解有可能能不收斂于偏偏微分方程的的解。而隱性性方法則不存存在這個問題題，它始終是是有效的。變量置換：在使用有限差差分方法時，，人們常常把把標的變量置置換為。這樣偏微分方方程改為有限差分方法法還可以進一一步推廣到多多個標的變量量的情形；在標的變量小小于三個的時時候，這一方方法是相當有有效率的；但是超過三個個變量時蒙特特卡羅模擬方方法就更有效效了。同時有限差分分方法也不善善于處理期權權價值取決于于標的變量歷歷史路徑的情情況。假設標的資產產為不付紅利利股票,其當當前市場價為為50元,波波動率為每年年40%，無無風險連續(xù)復復利年利率為為10%，該該股票5個月月期的美式看看跌期權協(xié)議議價格為50元，求該期期權的價值。。答案：為了構構造二叉樹，，我們把期權權有效期分為為五段，每段段一個月（等等于0.0833年）。。根據(jù)式（8.4）到（（8.6），，可以算出：：（結點處上面面一個表示股股票價格，下下面一個表示示期權價值））假設無紅利的的股票價格運運動服從式（（8.12）），年預期收收益率為14％，收益波波動率為每年年20％，時時間步長為0.01年，，則根據(jù)式（（8.12））有通過不斷從標標準正態(tài)分布布樣本中抽取取的的值，代代入上式，我我們可以得到到股票價格運運動的一條路路徑如果需要從二二元或n元標標準正態(tài)分布布中抽取樣本，則可用用什么法？9、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。01:29:0201:29:0201:291/6/20231:29:02AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:29:0201:29Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:29:0301:29:0301:29Friday,January6,202313、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。1月-231月-2301:29:0301:29:03January6,202314、他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生白白發(fā)，，舊國國見青青山。。。06一一月月20231:29:03上上午01:29:031月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月231:29上上午1月-2301:29January6,202316、行動出出成果，，工作出出財富。。。2023/1/61:29:0301:29:0306January202317、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點點的的射射線線向向前前。。。。1:29:03上上午午1:29上上午午01:29:031月月-239、沒有有失敗敗，只只有暫暫時停停止成成功??！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有結果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒有。。。01:29:0301:29:0301:291/6/20231:29:03AM11、成功就是日日復一日那一一點點小小努努力的積累。。。1月-2301:29:0301:29Jan-2306-Jan-2312、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對對圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無無限限完完美美。。。。01:29:0301:29:0301:29Friday,January6,202313、不知香積積寺，數(shù)里里入云峰。。。1月-231月-2301:29:0301:29:03January6,202314、意志堅強的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。06一月20231:29:03上午01:29:031月-2315、楚塞三三湘接