..等腰三角形1．如圖,已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),和都是等邊三角形,AN、BM相交于點(diǎn)O,AN、CM交于點(diǎn)P,BM、CN交于點(diǎn)Q．

〔1求證：．

〔2求的度數(shù)．

〔3求證：．

[分析]〔1欲證,只需證明它所在的兩個(gè)三角形全等．〔2的度數(shù)可用的外角來求,但要注意全等所得到這一條件的使用．〔3要,則,應(yīng)該為一個(gè)等邊三角形,可證明≌,從而得到．

〔1證明：和都是等邊三角形,

,,,

,

即．

在和中,

≌,

．

〔2由〔1知,≌,．

,

即．

〔3在和中,

≌,

,

．

又,

,

即,

．

[點(diǎn)撥]

〔1要證明線段相等〔或角相等,找它們所在的三角形全等．

〔2本題的圖形規(guī)律：共一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)等邊三角形構(gòu)成的圖形中,存在一對(duì)或多對(duì)繞公共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換的三角形全等．

2．如圖,在中,,,的平分線AM的長(zhǎng)15,求BC的長(zhǎng)．

[分析]由AM平分,,可得,,則,所以．在中,,可得,由,可求出BC的長(zhǎng)．

解：在中,,,

．

AM平分,

,

,

．

在中,,

．

[點(diǎn)撥]含30度的直角三角形的性質(zhì)常與直角三角形的兩個(gè)銳角互余一起運(yùn)用,此性質(zhì)是求線段長(zhǎng)度和證明線段倍分問題的重要方法．

3．如圖,,,,．求證：．

[分析]根據(jù)已知","聯(lián)想到等腰三角形"三線合一",通過輔助線將證明轉(zhuǎn)化為證明．

證明：延長(zhǎng)CE、BA交于點(diǎn)F．

,

．

在和中,

≌,

,即．

,

．

在和中,

≌,

,

．

[點(diǎn)撥]

〔1利用等腰三角形"三線合一"不僅能得到線段相等、角相等,而且能得到線段的倍半關(guān)系．

〔2聯(lián)系等腰三角形"三線合一"作頂角平分線或底邊的中線或底邊的高線是常用的輔助線．

4．如圖,△ABC中,AB=AC,在AB邊上取點(diǎn)D,在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使BD=CE,連結(jié)DE交BC于G．

求證：DG=GE．

[分析]由于△ABC是等腰三角形,D為AB上一點(diǎn),E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),故可考慮過D或E作腰AC或AB的平行線,通過構(gòu)造等腰三角形,可獲得結(jié)論．

證法1：過D作DF∥AC,交BC于F〔如圖．

∴∠DFB=∠ACB．

又∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB．

∴∠B=∠DFB．

∴DB=DF．

∵CE=BD<已知>,

∴DF=CE．

又∠DGF=∠CGE,∠GDF=∠E,

∴△DFG≌△ECG〔AAS．

∴DG=GE．

證法2：過E作EM∥AB交BC延長(zhǎng)線于M．

∴∠B=∠M．

又∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB．

又∠ACB=∠ECM,

∴∠M=∠ECM．

∴EC=EM．

∵CE=BD<已知>,

∴EM=BD．

在△BDG與△MEG中,

∴△BDG≌△MEG〔AAS．

∴DG=GE．

[點(diǎn)撥]

〔1本題的證明方法很多,其思路是通過利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE條件,構(gòu)造新的

等腰三角形來尋求結(jié)論．

〔2本題在推證含DG、GE為對(duì)應(yīng)邊的兩個(gè)三角形全等時(shí),尋找等邊是一個(gè)難點(diǎn),也是本題最易出錯(cuò)的

地方,主要表現(xiàn)為把BD=CE這一條件直接作為三角形全等時(shí)的對(duì)應(yīng)邊．

5．已知：如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,仿照?qǐng)D〔1,請(qǐng)你再設(shè)計(jì)兩種不同的方法,將△ABC分割成3個(gè)三角形,使得每個(gè)三角形都是等腰三角形〔如圖〔1．

〔2圖<2>〔3供畫圖用,作圖工具不限,不要求寫畫法,不要求證明；要求標(biāo)出所分得的每個(gè)等腰三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

[分析]由于所給三角形是一個(gè)含36°的等腰三角形,因而將它分成三個(gè)等腰三角形時(shí)仍只需考慮以36°,72°,108°等為內(nèi)角的等腰三角形即可．

解：本題顯然應(yīng)有多種結(jié)果,現(xiàn)提供3種,以供同學(xué)們參考,如圖中〔2、〔3、〔4；

[點(diǎn)撥]像本例這種圖形的分割問題的求解,一方面應(yīng)把握原圖形的特征,借助經(jīng)驗(yàn)予以解決,另一方面還應(yīng)大膽嘗試,在操作中獲得結(jié)果．

6．如圖,在一個(gè)寬度為的小巷內(nèi),一個(gè)梯子的長(zhǎng)度為b,梯子的腳位于P點(diǎn)．將梯子的頂端放于一堵墻上Q點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)離地面的高度為c,此時(shí)梯子與地面的夾角為．將梯子頂端放于對(duì)面一堵墻上R點(diǎn),離開地面的高度為d,此時(shí)梯子與地面的夾角為．可知,為什么？

[分析]由,,可知,又,可知為等邊三角形,則,可推得．

證明：連接RQ、RB．

,,

．