第十三章期權的定價

第一節(jié)

期權價格的特性

一、

內(nèi)在價值和時間價值期權價格等于期權的內(nèi)在價值加上時間價值。（一）期權的內(nèi)在價值期權的內(nèi)在價值（）是指多方行使期權時可以獲得的收益的現(xiàn)值。歐式看漲期權的內(nèi)在價值為()的現(xiàn)值。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的內(nèi)在價值等于(),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權的內(nèi)在價值等于()。無收益資產(chǎn)美式看漲期權價格等于歐式看漲期權價格,其內(nèi)在價值也就等于()。有收益資產(chǎn)美式看漲期權的內(nèi)在價值也等于()。無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的內(nèi)在價值為X()，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權的內(nèi)在價值為X()。無收益資產(chǎn)美式期權的內(nèi)在價值等于，有收益資產(chǎn)美式期權的內(nèi)在價值等于。當然，當標的資產(chǎn)市價低于協(xié)議價格時，期權多方是不會行使期權的，因此期權的內(nèi)在價值應大于等于0。（二）期權的時間價值期權的時間價值（）是指在期權有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權的時間價值就越大。此外，期權的時間價值還受期權內(nèi)在價值的影響。以無收益資產(chǎn)看漲期權為例，當()時，期權的時間價值最大。當()的絕對值增大時，期權的時間價值是遞減的，如圖13.1所示。二、

期權價格的影響因素（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權的協(xié)議價格（二）期權的有效期

（三）標的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風險利率（五）標的資產(chǎn)的收益三、期權價格的上、下限（一）期權價格的上限1．看漲期權價格的上限在任何情況下，期權的價值都不會超過標的資產(chǎn)的價格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權來說，標的資產(chǎn)價格都是看漲期權價格的上限：

（13.1）其中，c代表歐式看漲期權價格，C代表美式看漲期權價格，S代表標的資產(chǎn)價格。2．看跌期權價格的上限由于美式看跌期權多頭執(zhí)行期權的最高價值為協(xié)議價格（X），因此，美式看跌期權價格（P）的上限為X：

（13.2）

由于歐式看跌期權只能在到期日（T時刻）執(zhí)行，在T時刻，其最高價值為X，因此，歐式看跌期權價格（p）不能超過X的現(xiàn)值：

（13.3）其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。（二）期權價格的下限1．歐式看漲期權價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格的下限為了推導出期權價格下限，我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產(chǎn)T時刻，組合A的價值為：

而組合B的價值為。由于，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即:()≥S所以c≥()

由于期權的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格下限為（13.4）（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格的下限我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，并經(jīng)過類似的推導，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格的下限為：

（13.5）

2．歐式看跌期權價格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時刻，組合C的價值為：（，X）假定組合D的現(xiàn)金以無風險利率投資，則在T時刻組合D的價值為X。由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：

