第六節(jié)正弦定理和余弦定理【教材·知識梳理】1.正弦定理與余弦定理2.三角形的面積公式S△ABC=aha=bhb=chc=__________=__________=______________.

【常用結論】三角形中的必備結論(1)a>b?A>B(大邊對大角).(2)A+B+C=π(三角形內(nèi)角和定理).(3)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，

(4)射影定理：bcosC+ccosB=a，bcosA+acosB=c，acosC+ccosA=b.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c. (

)(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形. (

)(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要條件是A>B.(

)提示:根據(jù)正弦定理和余弦定理知(3)是錯誤的,(1)(2)是正確的,所以(1)√,(2)√,(3)×.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1在三角形中,一個正弦值(正數(shù))對應兩個角,一個余弦值對應一個角考點一、T32忽視三角形內(nèi)角范圍,即0°<A<180°考點二、典例【教材·基礎自測】1.(必修5P7例2改編)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC= (

)

【解析】選C.在△ABC中,設AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC=由A∈(0,π),得A=,即∠BAC=.2.(必修5P6練習BT3改編)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c<bcosA,則△ABC為 (

)A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.依題意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B為鈍角,△ABC是鈍角三角形.3.(必修5P5練習AT1(1)改編)已知在△ABC中,A=B=a=1,則b等于(

)A.2

B.1

C.

D.【解析】選D.由正弦定理核心素養(yǎng)數(shù)學運算——正余弦定理結合三角變換

【素養(yǎng)詮釋】數(shù)學運算是在明晰運算對象的基礎上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程.主要包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.【典例】(2019·西安模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【素養(yǎng)立意】與三角恒等變換相結合,考查正弦定理、余弦定理.【解析】(1)由asinA=4bsinB及得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理得cosA=(2)由(1)及A∈(0,π),可得sinA=代入asinA=4bsinB,得sinB=由(1)知,A為鈍角,所以cosB=