第四章利率期貨利率期貨合約是標的資產(chǎn)價格僅依附于利率水平的期貨合約。

本章主要內(nèi)容描述利率期貨運作的機制以及它們是如何報價解釋期貨價格與現(xiàn)貨價格的相互關系在考慮包含利率期貨對沖策略的同時討論久期的概念

對沖利率風險暴露比對沖諸如銅價之類的風險暴露更復雜利率產(chǎn)品的定價方法所決定，未來預期現(xiàn)金流貼現(xiàn)得到的現(xiàn)值。其中現(xiàn)金流取決于未來利率的大小，而且所使用的貼現(xiàn)值也取決于未來利率?？梢姡瑢е挛磥憩F(xiàn)金流現(xiàn)值波動的因素有兩個，一個是未來現(xiàn)金流本身，另一個是貼現(xiàn)因子。利率具有時間屬性。為了完全描述利率水平，需要整個利率的期限結(jié)構(gòu)，而銅價可以由單一數(shù)字來描述這樣，希望對沖利率風險暴露的公司不僅僅必須確定它所要求對沖的期限，而且同時還必須確定他暴露于利率的利率期限。然后他還必須尋找合適的利率期貨合約以獲得相應的對沖。預備知識有關利率期限結(jié)構(gòu)（thetermstructureofinterestrates）的概念收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)收益率曲線將具有相同信用級別而期限不同的債券收益率的關系用坐標圖曲線表示出來利率期限結(jié)構(gòu)收益率和期限之間的關系市場上所用的收益率曲線都是對國庫券市場價格和收益的觀察形成的國債是無風險資產(chǎn)，信用差別不影響收益率。所以可以排除信用的差別對收益率的影響國債市場是最活躍的債券市場，流動性最強利率期限結(jié)構(gòu)任何債券都可以看作是零息票債券的組合附息票債券的價值等于復制其現(xiàn)金流的所有零息票債券價值的總和市場的套利交易使得二者相等債券定價的關鍵確定利率期限結(jié)構(gòu)實際上就是確定零息票債券的利率期限結(jié)構(gòu)零息票國債的期限不長于一年只能從國債實際交易收益率中理論上推導收益率曲線即期利率和遠期利率即期利率

n年期即期利率（spotinterestrate），也稱n年期零息票利率（zero-couponrate），是從今天開始計算并持續(xù)n年期限的投資的利率。

這里所考慮的投資應該是中間沒有支付的“純粹”的n年投資。這意味著所有的利息和本金在n年末支付給投資者。

n年即期利率也指的是n年期零息票收益率（n-yearzero-couponyield）。由定義可知，該收益率正好是不付息票債券的收益率。遠期利率（forwardinterestrate）收益率曲線包含了很多的信息可以通過收益率曲線推導未來利率的市場預期—

遠期利率遠期利率是由當前即期利率隱含的將來一定期限的利率例子：投資者投資2年期的債券的兩種選擇選擇1：購買2年期國債選擇2：購買一個1年期國債，到期后再購買另外一個1年期國債根據(jù)無套利原則，2個選擇的收益率應該相等遠期利率（forwardinterestrate）遠期利率是由當前即期利率隱含的將來一定期限的利率表5—1遠期利率的計算年（n）n年期投資的即期利率第n年的遠期利率110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5假設這些即期利率以連續(xù)復利計息因此，一年期10%年利率意味著今天投資100美元，一年后投資者收到100e0.10=110.52美元；兩年期10.5%年利率意味著今天投資100美元，兩年后投資者收到100e0.105×2=123.17美元；依此類推。

表5—1中第二年的遠期利率是年利率11%。這是由兩個即期利率隱含的第一年末至第二年末之間期限的利率。它可以通過一年期每年10%的即期利率和兩年期每年10.5%的即期利率計算出來。正是這個第二年的遠期利率與第一年10%利率組合在一起，得到整個二年期間年利率為10.5%的即期利率。

為說明第二年的遠期利率正是11%，假設投資100美元，則第一年10%年利率和第二年11%年利率（遠期利率）在第二年末總收益為：100e0.1e0.11=123.37二年期年利率為10.5%投資的總收益為：100e0.105×2這個結(jié)果也是123.37美元。