由于期權價值值一定為正，，因此無收益益資產(chǎn)歐式看看跌期權價格格下限為：（13.6））（2）有收益益資產(chǎn)歐式看看跌期權價格格的下限我們只要將上上述組合D的的現(xiàn)金改為就可得到有收收益資產(chǎn)歐式式看跌期權價價格的下限為為：（13.7））從以上分析可可以看出，歐歐式期權的下下限實際上就就是其內(nèi)在價價值。四、提前執(zhí)行行美式期權的的合理性（一）提前執(zhí)執(zhí)行無收益資資產(chǎn)美式期權權的合理性1．看漲期權權由于現(xiàn)金會產(chǎn)產(chǎn)生收益，而而提前執(zhí)行看看漲期權得到到的標的資產(chǎn)產(chǎn)無收益，再再加上美式期期權的時間價價值總是為正正的，因此我我們可以直觀觀地判斷提前前執(zhí)行是不明明智的。為了精確地推推導這個結(jié)論論，我們考慮慮如下兩個組組合：組合A：一份份美式看漲期期權加上金額額為的的現(xiàn)金組合B：一單單位標的資產(chǎn)產(chǎn)T時刻組合A的價值為（（，X），而而組合B的價價值為，可見見組合A在T時刻的價值值一定大于等等于組合B。。即如果不提提前執(zhí)行，組組合A的價值值一定大于等等于組合B。。若在時時刻提前執(zhí)執(zhí)行，則此時時組合A的價價值為：，而組合B的的價值為。。由于因因此此即：若提前執(zhí)執(zhí)行美式期權權，組合A的的價值將小于于組合B。比較兩種情況況可得：提前前執(zhí)行無收益益資產(chǎn)美式看看漲期權是不不明智的。因因此，同一種種無收益標的的資產(chǎn)的美式式看漲期權和和歐式看漲期期權的價值是是相同的，即即：（13.8））根據(jù)（13.4），我們們可以得到無無收益資產(chǎn)美美式看漲期權權價格的下限限：（13.9））2．看跌期權權為考察提前執(zhí)執(zhí)行無收益資資產(chǎn)美式看跌跌期權是否合合理，我們考考察如下兩種種組合：組合A：一份份美式看跌期期權加上一單單位標的資產(chǎn)產(chǎn)組合B：金額額為的的現(xiàn)現(xiàn)金若不提前執(zhí)行行，則到T時時刻，組合A的價值為（（X，），組組合B的價值值為X，組合合A的價值大大于等于組合合B。若在t時刻提提前執(zhí)行，則則組合A的價價值為X，組組合B的價值值為(τ)，，因此組合A的價值也高高于組合B。。故：是否提前前執(zhí)行無收益益資產(chǎn)的美式式看跌期權，，主要取決于于期權的實值值額（）、無無風險利率水水平等因素。。一般來說，，只有當S相相對于X來說說較低，或者者r較高時，，提前執(zhí)行無無收益資產(chǎn)美美式看跌期權權才可能是有有利的。由于美式期權權可提前執(zhí)行行，因此其下下限比（13.6）更嚴嚴格：（13.10）（二）提前前執(zhí)行有收益益資產(chǎn)美式期期權的合理性性1．看漲期權權由于在無收益益的情況下，，不應提前執(zhí)執(zhí)行美式看漲漲期權，據(jù)此此可知：在有有收益情況下下，只有在除除權前的瞬時時時刻提前執(zhí)執(zhí)行美式看漲漲期權方有可可能是最優(yōu)的的。我們先來考察察在最后一個個除權日（））提前執(zhí)行的的條件。如果果在時刻提前前執(zhí)行，則期期權多方獲得得的收益。若若不提前執(zhí)行行，則標的資資產(chǎn)價格將由由于除權降到到。根據(jù)式（13.5），在在時刻期權的的價值（）因此，如果：：即：（13.11）則在提前執(zhí)行行是不明智的的。相反，如果（13.12）則在提前執(zhí)行行有可能是合合理的。實際際上，只有當當時刻標的資資產(chǎn)價格足夠夠大時，提前前執(zhí)行美式看看漲期權才是是合理的。同樣，在時刻刻不能提前執(zhí)執(zhí)行有收益資資產(chǎn)的美式看看漲期權條件件是：（13.13）由于存在提前前執(zhí)行更有利利的可能性，，有收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式看漲漲期權價值大大于等于歐式式看漲期權，，其下限為：：（13.14）2．看跌期期權由于提前執(zhí)執(zhí)行有收益益資產(chǎn)的美美式期權意意味著自己己放棄收益益權，因此此收益使美美式看跌期期權提前執(zhí)執(zhí)行的可能能性變小，，但還不能能排除提前前執(zhí)行的可可能性。通過同樣的的分析，我我們可以得得出美式看看跌期權不不能提前執(zhí)執(zhí)行的條件件是：由于美式看看跌期權有有提前執(zhí)行行的可能性性，因此其其下限為：：（13.15）五、期權價價格曲線的的形狀（一）看漲漲期權價格格曲線無收益資產(chǎn)產(chǎn)看漲期權權價格曲線線如圖13-2所示示。有收益資產(chǎn)產(chǎn)看漲期權權價格曲線線與圖13.2類似似，只是把把X()換成X()。（二）看跌跌期權價格格曲線1．歐式看看跌期權價價格曲線無收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式看跌跌期權價格格曲線如圖圖13-3所示。圖13.3無收收益資產(chǎn)歐歐式看跌期期權價格曲曲線有收益資產(chǎn)產(chǎn)期權價格格曲線與圖圖13.3相似，只只是把換為2．美式看看跌期權價價格曲線無收益資產(chǎn)產(chǎn)美式看跌跌期權價格格曲線如圖圖13-4所示。有收益美式式看跌期權權價格曲線線與圖13.4相似似，只是把把X換成。。六、看漲期期權與看跌跌期權之間間的平價關關系（一）歐式式看漲期權權與看跌期期權之間的的平價關系系1．