《函數(shù)模型及其應用》習題（1）一、選擇題1．某商店某種商品（以下提到的商品均指該商品）進貨價為每件40元，當售價為50元時，一個月能賣出500件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品的單價每提高1元，則商品一個月的銷售量會減少10件．商店為使銷售該商品的月利潤最高，應將每件商品定價為（）A．45元 B．55元C．65元 D．70元[答案]D[解析]設(shè)每件商品定價為x元，則一個月的銷量為500－（x－50）×10＝1000－10x件，故月利潤為y＝（x－40）·（1000－10x）＝－10（x－40）（x－100），∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>40,1000－10x>0))，∴40＜x＜100，∴當x＝70時，y取最大值，故選D.2．某債券市場發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為元；C種面值為100元，但買入價為97元，一年到期本息和為100元．作為購買者，分析這三種債券的收益，從小到大排列為（）A．B，A，C B．A，C，BC．A，B，C D．C，A，B[答案]B[解析]A種債券的收益是每100元收益3元；B種債券的利率為eq\f－50,50)，所以100元一年到期的本息和為100（1＋eq\f－50,50)）≈（元），收益為元；C種債券的利率為eq\f(100－97,100)，100元一年到期的本息和為100（1＋eq\f(100－97,97)）≈（元），收益為元．3．某廠原來月產(chǎn)量為a，一月份增產(chǎn)10%，二月份比一月份減產(chǎn)10%，設(shè)二月份產(chǎn)量為b，則（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)、b的大小無法確定[答案]B[解析]一月份產(chǎn)量為a（1＋10%），二月份產(chǎn)量b＝a（1＋10%）（1－10%）＝a（1－1%），∴b＜a，故選B.4．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲比乙先出發(fā)B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同D．甲先到達終點[答案]D[解析]從圖可以看出，甲、乙兩人同時出發(fā)（t＝0），跑相同多的路程（S0），甲用時（t1）比乙用時（t2）較短，即甲比乙的速度快，甲先到達終點．5．如圖所示，花壇水池中央有一噴泉，水管OA＝1m，水從噴頭A噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點落下，若最高點距水面2m，A離拋物線對稱軸1m，則在水池半徑的下列可選值中，最合算的是（）A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m[答案]C[解析]建立如圖坐標系，據(jù)題設(shè)y軸右側(cè)的拋物線方程為y＝a（x－1）2＋2.∵拋物線過點A（0,1）∴將（0,1）點代入方程得a＝－1，∴y＝－（x－1）2＋2.令y＝0，得x＝1＋eq\r(2)，x＝1－eq\r(2)（舍），故落在水面上的最遠點B到O點距離為（1＋eq\r(2)）m，考慮合算，須達到要求條件下用料最少，∴選C.6．某市原來民用電價為元/kw·h.換裝分時電表后，峰時段（早上八點到晚上九點）的電價為元/kw·h，谷時段（晚上九點到次日早上八點）的電價為元/kw·h.對于一個平均每月用電量為200kw·h的家庭，要使節(jié)省的電費不少于原來電費的10%，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量（）A．至少為82kw·hB．至少為118kw·hC．至多為198kw·hD．至多為118kw·h[答案]D[解析]①原來電費y1＝×200＝104（元）．②設(shè)峰時段用電為xkw·h，電費為y，則y＝x×＋（200－x）×＝＋70，由題意知＋70≤（1－10%）y1，∴x≤118.答：這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為118kw·h.二、填空題7．某老師準備存款5000元．銀行的定期存款中存期為1年的年利率%.試計算五年后本金和利息共有________元．[答案][解析]根據(jù)題意，五年后的本息共5000（1＋%）5＝（元）．8．設(shè)物體在8∶00到16∶00之間的溫度T是時間t的函數(shù)：T（t）＝at2＋bt＋c（a≠0），其中溫度的單位是°C，時間的單位是小時，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若測得該物體在8∶00的溫度為8°C，12∶00的溫度為60°C,13∶00的溫度為58°C，則T（t）＝________.[答案]－3t2＋t＋60[解析]將t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58分別代入函數(shù)表達式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.三、解答題9．某物品的價格從1966年的100元增加到2006年的500元，假設(shè)該物品的價格年增長率是平均的，那么2012年該物品的價格是多少？（精確到元）[解析]從1966年開始，設(shè)經(jīng)過x年后物價為y，物價增長率為a%，則y＝100（1＋a%）x，將x＝40，y＝500代入得500＝100（1＋a%）40，解得a＝，故物價增長模型為y＝100（1＋%）x.到2012年，x＝46，代入上式得y＝100（1＋%）46≈635（元）．10．有甲、乙兩個水桶，開始時水桶甲中有a升水，水通過水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝ae－nt，假設(shè)過5分鐘時水桶甲和水桶乙的水相等，求再過多長時間水桶甲的水只有eq\f(a,8).