當這些利率是連續(xù)復利，并且將相互銜接時期的利率組合在一起時，整個期間的等價利率是這些利率的簡單算術平均值（例如這里的10.5%是10%和11%的平均值）。當這些利率不是連續(xù)復利時，這個結(jié)果近似成立第三年的遠期利率是二年期10.5%年即期利率與3年期10.8%年即期利率隱含的利率，計算的結(jié)果是年利率11.4%。這是因為以10.5%年利率投資2年之后再以11.4%年利率投資1年可獲得3年期年利率為10.8%的收益。其他的遠期利率可用類似的方法計算遠期利率計算公式R1是T1年期的即期利率，R2是T2年期的即期利率，且T2>T1，T1與T2期間的遠期利率RF

通過即期利率，鎖定遠期利率假設某個投資者可以按即期利率借款或投資。該投資者可以鎖定未來某個時期借款或投資的遠期利率某投資者按10%借100美元，1年期，然后將這筆資金按10.5%投資兩年在第一年末現(xiàn)金流出100e0.10=110.52美元在第二年末現(xiàn)金流入100e0.105×2=123.37美元因為123.37美元=110.52e0.11,在第二年期間110.52美元的回報正好等于遠期利率11%鎖定了未來無風險投資的利率例子假設投資者按11%年利率借100美元，4年期，并以10.8%年利率投資3年期在第3年末現(xiàn)金流入100e0.108×3=138.26美元在第4年末現(xiàn)金流出100e0.11×4=155.27美元因為155.27美元=138.26e0.116第4年所借資金利率正好等于遠期利率11.6%鎖定了未來的無風險借款利率零息票收益率曲線零息票債券（zero-couponbond）是不支付息票的債券。債券的持有者在債券的到期日得到所有的利息和本金收入在實際中并不經(jīng)常發(fā)行零息票債券。然而，通過將普通的附息票債券中的息票“剝離”出來，可以人為創(chuàng)造出零息票債券，“剝離”出的息票可以與本金分開來出售從定義可知，n年期零息票債券收益率就是n年期即期利率。零息票收益率曲線（zero-couponyieldcurve）是表示零息票收益率與到期日之間關系的曲線（也就是即期利率與到期日之間關系曲線）。表5—1中數(shù)據(jù)的零息票收益率曲線

到期（年）每年利率區(qū)分零息票收益率曲線與附息票債券收益率曲線是很重要的。在圖5—1所示的情況下，收益率曲線是向上傾斜的，這是因為如下的情況影響了附息票債券收益率：在債券到期前，投資者獲得一些利息收入，對應于這些利息收入支付日的貼現(xiàn)率低于最后支付日期對應的貼現(xiàn)率。零息票收益率曲線應該在附息票債券收益率的上面。遠期利率零息票收益率附息票債券收益率到期利率有時也考慮遠期利率與遠期合約期限之間的關系曲線。因此遠期利率的期限可以是3個月期、6個月期或其他任何便利的時間期限。如表5—2所示，當收益率曲線是向上傾斜，遠期利率高于零息票收益率。

遠期利率零息票收益率附息票債券收益率到期利率遠期利率曲線在零息票收益曲線之上，而零息票收益率曲線又在附息票債券的收益率曲線之上。到期利率附息票債券收益率零息票收益率遠期利率圖5—3說明了當收益率曲線向下傾斜時的情況。在這種情況下，附息票債券的收益率曲線在零息票收益率曲線之上，而零息票收益率曲線又在遠期利率曲線之上。零息票收益率曲線的確定如何從附息票債券的價格得出零息票收益率曲線一個通常的方法就是所謂的息票剝離方法

考慮表5—2中5個債券價格的數(shù)據(jù)。由于前3個債券不附息票，對應這些債券期限的連續(xù)復利的即期利率，可以利用連續(xù)復利計算公式來計算其中，RC是連續(xù)復利的利率，Rm是與之等價的每年計m次復利的利率表5—2息票剝離方法的數(shù)據(jù)債券本金到期期限年息票債券價格1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6每6個月支付所列息票數(shù)額的一半

第一個債券3個月期限，價格97.5，其收益為2.5。按季度計復利則是每三個月2.5/97.5=2.56%利用復利計算公式，可得連續(xù)復利的3個月期年利率是：4ln（1+2.5/97.5）=0.1013類似地，6個月期連續(xù)復利年利率是：2ln（1+5.1/94.9）=0.10471年期連續(xù)復利利率是：ln（1+10/90.00）=0.1054第四個債券期限1.5年。按如下方式支付：6個月期后4美元；1年期后4美元；1.5年后104美元我們知道在6個月末支付所用的貼現(xiàn)率是10.47%，在1年末支付所用的貼現(xiàn)率是10.54%。債券的價格96美元必須等于債券持有人收到的所有收入的現(xiàn)值