無收益益資產(chǎn)的歐歐式期權考慮如下兩兩個組合：：組合A：一一份歐式看看漲期權加加上金額為為的的現(xiàn)金組合B：一一份有效期期和協(xié)議價價格與看漲漲期權相同同的歐式看看跌期權加加上一單位位標的資產(chǎn)產(chǎn)在期權到期期時，兩個個組合的價價值均為()。由于于歐式期權權不能提前前執(zhí)行，因因此兩組合合在時刻t必須具有有相等的價價值，即：：（13.16）這就是無收收益資產(chǎn)歐歐式看漲期期權與看跌跌期權之間間的平價關關系。它表表明歐式看看漲期權的的價值可根根據(jù)相同協(xié)協(xié)議價格和和到期日的的歐式看跌跌期權的價價值推導出出來，反之之亦然。如果式（13.16）不成立立，則存在在無風險套套利機會。。套利活動動將最終促促使式（13.16）成立。。2．有收益益資產(chǎn)歐式式期權在標的資產(chǎn)產(chǎn)有收益的的情況下，，我們只要要把前面的的組合A中中的現(xiàn)金改改為，，我們就就可推導有有收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式看漲漲期權和看看跌期權的的平價關系系：（13.17）（二）美式式看漲期權權和看跌期期權之間的的關系1．無收益益資產(chǎn)美式式期權。由于P>p,從式（（13.16）中我我們可得：：對于無收益益資產(chǎn)看漲漲期權來說說，由于，，因此：（13.18）為了推出C和P更嚴嚴密的關系系，我們考考慮以下兩兩個組合：：組合A：一一份歐式看看漲期權加加上金額為為X的現(xiàn)金金組合B：一一份美式看看跌期權加加上一單位位標的資產(chǎn)產(chǎn)如果美式期期權沒有提提前執(zhí)行，，則在T時時刻組合B的價值為為()，而而此時組合合A的價值值為。因此此組合A的的價值大于于組合B。。如果美式期期權在τ時時刻提前執(zhí)執(zhí)行，則在在τ時刻，，組合B的的價值為X，而此時時組合A的的價值大于于等于X。。因此組合合A的價值值也大于組組合B。這就是說，，無論美式式組合是否否提前執(zhí)行行，組合A的價值都都高于組合合B，因此此在t時刻刻，組合A的價值也也應高于組組合B，即即：>由于，因此此，>>結(jié)合式（13.18），我們們可得：（13.19）由于美式期期權可能提提前執(zhí)行，，因此我們們得不到美美式看漲期期權和看跌跌期權的精精確平價關關系，但我我們可以得得出結(jié)論：：無收益美美式期權必必須符合式式（13.19）的的不等式。。2．有收益益資產(chǎn)美式式期權同樣，我們們只要把組組合A的現(xiàn)現(xiàn)金改為，，就可得到到有收益資資產(chǎn)美式期期權必須遵遵守的不等等式：（）（（13.20）第二節(jié)期期權組合的的盈虧分布布期權交易的的精妙之處處在于可以以通過不同同的期權品品種構(gòu)成眾眾多具有不不同盈虧分分布特征的的組合。投資者可以以根據(jù)各自自對未來標標的資產(chǎn)現(xiàn)現(xiàn)貨價格概概率分布的的預期，以以及各自的的風險收益益偏好，選選擇最適合合自己的期期權組合。。在以下的分分析中同組組合中的期期權標的資資產(chǎn)均相同同。一、標的資資產(chǎn)與期權權組合通過組建標標的資產(chǎn)與與各種期權權頭寸的組組合，我們們可以得到到與各種期期權頭寸本本身的盈虧虧圖形狀相相似但位置置不同的盈盈虧圖，如如圖13.5表示。。圖13.5（a）反反映了標的的資產(chǎn)多頭頭與看漲期期權空頭組組合的盈虧虧圖，該組組合稱為有有擔保的看看漲期權（（）空頭頭。標的資資產(chǎn)空頭與與看漲期權權多頭組合合的盈虧圖圖，與有擔擔保的看漲漲期權空頭頭剛好相反反。圖13.5（b）反反映了標的的資產(chǎn)多頭頭與看跌期期權多頭組組合的盈虧虧圖，標的的資產(chǎn)空頭頭與看跌期期權空頭組組合的盈虧虧圖剛好相相反。從圖圖13.5可以看出出,組合合的盈虧曲曲線可以直直接由構(gòu)成成這個組合合的各種資資產(chǎn)的盈虧虧曲線疊加加而來。二、差價價組合差價（）組組合是指持持有相同期期限、不同同協(xié)議價格格的兩個或或多個同種種期權頭寸寸組合（即即同是看漲漲期權，或或者同是看看跌期權）），其主要要類型有牛牛市差價組組合、熊市市差價組合合、蝶式差差價組合等等。1．牛市市差價（））組合。。牛市差價組組合是由一一份看漲期期權多頭與與一份同一一期限較高高協(xié)議價格格的看漲期期權空頭組組成。由于于協(xié)議價格格越高，期期權價格越越低，因此此構(gòu)建這個個組合需要要初始投資資。牛市差價組組合牛市差價組組合在不同同情況下的的盈虧可用用表13.2表示。。表13.2牛牛市差價價期權的盈盈虧狀況表13.2結(jié)果可用用圖13.6表示，，從圖可看看出，到期期日現(xiàn)貨價價格升高對對組合持有有者較有利利，故稱牛牛市差價組組合。標的資產(chǎn)價格范圍看漲期權多頭的盈虧看漲期權空頭的盈虧總盈虧X2―X1―c1X2―2X2―X12―c1X1<<X2―X1―c1c2―X12―c1X11c2c2―c1通過比較標標的資產(chǎn)現(xiàn)現(xiàn)價與協(xié)議議價格的關關系，我們們可以把牛牛市差價期期權分為三三類：兩兩虛值期權權組合，指指兩個協(xié)議議價格均比比現(xiàn)貨價格格高；多多頭實值期期權加空頭頭虛值期權權組合，指指多頭期權權的協(xié)議價價格比現(xiàn)貨貨價格低，，而空頭期期權的協(xié)議議價格比現(xiàn)現(xiàn)貨價格高高；兩實實值期權組組合，指兩兩個協(xié)議價價格均比現(xiàn)現(xiàn)貨價格低低。此外，一份份看跌期權權多頭與一一份同一期期限、較高高協(xié)議價格格的看跌期期權空頭組組合也是牛牛市差價組組合，如圖圖13.7所示。