《二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)鞏固1．設(shè)變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))則2x＋3y的最大值為()A．20B．35C．45D．55解析：根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標(biāo)函數(shù)求最大值．作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(如下圖)，平移直線y＝－eq\f(2,3)x，易知直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A(5,15)時(shí)，2x＋3y取得最大值55，故選D.答案：D2．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為()A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]解析：因?yàn)閍⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，則z＝2x＋3y，x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則點(diǎn)(x，y)的可行域如下圖中陰影部分所示．當(dāng)z＝2x＋3y經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z＝2x＋3y取得最大值3；當(dāng)z＝2x＋3y經(jīng)過點(diǎn)C(0，－1)時(shí)，z＝2x＋3y取得最小值－3.答案：D3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0))所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為()A．2B．1C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)解析：已知的不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)直線OM的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值為－eq\f(1,3).答案：C4．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－my＋1≥0，))且x＋y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：如圖首先根據(jù)目標(biāo)函數(shù)有最大值，可知m>0(否則平面區(qū)域不封閉，則最值不存在)．即m>0時(shí)，可行域如圖．結(jié)合圖形當(dāng)將直線x＋y＝0平移至點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值9，因此點(diǎn)A可視為兩直線x＋y＝9,2x－y－3＝0的交點(diǎn)，聯(lián)立方程可得A(4,5)．又點(diǎn)A在直線x－my＋1＝0上，代入直線方程可得m＝1.答案：C5．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x＋y－2≤0，,y－1≥0，))動(dòng)點(diǎn)Q在曲線(x－1)2＋y2＝eq\f(1,2)上，則|MQ|的最小值為()\r(2)\f(3\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)\r(5)－eq\f(1,2)解析：圓(x－1)2＋y2＝eq\f(1,2)的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r＝eq\f(\r(2),2)，則圓心到可行域的最小距離為到直線x－y＋2＝0的距離，即d＝eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴|MQ|的最小值為d－r＝eq\r(2)，故選A.答案：A6．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,8x－y－4≤0，,x≥0，y≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值為8，則a＋b的最小值為________．解析：畫出約束條件表示的規(guī)劃區(qū)域，如圖．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝abx＋y運(yùn)動(dòng)到A(1,4)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，即8＝ab＋4，∴ab＝4.∵(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴a＋b－2eq\r(ab)≥0，即a＋b≥2eq\r(ab)＝4.答案：47．已知點(diǎn)P(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y≤25，,x－1≥0，))點(diǎn)A(2,0)，則|eq\o(OP,\s\up12(→))|·sin∠AOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為________．解析：由于|eq\o(OP,\s\up12(→))|sin∠AOP＝|eq\o(OP,\s\up12(→))|×eq\f(yp,|\o(OP,\s\up12(→))|)＝y(tǒng)p，故將不等式組表示的可行域作出，如右圖易知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取得最大值，解得yp＝eq\f(22,5).答案：eq\f(22,5)8．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤4，,－2≤x－y≤2.))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍是________．解析：由變量x，y滿足約束條件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，在坐標(biāo)系中畫出可行域，如圖中的陰影部分所示，為四邊形ABCD，其中A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1.目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率為－a的一族平行直線在y軸上的截距的大小，若僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則斜率應(yīng)小于kAB＝－1，即－a<－1，所以a的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)9．設(shè)z＝2y－2x＋4，式中x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1,0≤y≤2,2y－x≥1))，求z的最大值和最小值．解：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1,0≤y≤2,2y－x≥1))的可行域(如右圖所示)．令t＝2y－2x，則z＝t＋4.將t＝2y－2x變形得直線l：y＝x＋eq\f(t,2).則其與y＝x平行，平移直線l時(shí)t的值隨直線l的上移而增大，故當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，t最大，z最大；當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，t最小，z最?。鄗max＝2×2－2×0＋4＝8，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.10．制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過萬(wàn)元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？解：設(shè)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資x萬(wàn)元、y萬(wàn)元，盈利為z萬(wàn)元．根據(jù)題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,＋≤，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,3x＋y≤18，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋.作出可行域如下圖陰影部分所示．令z＝0作直線l：x＋＝0.當(dāng)直線l向上平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z＝x＋的函數(shù)值隨之增大，所以當(dāng)直線l經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)M時(shí)，z＝x＋取得最大值．頂點(diǎn)M是直線x＋y＝10與直線3x＋y＝18的交點(diǎn)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,3x＋y＝18，))可以求得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,6)，代入z＝x＋，得zmax＝4＋6×＝7.所以投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資4萬(wàn)元、6萬(wàn)元，才能確保可能的資金虧損不超過萬(wàn)元，使可能的盈利最大．B組能力提升11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,1)(a>0)，點(diǎn)N(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1.))若當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))時(shí)，eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))取得最大值，則a的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1))所表示的可行域如下圖，由目標(biāo)函數(shù)eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))＝(a,1)·(x，y)＝ax＋y所表示的斜率為－a的平行直線系僅過點(diǎn)A(3,0)時(shí)，取得最大值可得－a<kAB＝－eq\f(1,2)，解得a>eq\f(1,2)，故選D.答案：D12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1≥0，,4x－y－6≤0，,2x＋y－k－2≥0，))且4x2＋y2的最小值為m，當(dāng)9≤m≤25時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1≥0，,4x－y－6≤0，,2x＋y－k－2≥0))所表示的可行域如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋3,4)，\f(k＋1,2)))，其滿足4x2＋y2取得最小值，此時(shí)最小值為m＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋3,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))2＝eq\f(k2＋4k＋5,2).由9≤m≤25，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋4k＋5≤50，,k2＋4k＋5≥18，))解得k∈[eq\r(17)－2,5]．答案：[eq\r(17)－2,5]13．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝eq\f(2y＋1,x＋1)的取值范圍．解：(1)作出可行域如下圖，計(jì)算得點(diǎn)A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．z＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M(0,5)的距離的平方．過點(diǎn)M作AC的垂線，易知垂足N在AC上，故MN＝eq\f(|0－5＋2|,\r(1＋－12))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴MN2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(9,2)，∴z的最小值為eq\f(9,2).(2)z＝2·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),x－－1)表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))連線斜率的2倍．∵kQA＝eq\f(7,4)，kQB＝eq\f(3,8)，∴z的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,2))).14．某人民商場(chǎng)為使銷售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤(rùn)達(dá)到最大，對(duì)即將出售的空調(diào)和冰箱相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查，得出下表：資金每臺(tái)空調(diào)或冰箱所需資金(百元)月資金供應(yīng)數(shù)量(百元)空調(diào)冰箱成本3020300工人工資510110每臺(tái)利潤(rùn)68問：該商場(chǎng)怎樣確定空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)最大？解：設(shè)空調(diào)和冰箱月供應(yīng)量分別為x臺(tái)，y臺(tái)，月總利潤(rùn)為z百元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋20y≤300,5x＋10y≤110,x，y∈N*))，z＝6x＋8y作可行域如下圖，∵y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,8).其截距為eq\f(z,8)，斜率為k＝－eq\f(3,4).滿足eq\b\lc\|\rc\|