設R表示1.5年期的即期利率，因此：

化簡為：即因此，1.5年期的即期利率是10.68%。這是唯一的與6個月期1年期即期利率及表5—2中數(shù)據(jù)一致的即期利率。表5—2息票剝離方法的數(shù)據(jù)債券本金到期期限年息票債券價格1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6每6個月支付所列息票數(shù)額的一半

運用6個月期、1年期、1.5年期即期利率和表5—2中第五個債券的信息，可以計算出2年期的即期利率。如果R表示2年期的即期利率，從以上可得出R=0.1081，即10.81%。按此方法連續(xù)做下去，我們可以得到完整的利率期限結(jié)構(gòu)。將零曲線上所獲得的這些點用直線連起來，如圖5--4所示。利率（%每年）圖5—4息票剝離方法給出的零曲線

天數(shù)計算慣例天數(shù)計算慣例定義了利息隨時間累計的方式。通常，我們知道在某個參照期限內(nèi)（即不同息票支付之間的時間）所獲得的利息，我們還對計算其他期限內(nèi)的利息感興趣。天數(shù)計算慣例常常表示為X/Y

。X定義為兩個日期之間計算天數(shù)的方式，Y定義為參考期限總天數(shù)的度量方式

在兩個日期之間所得的利息是：（兩個日期之間的天數(shù)/參考期限總天數(shù)）×在參考期限內(nèi)所得利息有三種天數(shù)計算慣例：1、實際天數(shù)/實際天數(shù)（期限內(nèi)）2、30/3603、實際天數(shù)/360長期國庫券是用實際天數(shù)/實際天數(shù)（期限內(nèi)）的方式；公司債券和市政債券是用30/360的方式；短期國債和其他貨幣市場工具是用實際天數(shù)/360的方式。市政債地方政府發(fā)行的債券，即地方債短期國債和其他貨幣市場工具實際天數(shù)/360一年的利息所得為期限結(jié)構(gòu)理論預期理論認為，長期利率應該反映預期的未來的短期利率。更精確地說，它認為對應某一確定時期的遠期利率應該等于預期的未來的那個期限的即期利率。市場分割理論認為，短期、中期和長期利率之間沒有什么聯(lián)系。不同的機構(gòu)投資于不同期限的債券，并不轉(zhuǎn)換期限。短期利率由短期債券市場的供求關系來決定，中期利率由中期債券市場的供求關系來決定，等等流動性偏好理論認為，遠期利率應該總是高于預期的未來的即期利率。這個理論的基本假設是投資者愿意保持流動性并投資于較短的期限長期借款的借款者愿意用固定利率。在沒有其他選擇的情況下，投資者將傾向于存短期資金，借款者將傾向于借長期資金。于是金融中介發(fā)現(xiàn)他們需要用短期存款來為長期固定利率貸款融資。這將包含額外的利率風險。實際上，為了使存款者和借款者匹配，避免利率風險，金融中介將提高長期利率，使得它超過預期未來的即期利率。這種策略將減少長期固定利率借款的需求，鼓勵投資者存更長期限的資金流動性偏好理論使得長期利率大于預期的未來的短期利率。經(jīng)驗檢驗結(jié)果說明收益率曲線向上傾斜的狀況比向下傾斜的狀況要多，流動性偏好理論與以上結(jié)果相一致。遠期利率協(xié)議遠期利率協(xié)議（Forwardrateagreement，F(xiàn)RA）是一個遠期合約，參與者同意在指定的未來某個時期將某個確定的利率應用于某個確定的本金具體而言，遠期利率協(xié)議是空頭方承諾在未來某個時期將一定數(shù)額的名義本金按合同約定的利率貸給多頭。例如，兩家公司商定，6個月以后開始的一年期定期存款的利率為7%，如果屆時利率不是7%，一家公司就要將由利率變動引起的未來利息現(xiàn)金流的變動貼現(xiàn)付給另一家公司FRA通常在指定的未來某個時期的開始時