比較看漲期期權的牛市市差價與看看跌期權的的牛市差價價組合可以以看，前者者期初現(xiàn)金金流為負，，后者為正正，但前者者的最終收收益可能大大于后者。。2．熊市市差價組合合熊市差價（（）組合合剛好跟牛牛市差價組組合相反，，它可以由由一份看漲漲期權多頭頭和一份相相同期限、、協(xié)議價格格較低的看看漲期權空空頭組成（（如圖13.8所示示）也可以以由一份看看跌期權多多頭和一份份相同期限限、協(xié)議價價格較低的的看跌期權權空頭組成成（如圖13.9所所示）?？礉q期權的的熊市差價價組合和看看跌期權的的熊市差價價組合的差差別在于，，前者在期期初有正的的現(xiàn)金流，，后者在期期初則有負負的現(xiàn)金流流，但后者者的最終收收益可能大大于前者。。通過比較牛牛市和熊市市差價組合合可以看出出，對于同同類期權而而言，凡““買低賣高高”的即為為牛市差價價策略，而而“買高賣賣低”的即即為熊市差差價策略，，這里的““低”和““高”是指指協(xié)議價格格。兩者的的圖形剛好好與X軸對對稱。3．蝶式式差價組合合蝶式差價（（）組合合是由四份份具有相同同期限、不不同協(xié)議價價格的同種種期權頭寸寸組成。若X1<X2<X3，且X2=（X13）/2，則蝶蝶式差價組組合有如下下四種：看漲期權權的正向蝶蝶式差價組組合，它由由協(xié)議價格格分別為X1和X3的看漲期期權多頭和和兩份協(xié)議議價格為X2的看漲漲期權空頭頭組成，其其盈虧分布布圖如圖13.10所示；看漲期權權的反向蝶蝶式差價組組合，它由由協(xié)議價格格分別為X1和X3的看漲期期權空頭和和兩份協(xié)議議價格為X2的看漲漲期權多頭頭組成，其其盈虧圖剛剛好與圖13.10相反；；看跌期權權的正向蝶蝶式差價組組合，它由由協(xié)議價格格分別為X1和X3的看跌期期權多頭和和兩份協(xié)議議價格為X2的看跌跌期權空頭頭組成，其其盈虧圖如如圖13.11所示示?？吹跈鄼嗟姆聪虻讲顑r組組合，它由由協(xié)議價格格分別為X1和X3的看跌期期權空頭和和兩份協(xié)議議價格為X2的看跌跌期權多頭頭組成，其其盈虧圖與與圖13.11剛好好相反。圖13.10看漲漲期權的正正向蝶式差差價組合圖圖13.11看看跌期權的的正向蝶式式差價組合合三、差期期組合差期（））組合是由由兩份相同同協(xié)議價格格、不同期期限的同種種期權的不不同頭寸組組成的組合合。它有四四種類型：：一份看漲漲期權多頭頭與一份期期限較短的的看漲期權權空頭的組組合，稱看看漲期權的的正向差期期組合。一份看漲漲期權多頭頭與一份期期限較長的的看漲期權權空頭的組組合，稱看看漲期權的的反向差期期組合。一份看跌跌期權多頭頭與一份期期限較短的的看跌期權權空頭的組組合，稱看看跌期權的的正向差期期組合。一份看跌跌期權多頭頭與一份期期限較長的的看跌期權權空頭的組組合，稱看看跌期權的的反向差期期組合。看漲期權的的正向差期期組合的盈盈虧分布情情況見表13.3。。表13.3看漲期權權的正向差差期組合的的盈虧狀況況根據(jù)表13.3，我我們可以畫畫出看漲期期權正向差差期組合的的盈虧分布布圖如圖13.12所示。的范圍看漲期權多頭的盈虧看漲期權空頭的盈虧總盈虧趨近―X―c1X―2趨近c2―c1c1T―c1c2c2―c11T0趨近1c2趨近c2―c1用同樣的分分析法我們們可以畫出出看跌期權權正向差期期組合的盈盈虧分布圖圖如圖13.13所所示。看跌跌期權反向向差期組合合的盈虧分分布圖正好好與圖13.13相相反，也從從略。四、對角組組合對角組合（（）是指指由兩份協(xié)協(xié)議價格不不同（X1和X2，，且X1<X2）、、期限也不不同（T和和T*，且且T<T*）的同種種期權的不不同頭寸組組成。它有有八種類型型：1．看漲漲期權的（（X1，T*）多頭頭加（X2，T）空空頭組合。。表13.4看漲漲期權的正正向差價和和差期組合合根據(jù)表13.4，我我們可以畫畫出看漲期期權的正向向差價和差差期組合的的盈虧分布布圖如圖13.14所示。2.看漲期期權的（X1，T*）空頭加加（X2，，T）多頭頭組合。其其盈虧圖與與圖13.14剛好好相反的范圍(X1,T*)多頭的盈虧(X2,T)空頭的盈虧總盈虧趨近于―X1―c1X2―2趨近X2―X12－c12X2―X11T―c1c2X2―X12―c11T0趨近1c2趨近c2―c13.看看漲期權的的（X2，，T*）多多頭加（X1，T））空頭組合合。4.看看漲期權的的（X2，，T*）空空頭加（X1，T））多頭組合合，其盈虧虧分布圖與與圖13.15剛好好相反。5.看看跌期權的的（X1，，T*）多多頭加（X2，T））空頭組合合，其盈虧虧圖如圖13.16所示。6.看看跌期權權的（X1，T*））空頭加（（X2，T）多頭組組合，其盈盈虧圖與圖圖13.16剛好相相反。7.看跌跌期權的（（X2，T*）多頭頭加（X1，T）空空頭組合，，其盈虧圖圖如圖13.17所所示。8.看看跌跌期期權權的的（（X2，，T*））空空頭頭加加（（X1，，T））多多頭頭組組合合，，其其盈盈虧虧圖圖與與圖圖13.17剛剛好好相相反反。。五、、混混合合期期權權1．．跨跨式式組組合合（（））：：由由具具有有相相同同協(xié)協(xié)議議價價格格、、相相同同期期限限的的一一份份看看漲漲期期權權和和一一份份看看跌跌期期權權組組成成。?？缈缡绞浇M組合合分分為為兩兩種種：：底底部部跨跨式式組組合合和和頂頂部部跨跨式式組組合合。。前前者者由由兩兩份份多多頭頭組組成成，，后后者者由由兩兩份份空空頭頭組組成成。。底部部跨跨式式組組合合的的盈盈虧虧圖圖如如圖圖13.18所所示示，，頂頂部部跨跨式式組組合合的的盈盈虧虧圖圖與與圖圖13.18剛剛好好相相反反。。2．．條條式式組組合合和和帶帶式式組組合合條式式組組合合（（））由由具具有有相相同同協(xié)協(xié)議議價價格格、、相相同同期期限限的的一一份份看看漲漲期期權權和和兩兩份份看看跌跌期期權權組組成成。。