1第七章彈塑性斷裂力學(xué)簡(jiǎn)介7.2裂紋尖端張開位移7.3COD測(cè)試與彈塑性斷裂控制設(shè)計(jì)7.1裂紋尖端的小范圍屈服2用線彈性材料物理模型，按照彈性力學(xué)方法，研究含裂紋彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布，給出描述裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的應(yīng)力強(qiáng)度因子K，并由此建立裂紋擴(kuò)展的臨界條件,處理工程問題，即線彈性斷裂力學(xué)。

線彈性斷裂力學(xué)(LEFM)線彈性斷裂力學(xué)給出的裂紋尖端附近的應(yīng)力趨于無窮大。事實(shí)上任何實(shí)際工程材料，都不可能承受無窮大的應(yīng)力作用。因此，裂尖附近的材料必然要進(jìn)入塑性，發(fā)生屈服。37.1裂紋尖端的小范圍屈服1.裂尖屈服區(qū)當(dāng)r0時(shí)，s，必然要發(fā)生屈服。因此，有必要了解裂尖的屈服及其對(duì)K的影響。無限大板中裂紋尖端附近任一點(diǎn)(r,)處的正應(yīng)力x、y和剪應(yīng)力xy的線彈性解為：ssxy2adxdyrqsysxtxy4

這里僅簡(jiǎn)單討論沿裂紋線上屈服區(qū)域的大小。線彈性斷裂力學(xué)裂尖附近任一點(diǎn)的x、y、xy，主應(yīng)力屈服準(zhǔn)則裂紋尖端屈服區(qū)域的形狀與尺寸

在裂紋線上(=0)，注意到屈服區(qū)的形狀及大小(Mises)準(zhǔn)則5對(duì)于平面問題有：yz=zx=0；且平面應(yīng)力:z=0

平面應(yīng)變:z=(x+y)(ez=0)

裂紋線上任一點(diǎn)的主應(yīng)力為：?íì=rKpns2/2013平面應(yīng)力平面應(yīng)變ssrKp2121==；vonMises屈服條件為：213232221)()()(sssss22yss=-+-+-s由主應(yīng)力可得6

將各主應(yīng)力代入Mises屈服條件，得到：

(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)ysprKsp=2/1ysprsp=2Kn-/)21(1式中，ys為材料的屈服應(yīng)力，為泊松比。對(duì)于金屬材料，0.3，可見平面應(yīng)變情況下裂尖塑性區(qū)比平面應(yīng)力時(shí)小得多。

故塑性屈服區(qū)尺寸rp為：

(平面應(yīng)力)

21)(21yspKrsp=221)21()(21nsp-=yspKr(平面應(yīng)變)(7-3)7

虛線為彈性解，r0，y。由于y>ys，裂尖處材料屈服。塑性區(qū)尺寸為rp。當(dāng)=0時(shí)(在x軸上)，裂紋附近區(qū)域的應(yīng)力分布及裂紋線上的塑性區(qū)尺寸如圖。rpaxyysABDoHK

與原線彈性解(虛線HK)相比較，少了HB部分大于ys的應(yīng)力。

假定材料為彈性-理想塑性，屈服區(qū)內(nèi)應(yīng)力恒為ys，應(yīng)力分布應(yīng)由實(shí)線AB與虛線BK表示。8

為滿足靜力平衡條件，由于AB部分材料屈服而少承擔(dān)的應(yīng)力需轉(zhuǎn)移到附近的彈性材料部分，其結(jié)果將使更多材料進(jìn)入屈服。因此，塑性區(qū)尺寸需要修正。

設(shè)修正后的屈服區(qū)尺寸為R；假定線彈性解答在屈服區(qū)外仍然適用，BK平移至CD，為滿足靜力平衡條件，修正后ABCD曲線下的面積應(yīng)與線彈性解HBK曲線下的面積相等。由于曲線CD與BK下的面積是相等的，故只須AC下的面積等于曲線HB下的面積即可。rpaxyysABoHK