用現(xiàn)金進行結(jié)算。FRA的合成合成方法遠期貸款的同時在T1時刻馬上將收到的100按照T1時刻的市場利率Libor貸出。但是T1時的L在T0時刻是未知的。所以FRA的本質(zhì)相當于在期初將未來時刻的Libor鎖定為RKFRA的定義FRA合約的名義本金為N，簽約日期T0，開始日期T1，結(jié)束日期T2，遠期價格為RK，到期支付為頭寸方向FRA的多頭（買方）支付固定利率RK，收到浮動利率Libor。RK是Libor的“市場價格”FRA的定價期初簽約時，F(xiàn)RA按照市場對未來遠期利率Libor的預期簽約FRA的估值公式一Hull：期初時刻T0時FRA合約的價值在期初時刻，L（T1時刻的Libor）為未知，只能估計，而市場上的預期值為RF。T0時刻估值的前提：假定遠期利率實現(xiàn)的情況下，即Libor=RF但我們知道FRA是按照RF定價的前提條件是：FRA是公平定價的Hull定價公式的作用判斷期初定價是否合理，是否存在套利收益FRA估值公式二T1時刻FRA的價值FRA是在T0時刻簽約，T1時刻結(jié)算，T1到T2是計息期間一般是計算結(jié)算時合約的價值，能夠反映FRA交易的盈虧狀況在T1結(jié)算時刻，Libor是已知的，是真正實現(xiàn)的例子1設零息票收益率曲線如表5-1，我們簽署一個FRA協(xié)議。本金100萬美元，在第一年末至第二年之間的遠期利率協(xié)議FRA=12%（年復利）。假設遠期利率已經(jīng)實現(xiàn)了的話，我們可以估計FRA的價值。在這種情況下，以連續(xù)復利計息的遠期利率為11%，以年為間隔計息的復利為11.6278%。計算該遠期合約的價值該遠期合約的價值就是在第二年末收到的12萬美元（12%）和116278美元（11.6278%）的現(xiàn)值之間的差距。由表5-1知道，第二年末零息票的連續(xù)復利為10.5%。所以FRA價值為長期和中期國債期貨

長期國債期貨合約期限超過合約交割月份第一天15年以上的，并從那天起15年內(nèi)不能回贖的任何政府債券都可以進行交割中期國債期貨合約有效期在6.5年和10年之間的任何政府債券（或票據(jù)）都能進行交割5年期國債期貨合約國債期貨的標的資產(chǎn)期限15年，息票率為8%的標準債券其他債券都必須按一定的比例折算成標準債券國債的報價國債價格以美元和1/32美元報出。所報的價格是面值為100美元債券的價格。90—05的報價意味著面值100000美元債券的價格是90156.25美元報價與購買者所支付的現(xiàn)金價格并不相同?，F(xiàn)金價格與報價之間的關系為：現(xiàn)金價格=報價+上一個付息日以來的累計利息全價=凈價+應計利息

全價和凈價利息支付日之間的交割價格應計利息（accruedinterest）買方應該向賣方補償在賣方持有期間賣方應得的票面利息報價方式：全價（dirtyprice），包含應計利息凈價（cleanprice），不包含應計利息凈價=全價–

應計利息美國證券市場要求債券以凈價報價中國2001年后也實行凈價交易制度假設現(xiàn)在是1998年3月5日，所考慮的債券息票利率為11%，在2001年7月10日到期，報價為95—16（即95.50美元）。由于政府債券的息票是每半年支付一次。最近的一次付息日是1998年1月10日，下一次付息將是1998年7月10日。在1998年1月10日與1998年3月5日之間的天數(shù)是54天，而1998年1月10日與1998年7月10日之間的天數(shù)是181天。政府債券累計利息是基于實際天數(shù)/實際天數(shù)（期限內(nèi)）累計利息的計算如下：54/181×5.50美元=1.64美元2001年7月10日到期的每100美元面值債券的現(xiàn)金價格是：95.50美元+1.64美元=97.14美元長期國債期貨合約報價與長期國債本身報價相同轉(zhuǎn)換因子長期國債期貨合約中規(guī)定：空頭方可以任意選擇交割任何期限長于15年且在15年內(nèi)不可回贖的債券如何根據(jù)所選的債券計算實際交割價格？交割價格等于轉(zhuǎn)換因子乘以期貨報價空頭方收到的現(xiàn)金=期貨報價×交割債券的轉(zhuǎn)換因子＋交割債券上次支付息票以來的累積利息轉(zhuǎn)換因子：相應年限的轉(zhuǎn)換因子，就是相應年限的年利率為8%的標準債券在交割月份第一天的價值轉(zhuǎn)換因子芝加哥交易所規(guī)定交割的標準券為期限15年，息票率為8%的國債，其他債券都必須按一定的比例折算成標準債券。轉(zhuǎn)換因子相應年限的年利率為8%的標準債券在交割月份第一天的價值等于面值為100美元的各債券的現(xiàn)金流按8%的年利率貼現(xiàn)到交割月第一天的價值，再扣掉該債券累計利息后的余額。債券的剩余期限只取3個月的整數(shù)倍，多余的月份舍掉。如果取整數(shù)后，債券的剩余年限為半年的倍數(shù)，就假定下一次付息是在6個月以后，否則就假定在3個月后付息，并從貼現(xiàn)值中扣掉累計利息。例子例子