條條式式組組合合也也分分底底部部和和頂頂部部兩兩種種，，前前者者由由多多頭頭構(gòu)構(gòu)成成，，后后者者由由空空頭頭構(gòu)構(gòu)成成。。底部條式組合合的盈虧圖如如圖13.19所示，頂頂部條式組合合的盈虧圖剛剛好相反。帶式組合（））由具有相同同協(xié)議價格、、相同期限的的資產(chǎn)的兩份份看漲期權和和一份看跌期期權組成，帶帶式組合也分分底部和預部部兩種，前者者由多頭構(gòu)成成，后者由空空頭構(gòu)成。底部帶式組合合的盈虧圖如如圖13.20所示，頂頂部帶式組合合的盈虧圖剛剛好相反。3．寬跨式式組合。寬跨式組合（（）由相同到到期日但協(xié)議議價格不同的的一份看漲期期權和一份看看跌期權組成成，其中看漲漲期權的協(xié)議議價格高于看看跌期權。寬寬跨式組合也也分底部和頂頂部，前者由由多頭組成，，后者由空頭頭組成。前者者的盈虧圖如如圖13.21所示。后后者的盈虧圖圖剛好相反。。第三節(jié)期期權定價的的理論基礎一、弱式效率率市場假說與與馬爾可夫過過程1965年，，法瑪（EF）提出出了著名的效效率市場假說說。該假說認認為，投資者者都力圖利用用可獲得的信信息獲得更高高的報酬；證證券價格對新新的市場信息息的反應是迅迅速而準確的的，證券價格格能完全反映映全部信息；；市場競爭使使證券價格從從一個均衡水水平過渡到另另一個均衡水水平，而與新新信息相應的的價格變動是是相互獨立的的，或稱隨機機的，因此效效率市場假說說又稱隨機漫漫步理論。效率市場假說說可分為三類類：弱式、半半強式和強式式。弱式效率市場場假說認為，，證券價格變變動的歷史不不包含任何對對預測證券價價格未來變動動有用的信息息，也就是說說不能通過技技術分析獲得得超過平均收收益率的收益益。半強式效率市市場假說認為為，證券價格格會迅速、準準確地根據(jù)可可獲得的所有有公開信息調(diào)調(diào)整，因此以以往的價格格和成交量等等技術面信息息以及已公布布的基本面信信息都無助于于挑選出價格格被高估或低低估的證券。。強式效率市場場假說認為，，不僅是已公公布的信息，，而且是可能能獲得的有關關信息都已反反映在股價中中，因此任何何信息（包括括“內(nèi)幕信息息”）對挑選選證券都沒有有用處。效率市場假說說提出后，許許多學者運用用各種數(shù)據(jù)對對此進行了實實證分析。結(jié)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)發(fā)達國家的證證券市場大體體符合弱式效效率市場假說說。弱式效率市場場假說可用馬馬爾可夫隨機機過程（））來表述。。所謂隨機過程程是指某變量量的值以某種種不確定的方方式隨時間變變化的過程。。根據(jù)時間是是否連續(xù)，隨隨機過程可分分為離散時間間隨機過程和和連續(xù)時間隨隨機過程，前前者是指變量量只能在某些些分離的時間間點上變化的的過程，后者者指變量可以以在連續(xù)的時時間段變化的的過程。根據(jù)據(jù)變量取值范范圍是否連續(xù)續(xù)劃分，隨機機過程可分為為離散變量隨隨機過程和連連續(xù)變量隨機機過程，前者者指變量只能能取某些離散散值，而后者者指變量可以以在某一范圍圍內(nèi)取任意值值。馬爾可夫過程程是一種特殊殊類型的隨機機過程。在這這個過程中，，只有變量的的當前值才與與未來的預測測有關，變量量過去的歷史史和變量從過過去到現(xiàn)在的的演變方式與與未來的預測測無關。（一）標準布布朗運動設代代表一個個小的時間間間隔長度，代代表變量z在在時間內(nèi)的變化化，遵循標準準布朗運動的的具有兩種特特征：特征1：和和的的關系滿滿足＝（（13.21）特征2：對于于任何兩個不不同時間間隔隔，，的值相互獨立立。從特征1可知知，本身身也具有正態(tài)態(tài)分布特征，，其均值為0，標準差為為，，方差差為。。從特征2可知知，標準布朗朗運動符合馬馬爾可夫過程程，因此是馬馬爾可夫過程程的一種特殊殊形式?，F(xiàn)在我們來考考察遵循標準準布朗運動的的變量z在一一段較長時間間T中的變化化情形。我們們用z（T））－z(0)表示變量z在T中的變變化量，它可可被看作是在在N個長度為為的小小時間間隔中中z的變化總總量，其中，，因此，（13.22）其中(1，2，……N））是標準正態(tài)態(tài)分布的隨機機抽樣值。從從特征2可知知，是相互獨獨立的，因此此z（T）（（0）也具有有正態(tài)分布特特征，其均值值為0，方差差為N，標標準差為。。由此我們可以以發(fā)現(xiàn)兩個特特征：在任任意長度的時時間間隔T中中，遵循標準準布朗運動的的變量的變化化值具有均值值為0，標準準差為的正態(tài)態(tài)分布。對對于相互獨立立的正態(tài)分布布，方差具有有可加性，而而標準差不具具有可加性。。當0時，我我們就可以得得到極限的標標準布朗運動動：（13.23）（二）普通布布朗運動為了得到普通通的布朗運動動，我們必須須引入兩個概概念：漂移率率和方差率。。漂移率（））是指單位位時間內(nèi)變量量z均值的變變化值。方差差率（）是是指單位時間間的方差。標準布朗運動動的漂移率為為0，方差率率為1.0。。漂移率為0意味著在未未來任意時刻刻z的均值都都等于它的當當前值。方差差率為1.0意味著在一一段長度為T的時間段后后，z的方差差為1.0T。我們令令漂移率的期期望值為a,方差率的期期望值為b2，就可得到到變量x的的普通布朗運運動：從式（13.21）和（（13.24）可知，在在短時間后，，x值的變化化值為：因此，Δx也也具有正態(tài)分分布特征，其其均值為，，標準準差為，，方差為。。同同樣，在任意意時間長度T后x值的變變化也具有正正態(tài)分布特征征，其均值為為，標準差為為，，方差為為b2T。三、證券價格格的變化過程程