RCD9

于是得到：(q=0)積分后得到，平面應(yīng)力情況下裂尖的塑性區(qū)尺寸R為：

注意到平面應(yīng)力時(shí)：rpaxyysABoHK

RCD10

依據(jù)上述分析，并考慮到平面應(yīng)變時(shí)三軸應(yīng)力作用的影響，Irwin給出的塑性區(qū)尺寸R為：上式指出：裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸R與(K1/ys)2成正比，平面應(yīng)變時(shí)裂尖塑性區(qū)尺寸約為平面應(yīng)力情況的1/3。21)(12yspKrRsap==?íì=221a(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)(7-4)112.考慮裂尖屈服后的應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線CD與線彈性解BK相同。假想裂紋尺寸由a增大到a+rp,則裂紋尖端的線彈性解恰好就是曲線CD。rprpaxyysABCDoKr'ro'對(duì)于理想塑性材料，考慮裂紋尖端的屈服后，裂尖附近的應(yīng)力分布應(yīng)為圖中ACD曲線。a+rp稱為有效裂紋長度，用a+rp代替a，由原來的線彈性斷裂力學(xué)結(jié)果可直接給出考慮Irwin塑性修正的解答。12

考慮Irwin塑性修正，裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子K為：)(1praK+=ps(7-5)

裂紋線上(=0)的應(yīng)力y為：ysyss=21yr’K=psr2rp；

r2rp；)(21prrK-=prprpaxyysABCDoHKr'ro'13例7.1

無限寬中心裂紋板，受遠(yuǎn)場(chǎng)拉應(yīng)力作用，試討論塑性修正對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

解：由線彈性斷裂力學(xué)給出無限寬中心裂紋板的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：考慮塑性修正時(shí)，由(7-5)式有：

將(7-4)式給出的rp代入上式，得到：其中；14對(duì)于平面應(yīng)力（=1）

︱平面應(yīng)變（

3）

若(/ys)=0.2，=1%︱

=0.3%；若(/ys)=0.5，=6%︱=2.1%；若(/ys)=0.8，=15%︱

=5.2%；平面應(yīng)變情況（3），二者相差要小一些。

由于>1，故考慮塑性修正后應(yīng)力強(qiáng)度因子增大。

二者的相對(duì)誤差為：

可見，(/ys)越大，即裂尖塑性區(qū)尺寸越大，線彈性分析給出的應(yīng)力強(qiáng)度因子誤差越大。153.小范圍屈服時(shí)表面裂紋的K修正前表面修正系數(shù)通常取為Mf=1.1；E(k)是第二類完全橢圓積分?？紤]裂尖屈服，按Irwin塑性修正，用a+rp代替原裂紋尺寸a，故有：半無限大體中半橢圓表面裂紋最深處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：yzssxxyqa0c16

可見，小范圍屈服時(shí)，表面裂紋的K計(jì)算只須用形狀參數(shù)Q代替第二類完全橢圓積分E(k)即可。(7-8)代入K1并整理得：式中Q稱為形狀參數(shù)

利用E(k)的近似表達(dá)（6-13），Q可寫為：s/sys越大，Q越小，K越大，裂尖屈服區(qū)越大。半無限大體中半橢圓表面裂紋最深處處于平面應(yīng)變狀態(tài)，由(7-4)式知：17

例7.2

某大尺寸厚板含一表面裂紋，受遠(yuǎn)場(chǎng)拉應(yīng)力

作用。材料的屈服應(yīng)力為ys=600MPa,斷裂韌性K1c=50MPam1/2，試估計(jì)：

1)=500MPa時(shí)的臨界裂紋深ac。(設(shè)a/c=0.5)2)a/c=0.1，a=5mm時(shí)的臨界斷裂應(yīng)力c；

解：1)無限大體中半橢圓表面裂紋最深處的K最大，考慮小范圍屈服，發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)為：18可得臨界裂紋深度：2)斷裂臨界狀態(tài)有：

Q是c的函數(shù)：將斷裂判據(jù)式二邊平方，再將Q2代入，可得：19討論：若不考慮屈服，有：13600521.1034.1212==pscaK=s368.8

MPac則：c=21.1034.12500p0.005

不考慮屈服，將給出偏危險(xiǎn)的預(yù)測(cè)。整理得：20

一般地說，只要裂尖塑性區(qū)尺寸rp與裂紋尺寸a相比是很小的(a/rp=20-50)，即可認(rèn)為滿足小范圍屈服條件，線彈性斷裂力學(xué)就可以得到有效的應(yīng)用。