[解析]由題意得ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，設(shè)再過t分鐘桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n（t＋5）＝eq\f(a,8)，所以（eq\f(1,2)）eq\f(t＋5,5)＝（e－5n）eq\f(t＋5,5)＝e－n（t＋5）＝eq\f(1,8)＝（eq\f(1,2)）3，∴eq\f(t＋5,5)＝3，∴t＝10.∴再過10分鐘桶甲的水只有eq\f(a,8).11．某報紙上報道了兩則廣告，甲商廈實行有獎銷售：特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售．請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給消費者的實惠大．面對問題我們并不能一目了然．于是我們首先作了一個隨機調(diào)查．把全組的16名學員作為調(diào)查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認為去兩家都可以．調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實是否如此呢？請給予說明．[解析]在實際問題中，甲商廈每組設(shè)獎銷售的營業(yè)額和參加抽獎的人數(shù)都沒有限制．所以這個問題應該有幾種情形：（1）若甲商廈確定每組設(shè)獎．當參加人數(shù)較少時，少于1＋2＋10＋200＝213人，人們會認為獲獎機率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客．（2）若甲商廈的每組營業(yè)額較多時，他給顧客的優(yōu)惠幅度就相應的?。驗榧咨虖B提供的優(yōu)惠金額是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營業(yè)額為14000÷5%＝280000.所以由此可得：（1）當兩商廈的營業(yè)額都為280000元時，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多．（2）當兩商廈的營業(yè)額都不足280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這時甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大．（3）當兩家的營業(yè)額都超過280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時，乙商廈所提供的優(yōu)惠大．12．某種新栽樹木5年成材，在此期間年生長率為20%，以后每年生長率為x%（x＜20）．樹木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以繼續(xù)讓其生長，哪種方案更好？[解析]只需考慮10年的情形．設(shè)新樹苗的木材量為Q，則連續(xù)生長10年后木材量為：Q（1＋20%）5（1＋x%）5,5年后再重栽的木材量為2Q（1＋20%）5，畫出函數(shù)y＝（1＋x%）5與y＝2的圖象，用二分法可求得方程（1＋x%）5＝2的近似根x＝，故當x＜%時就考慮重栽，否則讓它繼續(xù)生長．*13.商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)n是羊毛衫標價x的一次函數(shù)，標價越高，購買人數(shù)越少．已知標價為每件300元時，購買人數(shù)為零．標價為每件225元時，購買人數(shù)為75人，若這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的相同價格（標價）出售，問：（1）商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元？（2）通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？[解析]（1）設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則n＝kx＋b（k＜0），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝300k＋b,75＝225k＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝300))，∴n＝－x＋300.y＝－（x－300）·（x－100）＝－（x－200）2＋10000，x∈（100,300]∴x＝200時，ymax＝10000即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件200元．（2）由題意得，－（x－300）·（x－100）＝10000×75%∴x2－400x＋30000＝－7500，∴x2－400x＋37500＝0，∴（x－250）（x－150）＝0∴x1＝250，x2＝150所以當商場以每件150元或250元出售時，可獲得最大利潤的75%.14．學校請了30名木工，要制作200把椅子和100張課桌．已知制作一張課桌與制作一把椅子的工時數(shù)之比為10∶7，問30名工人應當如何分組（一組制課桌，另一組制椅子），能使完成全部任務最快？[分析]制作課桌和椅子中所花較多的時間即為完成任務的時間，只要它最小，即完成任務最快．[解析]設(shè)x名工人制課桌，（30－x）名工人制椅子，一個工人在一個單位時間里可制7張課桌或10把椅子，∴制作100張課桌所需時間為函數(shù)P（x）＝eq\f(100,7x)，制作200把椅子所需時間為函數(shù)Q（x）＝eq\f(200,10(30－x))，完成全部任務所需的時間f（x）為P（x）與Q（x）中的較大值．欲使完成任務最快，須使P（x）與Q（x）盡可能接近（或相等）．令P（x）＝Q（x），即eq\f(100,7x