證券價價格的變化過過程可以用普普遍布朗運動動來描述。但但由于投資者者關心的是證證券價格的變變動幅度而不不是變動的絕絕對值，因此此我們可以用用證券價格比比例的方式來來定義證券價價格的布朗運運動：（13.25）其中S表示證證券價格，μμ表示證券在在單位時間內(nèi)內(nèi)以連續(xù)復利利計算的期望望收益率（又又稱預期收益益率），表表示證券券收益率單位位時間的方差差，表表示證券收益益率單位時間間的標準差，，簡稱證券價價格的波動率率（），遵循循標準布朗運運動。從（13.21）和上式式可知，在短短時間后，，證證券價格比率率的變化值為為：則可得（（13.26）我們將在下文文證明，衍生生證券的定價價與標的資產(chǎn)產(chǎn)的預期收益益率是無關的的。相反，證證券價格的波波動率對于衍衍生證券的定定價則是相當當重要的。應該注意的是是，由于比例例變化不具有有可加性，，因此我們并并不能象以前前一樣推導出出在任意時間間長度T后證證券價格比例例變化的標準準差為。。四、伊藤過程程和伊藤引理理普通布朗運動動假定漂移率率和方差率為為常數(shù)，若把把變量x的漂漂移率和方差差率當作變量量x和時間t的函數(shù)，我我們可以從公公式（13.24）得到到伊藤過程（（）：（（13.27）其中，是一個個標準布朗運運動，a、b是變量x和和t的函數(shù)，，變量x的漂漂移率為a，，方差率為b2。在伊藤過程的的基礎上，伊伊藤進一步推推導出：若變變量x遵循伊伊藤過程，則則變量x和t的函數(shù)G將將遵循如下過過程：（13.28）公式（13.28）就是是著名的伊藤藤引理。從式（13.25）中，，我們可得：：（13.29）我們知道，衍衍生證券的價價格是標的證證券價格S和和時間t的函函數(shù)。根據(jù)伊伊藤引理，衍衍生證券的價價格G應遵循循如下過程：：（13.30）比較式（13.29）和和(13.30)可看出出，衍生證券券價格G和標標的證券價格格S都受同一一個基本的不不確定性來源源的影響，這這點對于以后后推導衍生證證券的定價公公式很重要。。五、證券價格格自然對數(shù)變變化過程我們可用伊藤藤引理來推導導證券價格自自然對數(shù)變化化所遵循的隨隨機過程。令我們就可得出出證券價格對對數(shù)G所遵循循的隨機過程程為：令t時刻G的的值為，T時時刻G的值為為，其中S表表示t時刻（（當前時刻））的證券價格格，表示T時時刻（將來時時刻）的證券券價格，則在在T－t期間間G的變化為為：這意味著：（（13.31）根據(jù)正態(tài)分布布的特性，從從式（13.31）可以以得到：（13.32）這表明服從對對數(shù)正態(tài)分布布。的標準差差與成比例，，這說明證券券價格對數(shù)的的不確定性（（用標準差表表示）與我們們考慮的未來來時間的長度度的平方根成成正比。這就就解決了前面面所說的證券券價格比例變變化的標準差差與時間不成成正比的問題題。根據(jù)式（13.32）和和對數(shù)正態(tài)分分布的特性,可知的期望望值E()為為：這與作為預期期收益率的定定義相符。的的方差()為為:第四節(jié)布布萊克——舒舒爾斯期權定定價模型一、布萊克———舒爾斯微微分方程推導布萊克———舒爾斯微微分方程需要要用到如下假假設：證券價格遵循循幾何布朗過過程，即和為為常數(shù)；允許賣空標的的證券；沒有交易費用用和稅收，所所有證券都是是完全可分的的；在衍生證券有有效期內(nèi)標的的證券沒有現(xiàn)現(xiàn)金收益支付付；不存在無風險險套利機會；；證券交易是連連續(xù)的，價格格變動也是連連續(xù)的；在衍生證券有有效期內(nèi)，無無風險利率r為常數(shù)。實際上，有些些假設條件我我們可以放松松，如、和r可以是t的的函數(shù)。（一）布萊克克——舒爾斯斯微分方程的的推導（13.35）（13.36）我們可以構(gòu)建建一個包括一一單位衍生證證券空頭和單單位標標的證券多頭頭的組合。令代表該投投資組合的價價值，則：（13.37）在時間后，該該投資組合的的價值變化為為：在沒有套利機機會的條件下下：我們代入和和，，則可得著著名的布萊克克——舒爾斯斯微分分程：：布萊克——舒舒爾斯微分分分程適用于其其價格取決于于標的證券價價格S的所有有衍生證券的的定價。應該注意的是是，當S和t變化時，的的值也也會變化，因因此上述投資資組合的價值值并不是永遠遠無風險的，，它只是在一一個很短的時時間間隔中才才是無風險的的。在一個較較長時間中，，要保持該投投資組合無風風險，必須根根據(jù)的的變化而相應應調(diào)整標的證證券的數(shù)量。。當然，推導導布萊克———舒爾斯微分分方程并不要要求調(diào)整標的的證券的數(shù)量量，因為它只只關心中中的變化。。（二）風險中中性定價原理理從上可以看出出受制于主觀觀的風險收益益偏好的標的的證券預期收收益率并未包包括在衍生證證券的價值決決定公式中。。