對(duì)于一些高強(qiáng)度材料；對(duì)于處于平面應(yīng)變狀態(tài)(厚度大)的構(gòu)件；對(duì)于斷裂時(shí)的應(yīng)力遠(yuǎn)小于屈服應(yīng)力的情況：

小范圍屈服條件通常是滿足的。21

7.2裂紋尖端張開位移

(CTOD)2aWss屈服區(qū)

則塑性區(qū)將擴(kuò)展至整個(gè)截面，造成全面屈服，

小范圍屈服（線彈性斷裂力學(xué)）將不再適用。如果作用應(yīng)力大到使裂紋所在截面上的凈截面應(yīng)力

凈=W/(W-2a)ys中低強(qiáng)度材料ys低K1c高斷裂c

大裂尖rp

大22

顯然，COD是坐標(biāo)x的函數(shù)，且裂紋尺寸a越大，

COD越大。裂尖張開位移(CTOD)是在x=a處的裂紋張開位移。裂尖端大范圍屈服CTODLEFM不再適用裂紋張開位移(COD)大小與裂紋擴(kuò)展或斷裂相關(guān)大，rp大裂紋越來越張開?？捎糜诮⒏鼮榍‘?dāng)?shù)?、適于大范圍屈服的彈塑性斷裂判據(jù)。2aCODxyo

23Dugdale設(shè)想有一虛擬裂紋長aeff=a+rp,在裂尖屈服區(qū)上、下裂紋面施加=ys的應(yīng)力作用而使裂紋閉合，然后進(jìn)行準(zhǔn)彈性分析。

平面應(yīng)力條件下，在全面屈服之前（凈/ys<1)，

Dugdale給出裂尖張開位移與間的關(guān)系為：2aCODxyo2aeff=2a+2rpCTODys(7-10)24若/ys<<1，則可將上式中l(wèi)nsec項(xiàng)展開，略去高次項(xiàng)得：故在小范圍屈服時(shí)有：在發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)下，K1=K1c，=c。上式給出了平面應(yīng)力、小范圍屈服時(shí)c與K1c的關(guān)系：

（7-11）式可寫為一般式：

(7-12)(7-11)=1，平面應(yīng)力；=(1-2)/2，平面應(yīng)變。25

c作為描述材料抗斷能力的參數(shù)，如何確定dc？需要研究CTOD的試驗(yàn)確定方法。

在小范圍屈服情況下，線彈性斷裂判據(jù)為：

K1K1c；也可以用裂紋尖端張開位移(CTOD)表達(dá)為：

c且EKyssbd21=cc若屈服范圍較大，由(7-10)給出：)]2ln[sec(8ysysEaspspsd=267.3COD測(cè)試與彈塑性斷裂控制設(shè)計(jì)1.裂尖張開位移(COD)的測(cè)試L=4WWaPh三點(diǎn)彎曲試件缺口處粘貼一對(duì)刀口安裝夾式引伸計(jì)測(cè)量裂紋張開位移V記錄P-V曲線三點(diǎn)彎曲試件刀口P-V曲線27將分為彈性部分e和塑性部分p，即=e+pL=4WWaPhVd機(jī)械切口疲勞裂紋a如何利用P-V曲線求CTOD？

彈性部分e可由(7-12)式給出：28O'為轉(zhuǎn)動(dòng)中心，

O'到裂尖的距離為r(W-a),r稱為轉(zhuǎn)動(dòng)因子。裂尖屈服區(qū)大（甚至全面屈服），韌帶處將形成塑性鉸。假設(shè)發(fā)生開裂之前二裂紋面繞塑性鉸中心O'作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)：由DO'BB'與DO'DD'相似，可得p與刀口張開位移塑性部分Vp的關(guān)系為：

(7-14))()()(haaWrVaWrpp++--=dVdr(W-a)O'appBD’B’D刀口厚度為h20120326止29大范圍屈服下，不同材料測(cè)得的r多在0.3-0.5間。國標(biāo)GB2358-94建議將轉(zhuǎn)動(dòng)因子r取為0.45。英國標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)建議r取0.4。