某債券利息率為14%，距到期日還有18年4個月。計算該債券的轉(zhuǎn)換因子。假定債券距到期日還有18年3個月?？梢园褜硐⑵焙捅窘鹬Ц兜乃鞋F(xiàn)金流先貼現(xiàn)到距今3個月后的時點上，此時債券的價值為：交割最便宜的債券交割那些對于空頭方來說最便宜的債券（cheapest-to-deliverbond）空頭方平倉可收到的價款：期貨的報價×轉(zhuǎn)換因子＋累計利息空頭方購買債券的成本：債券的報價＋累計利息最便宜的債券債券的報價－期貨報價×轉(zhuǎn)換因子轉(zhuǎn)換因子制度轉(zhuǎn)換因子制度轉(zhuǎn)換因子制度下，如果空頭交割的是高于8%息票率的債券的話，他將從多頭處收到向上的價格調(diào)整補償。而如果交割的是低于8%的債券，她收到的是向下的價格調(diào)整。 簡單地說，轉(zhuǎn)換因子是面值為1，收益率為8%的標準債券。這樣，如果空頭方交割的債券利息高于8%，轉(zhuǎn)換因子將大于1，因此空頭方實際將收到一個補償額例子決定交割最便宜債券的因素交割債券的成本=債券報價－（期貨報價×轉(zhuǎn)換因子）收益率高于8%，則轉(zhuǎn)換因子大于1收益率低于8%，則轉(zhuǎn)換因子小于1債券價格的變動并不是像轉(zhuǎn)換因子那樣進行線性調(diào)整的期貨報價的決定例子例子期貨的現(xiàn)金價格=期貨報價×轉(zhuǎn)換因子+累計利息美國短期國債期貨定價套利機會第一類套利賣空期貨，按期貨利率10.6%融資10.6%遠期貸款，收益率為國債隱含利率10.75%10.75%第二類套利隱含再購回利率（impliedreporate）相當于已知RK和R2，求解R1隱含再購回利率就是R1R1偏高，RK偏低，期貨價格偏高，第一類套利例子短期國債的報價360/n*（100-Y）短期國債的貼現(xiàn)率報價短期國債期貨報價例子歐洲美元期貨歐洲美元美國本土之外的美元存款歐洲美元利率LIBOR3個月期的倫敦銀行同業(yè)放款利率歐洲美元期貨合約與短期國債期貨合約結(jié)構(gòu)一致根據(jù)報價計算合約價格的公式Y(jié)是期貨交割時支付的價格Z是期貨的報價歐洲美元期貨短期國債與歐洲美元期貨合約的區(qū)別短期國債期貨合約到期價格F收斂于國債的面值是基于短期國債貼現(xiàn)率的合約歐洲美元期貨合約的到期價格100（1-R）或者（100（1-Libor））面值減去利息是基于歐洲美元實際利率（R或者Libor）的合約久期Ci包括本金久期的作用和本質(zhì)衡量利率變動導致的債券價格的變動，即衡量債券價格與利率的相關性久期的定義債券久期D的定義：5.7根據(jù)公式5.6，可以得到5.85.9對t求一階導數(shù)債券收益是指債券收益率

y用久期度量債券價格與收益率變動的關系反比例子債券組合的久期修正的久期久期匹配和凸度凸度基于久期的套期保值策略局限性例子對沖工具的選擇盡可能選擇標的資產(chǎn)的久期與被保值資產(chǎn)的久期相等的期貨合約利率和期貨價格反向運動利率與債券價格成反比債券價格與期貨價格成正比，期貨價格與利率也成反比如果頭寸在利率下跌時會有損