這意味著，無無論風險收益益偏好狀態(tài)如如何，都不會會對f的值產(chǎn)產(chǎn)生影響。于是，我們就就可以利用布布萊克——舒舒爾斯微分方方程所揭示的的這一特性，，作出一個可可以大大簡化化我們工作的的簡單假設：：在對衍生證券券定價時，所所有投資者都都是風險中性性的。這就是是風險中性定定價原理。為了更好地理理解風險中性性定價原理，，我們可以舉舉一個簡單的的例子來說明明。（見書書）二、布萊克———舒爾斯期期權定價公式式在風險中性的的條件下，歐歐式看漲期權權到期時（T時刻）的期期望值為：根據(jù)風險中性性定價原理，，歐式看漲期期權的價格c等于將此期期望值按無風風險利率進行行貼現(xiàn)后的現(xiàn)現(xiàn)值，即：（13.41）對式（13.41）右邊邊求值是一種種積分過程，，結(jié)果為：其中，由于歐式看漲漲期權和看跌跌期權之間存存在平價關系系,可得(d1)是的的價值(d2)是X份看漲期權權空頭的價值值。N(d2)是是在風險中性性世界中期權權被執(zhí)行的概概率，或者說說大于X的概概率，(d2)是X的的風險中性期期望值的現(xiàn)值值。(d1)是得到的的風險中性期期望值的現(xiàn)值值。是復制交易策策略中股票的的數(shù)量，（d1)就是股股票的市值,(d2)則是復制交交易策略中負負債的價值。。三、有收益資資產(chǎn)的期權定定價公式（一）有收益益資產(chǎn)歐式期期權的定價公公式在收益已知情情況下，我們們可以把標的的證券價格分分解成兩部分分：期權有效效期內(nèi)已知現(xiàn)現(xiàn)金收益的現(xiàn)現(xiàn)值部分和一一個有風險部部分。當標的證券已已知收益的現(xiàn)現(xiàn)值為I時，，我們只要用用（S－I））代替S即可可求出固定收收益證券歐式式看漲和看跌跌期權的價格格。當標的的證券券的收收益為為按連連續(xù)復復利計計算的的固定定收益益率q（單單位為為年））時，，我們們只要要將代代替S就可可求出出支付付連續(xù)續(xù)復利利收益益率證證券的的歐式式看漲漲和看看跌期期權的的價格格，從從而使使布萊萊克———舒舒爾斯斯的歐歐式期期權定定價公公式適適用歐歐式貨貨幣期期權和和股價價指數(shù)數(shù)期權權的定定價。。對于歐歐式期期貨期期權，，布萊萊克教教授也也給出出了定定價公公式：：其中，，例子見見書.（二））有收收益資資產(chǎn)美美式期期權的的定價價1．美美式看看漲期期權當標的的資產(chǎn)產(chǎn)有收收益時時，美美式看看漲期期權就就有提提前執(zhí)執(zhí)行的的可能能，因因此有有收益益資產(chǎn)產(chǎn)美式式期權權的定定價較較為復復雜，，布萊萊克提提出了了一種種近似似處理理方法法。該該方法法是先先確定定提前前執(zhí)行行美式式看漲漲期權權是否否合理理，其其方法法我們們在本本章第第一節(jié)節(jié)已論論述過過。若若不合合理，，則按按歐式式期權權處理理；若若在提提前執(zhí)執(zhí)行有有可能能是合合理的的，則則要分分別計計算在在T時時刻和和時刻刻到期期的歐歐式看看漲期期權的的價格格，然然后將將二者者之中中的較較大者者作為為美式式期權權的價價格。。在大大多數(shù)數(shù)情況況下，，這種種近似似效果果都不不錯。。2．美美式看看跌期期權由于收收益雖雖然使使美式式看跌跌期權權提前前執(zhí)行行的可可能性性減小小，但但仍不不排除除提前前執(zhí)行行的可可能性性，因因此有有收益益美式式看跌跌期權權的價價值仍仍不同同于歐歐式看看跌期期權，，它也也只能能通過過較復復雜的的數(shù)值值方法法來求求出。。第五節(jié)節(jié)二二叉叉樹期期權定定價摸摸型由于美美式看看跌期期權無無法用用布萊萊克———舒舒爾斯斯期權權定價價公式式進行行精確確定價價，因因此要要用其其它替替代方方法，，如二二叉樹樹期權權定價價模型型，該該模型型是由由科克克斯（（）、、羅斯斯()和魯魯賓斯斯坦()于于1979年首首先提提出的的。一、無無收益益資產(chǎn)產(chǎn)期權權的定定價二叉樹樹模型型首先先把期期權的的有效效期分分為很很多很很小的的時間間間隔隔，并并假設設在每每一個個時間間間隔隔內(nèi)證證券價價格從從開始始的S運動動到兩兩個新新值和和中的的一個個，如如圖13.22所示示。其其中，，u>1，，d<1，，且1圖13.22T時時間內(nèi)內(nèi)證券券價格格的變變動為了對對期權權進行行定價價，二二叉樹樹模型型也應應用風風險中中性定定價原原理并并假定定：（1））所有有可交交易證證券的的期望望收益益都是是無風風險利利率；；（2））未來來現(xiàn)金金流可可以用用其期期望值值按無無風險險利率率貼現(xiàn)現(xiàn)來計計算現(xiàn)現(xiàn)值。。S0u