可以用更精細(xì)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量變形后的二裂紋面位置線，由其交點(diǎn)確定轉(zhuǎn)動(dòng)中心O’，可確定轉(zhuǎn)動(dòng)因子r。Vdr(W-a)O'appBD’B’D0.10.30.5r0.20.50d(mm)r-COD關(guān)系30

因此，裂紋尖端張開位移可寫為：

(7-15)此式給出了與Vp的關(guān)系。)()()(21haaWrVaWrEKpyspe++--+=+=sbdddK1按第五章計(jì)算，它是載荷P與裂紋長度a等的函數(shù)；在國家標(biāo)準(zhǔn)GB2358-80中建議按平面應(yīng)變情況取為(1-2)/2。Vp是張開位移的塑性部分。

延性斷裂的臨界情況下，CTOD值為可描述材料延性斷裂抗力的指標(biāo)c，要確定c，須確定Vpc。31

確定Vpc的方法：

GB2358-1994由斷口測(cè)量確定裂紋尺寸aPcVP0CVcVpc確定發(fā)生失穩(wěn)斷裂的臨界點(diǎn)C(PC，VC)(聲發(fā)射等監(jiān)測(cè)技術(shù))加載，記錄P-V曲線過臨界點(diǎn)C作一與P-V曲線起始直線段斜率相同的直線直線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)給出VpcVp32

例7.3

已知某鋼材E=210GPa,=0.3,ys=450MPa。三點(diǎn)彎曲試樣B=25mm，W=50mm；刀口厚度h=2mm，預(yù)制裂紋長度a=26mm。

1)P=50KN時(shí)測(cè)得Vp=0.33mm，求此時(shí)的CTOD。

2)若在P=60KN，Vpc=0.56mm時(shí)裂紋開始失穩(wěn)擴(kuò)展，求材料的臨界CTOD值C。

三點(diǎn)彎曲試樣的K由(5-8)式給出為：])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[2343221WaWaWaWaaBWPLK+-+-=p

標(biāo)準(zhǔn)三點(diǎn)彎曲試樣，L=4W；本題a/W=26/50=0.52，代入上式后可計(jì)算K1

。解：1)由=e+p及可知，須首先得到應(yīng)力強(qiáng)度因子K1。33])52.0(57.14)52.0(18.14)52.0(20.8)52.0(735.1090.1[432+-+-=1.4765

裂紋尖端張開位移的彈性項(xiàng)e為：=0.0000494m=0.049mm322221102104502)3.01(3.1012)1(-=-=EKysesnd其中：則：34

塑性部分p由（7-14）式給出為：

)()()(haaWrVaWrpp++--=d)226()2650(45.033.0)2650(45.0++--==0.092mm2)失穩(wěn)臨界狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

故CTOD為：35

故材料的臨界CTOD值為：

塑性項(xiàng)pc為：

=0.156mm)()()(haaWrVaWrpcpc++--=d)226()2650(45.056.0)2650(45.0++--=

臨界裂尖張開位移之彈性項(xiàng)ec為：=0.071mm322221102104502)3.01(5.1212)1(-=-=EKysecsnd362CTOD與彈塑性斷裂控制設(shè)計(jì)

與控制低應(yīng)力脆斷的K1c一樣，臨界CTOD值(c)可作為控制彈塑性斷裂是否發(fā)生的材料參數(shù)。以CTOD為控制參量的彈塑性斷裂判據(jù)寫為：

(7-16)cdd￡

判據(jù)給出了斷裂應(yīng)力、裂紋尺寸、斷裂抗力間的關(guān)系，已知其中二者，即可估計(jì)另一個(gè)參數(shù)的可用范圍，即進(jìn)行初步的彈塑性斷裂控制設(shè)計(jì)。作用d(s,a)抗力(材料)37

例7.4

直徑d=500mm，壁厚t=2.5mm的圓筒，已知E=200GPa,=0.3,ys=1200MPa，c=0.05mm。殼體的最大設(shè)計(jì)內(nèi)壓為p=8MPa,試計(jì)算其可容許的最大缺陷尺寸。最危險(xiǎn)的缺