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–p)（一））參數(shù)數(shù)p、、u和和d的的確定定參數(shù)p、u和d的值值必須須滿足足這個個要求求，即即：根據(jù)本本章第第2節(jié)節(jié)的討討論，，在一一個小小時間間段內(nèi)內(nèi)證券券價格格變化化的方方差是是。。根根據(jù)方方差的的定義義，變變量X的方方差等等于X2的的期望望值與與X期期望值值平方方之差差，因因此：：由上可可得，，（二））證券券價格格的樹樹型結(jié)結(jié)構(gòu)應用二二叉樹樹模型型來表表示證證券價價格變變化的的完整整樹型型結(jié)構(gòu)構(gòu)如圖圖13.23所所示。。圖13.23證證券價價格的的樹型型結(jié)構(gòu)構(gòu)當時間間為0時，，證券券價格格為S。時時間間為t時時，證證券價價格要要么上上漲到到，要要么下下降到到；時時間為為2t時，，證券券價格格就有有三種種可能能：2、（（等于于S））和2，以以此類類推。。一般般而言言，在在時刻刻it，，證券券價格格有1種可可能，，它們們可用用符號號表示示為：：其中0，1，2，………，，i（三））倒推推定價價法由于在在T時時刻的的期權權價值值是已已知的的。所所以以在二二叉樹樹模型型中，，期權權定價價從樹樹型結(jié)結(jié)構(gòu)圖圖的末末端T時刻刻開始始，采采用倒倒推法法定價價。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5=0.4167;=1=0.0833則可得得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076據(jù)此我我們可可以畫畫出該該股票票在期期權有有效期期內(nèi)的的樹型型圖，，如下下圖：：在時刻刻，股股票在在第j個結(jié)結(jié)點（（0，，1，，2，，………i））的價價格等等于。。例如如，F(xiàn)結(jié)點點（4，1）的的股價價等于于。在在最后后那些些結(jié)點點處，，期權權價值值等于于。例例如，，G結(jié)結(jié)點的的期權權價格格等于于50－35.36=14.64。從最后后一列列結(jié)點點處的的期權權價值值可以以計算算出倒倒數(shù)第第二列列結(jié)點點的期期權價價值。。首先先，我我們假假定在在這些些結(jié)點點處期期權沒沒被提提前執(zhí)執(zhí)行。。這意意味著著所計計算的的期權權價值值是時時間內(nèi)內(nèi)期權權價值值期望望值的的現(xiàn)值值。如如E結(jié)點點處的的期權權價值值等于于：而F結(jié)結(jié)點處處的期期權價價值等等于：：然后，，我們們要檢檢查提提前執(zhí)執(zhí)行期期權是是否較較有利利。在在E結(jié)結(jié)點，，提前前執(zhí)行行將使使期權權價值值為0，，所以以不應應提前前執(zhí)行行。而而在F結(jié)點點，如如果提提前執(zhí)執(zhí)行，，期權權價值值等于于50.00－－39.69元元，等等于10.31元，，大于于上述述的9.90元元。因因此，，若股股價到到達F結(jié)點點，就就應提提前執(zhí)執(zhí)行。。用相同同的方方法我我們可可以算算出各各結(jié)點點處的的期權權價值值，并并最終終倒推推算出出初始始結(jié)點點處的的期權權價值值為4.48元元。（四））美式式看跌跌期權權的定定價公公式其中0，1，2，………，，N假定期期權不不被提提前執(zhí)執(zhí)行，，則在在風險險中性性條件件下：：如果考考慮提提前執(zhí)執(zhí)行的的可能能性的的話，，式中中的必必須與與期權權的內(nèi)內(nèi)在價價值比比較，，由此此可得得：按這種種倒推推法計計算，，當時時間區(qū)區(qū)間的的劃分分趨于于無窮窮大，，或者者說當當每一一區(qū)間間趨于于0時時，就就可以以求出出美式式看跌跌期權權的準準確價價值。。根據(jù)據(jù)實踐踐經(jīng)驗驗，一一般將將時間間區(qū)間間分成成30個就就可得得到較較為理理想的的結(jié)果果。二、有有收益益資產(chǎn)產(chǎn)期權權的定定價（一））支付付連續(xù)續(xù)復利利收益益率資資產(chǎn)的的期權權定價價當標的的資產(chǎn)產(chǎn)支付付連續(xù)續(xù)復利利收益益率q的收收益時時，在在風險險中性性條件件下，，證券券價格格的增增長率率應該該為r－q，因因此此可得得：對于股股價指指數(shù)期期權來來說，，q為為股股票組組合的的紅利利收益益率；；對于于外匯匯期來來說，，q為為國外外無風風險利利率，，因此此上式式也可可用于于股價價指數(shù)數(shù)和外外匯的的美式式看跌跌期權權的定定價。。對于期期貨期期權來來說，，布萊萊克曾曾證明明，在在對期期貨期期權定定價時時期貨貨的價價格可可以和和支付付連續(xù)續(xù)紅利利率r的證證券同同樣對對待，，因此此對于于期貨貨期權權而言言，，，即：：因此，，也就就可用用于美美式期期貨看看跌期期權的的定價價。（二））支付付已知知收益益資產(chǎn)產(chǎn)的期期權定定價1．已已知紅紅利率率若標的的資產(chǎn)產(chǎn)在未未來某某一確確定時時間將將支付付已知知收益益率，我我們只只要調(diào)調(diào)整在在各個個結(jié)點點上的的證券券價格格就可可算出出期權權價格格。調(diào)調(diào)整方方法如如下：：如果時時刻i在在除權權日之之前，，則結(jié)結(jié)點處處證券券價格格仍為為：如果時時刻i在在除權權日之之后，，則結(jié)結(jié)點處處證券券價格格相應應調(diào)整整為：：0，1，………對在期期權有有效期期內(nèi)有有多個個已知知紅利利率的的情況況，也也可進進行同同樣處處理。。若δδi為為0時時刻到到時刻刻之間間所有有除權權日的的紅利利支付付率，，則時時刻結(jié)結(jié)點的的相應應的證證券價價格為為：2．已已知紅紅利額額若標的的資產(chǎn)產(chǎn)在未未來某某一確確定日日期將將支付付已知知數(shù)額額的收收益，，則除除權后后樹枝枝將不不再重重合，，這意意味著著所要要估算算的結(jié)結(jié)點的的數(shù)量量可能能變得得很大大，特特別是是如果果支付付多次次已知知數(shù)額額收益益的話話。為了簡簡化起起見，，我們們?nèi)钥煽梢园寻炎C券券價格格分為為兩個個部分分：一一部分分是不不確定定的，，而另另一部部分是是期權權有效效期內(nèi)內(nèi)所有有未來來紅利利的現(xiàn)現(xiàn)值。。假設設在期期權有有效期期內(nèi)只只有一一個除除息日日，而而且x時刻刻不確確定部部分的的價值值S*為為：：當x>時當x<=時時其中D表示收收益金金額。。設為為S*的標準準差，，假設設是是常數(shù)數(shù)，這這樣就就可用用通常常的方方法構(gòu)構(gòu)造出出模擬擬S*的二叉叉樹了了。。通過把把未來來收益益現(xiàn)值值加在在每個個結(jié)點點的證證券價價格上上，就就會使使原來來的二二叉樹樹轉(zhuǎn)化化為另另一個個模擬擬S的二叉叉樹。。在iDt時刻，，當時時，這這個樹樹上每每個結(jié)結(jié)點對對應的的證券券價格格為：：j=0，1，2……，，i當時時，這