第十五章結構彈性穩(wěn)定§15-1概述設計結構要考慮的因素：強度、剛度、穩(wěn)定性、抗風荷能力、抗地震能力、舒適度等。其中強度、穩(wěn)定性、抗風荷能力、抗地震能力屬于結構保持安全的能力。穩(wěn)定性是結構重要的安全指標。歷史上曾出現(xiàn)因結構失穩(wěn)而造成的重大事故。如70年代英國北海油田海上石油鉆井平臺因巨浪沖擊造成結構失穩(wěn)導致鉆井平臺坍塌，造成重大損失。航空、航天結構大量采用高強材料和薄壁結構，如空間站、太陽能帆板、機械手等，穩(wěn)定性問題是一個重要問題。土木結構中，大跨度、高層、尤其高聳結構，也日益采用高強材料和薄壁結構，穩(wěn)定性問題開始突出。國際空間站照片美國“奮進”號(Endeavour)航天飛機在美國肯尼迪航天中心金茂大廈東方明珠電視塔華盛頓紀念塔兩類結構失穩(wěn)現(xiàn)象：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象和第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。第一類失穩(wěn)現(xiàn)象可由熟知的理想中心受壓直桿的失穩(wěn)來說明。首先由Euler提出并解決。軸向壓力P較小時，微小水平干擾力使壓桿彎曲；干擾消失，恢復原來直線狀態(tài)平衡。P達到某一特定值，如有微小水平干擾力，使壓桿彎曲，干擾消失后，不能回到原來直線狀態(tài)平衡。此時直線平衡形式不穩(wěn)定，平衡形式的分支：可以直線平衡，也可以彎曲平衡。壓桿喪失了第一類失穩(wěn)性，或分支點失穩(wěn)。此時荷載－臨界荷載Pcr（critical）承受荷載的拋物線拱和剛架，軸向受壓狀態(tài)，當荷載達到臨界值時，出現(xiàn)同時具有壓縮和彎曲變形的新的平衡形式。薄壁工字梁，荷載達到臨界值前，僅在其腹板平面內彎曲；達到臨界值時，原來的平面彎曲不再穩(wěn)定，發(fā)生斜彎曲和扭轉。其他結構，如承受均布水壓力的圓環(huán)（潛水艇），當壓力達到臨界值qcr時，原有圓形平衡形式稱為不穩(wěn)定的。喪失第一類穩(wěn)定性的特征：平衡形式發(fā)生本質上的突變，原有的平衡形式不穩(wěn)定（出現(xiàn)新的有本質區(qū)別的平衡形式）。喪失第二類穩(wěn)定性：塑性材料制成的偏心壓桿，同時受壓和受彎。在一定范圍內，荷載不增加，撓度也不增大。當P達到臨界值Pcr，撓度迅速增大，即使荷載減小。結構喪失第二類穩(wěn)定性－極值點失穩(wěn)。喪失第二類穩(wěn)定性的特征：結構的平衡形式不發(fā)生本質上的突變，失穩(wěn)時變形迅速增加，結構喪失承載能力。由于制造、裝配誤差，工程結構不可能處于理想的中心受壓狀態(tài)，實際都屬于第二類穩(wěn)定性問題。第二類穩(wěn)定性的問題遠比第一類穩(wěn)定性的問題復雜。一般把第二類穩(wěn)定性的問題化簡為第一類穩(wěn)定性的問題，偏心等影響用系數(shù)來代替。穩(wěn)定計算的中心問題是確定臨界荷載。確定臨界荷載的兩種方法：靜力法和能量法共同特點：結構失穩(wěn)時可以具有原來和新的兩種平衡形式（平衡的二重性），尋找結構在新的形式下可以維持平衡的荷載－臨界荷載。靜力法－直接通過力的平衡條件。能量法－通過平衡時能量之間關系。結構穩(wěn)定的自由度：確定結構失穩(wěn)時所有可能的變形狀態(tài)所需的獨立參數(shù)數(shù)目。a)支承在抗轉彈簧上的剛性壓桿，一個自由度。b)兩個自由度c)無限自由度§15-2靜力法確定臨界荷載以結構失穩(wěn)時平衡的二重性為依據(jù)，由靜力平衡條件，尋找結構在新的平衡形式下能維持的最小荷載單自由度結構，剛桿，平衡條件P=Pcr時，無法確定?？梢詾槿我庵担Y構處于隨遇平衡狀態(tài)。（小位移假設）精確方程為對應結構原來平衡形式對應結構新的平衡形式，也可以對應原來平衡形式。反映失穩(wěn)時平衡形式的二重性特征方程臨界荷載兩抗移彈性支座的剛度為，由平衡條件齊次線性方程組，y1,y2不全為零系數(shù)行列式=0結構失穩(wěn)的形式不能由齊次線性方程組求出y1,y2的確定值，但可以求得它們的比值，類似振動的振型解得臨界荷載無限自由度結構的例子一端固定另一端鉸支的等截面中心受壓彈性直桿任一截面的彎距撓曲線近似微分方程令微分方程通解為A,B為積分常數(shù)，Q/P也是未知，由邊界條件x=0,y=0,y’=0;x=l,y=0得到A,B,Q/P的齊次線性方程組A=B=Q/P=0，對應原有的直線平衡形式。對于新的彎曲平衡形式，要求A,B,Q/P不全為零，系數(shù)行列式＝0得到特征方程（超越方程）解得臨界荷載采用圖解法或迭代法求解§15-3具有彈性支座壓桿的穩(wěn)定彈性支座的壓桿：在剛架中，將某根壓桿取出，而以彈性支座代替其余部分對它的約束作用。BC桿對AB壓桿的約束，可以用一個抗轉彈簧來代替?？罐D彈簧的剛度由平衡條件壓桿撓曲線的平衡方程同樣令微分方程通解三個未知常數(shù)：A,B,1,邊界條件：x=0,y=0,y’=0;x=l,y=0得到A,B,1的齊次線性方程組A,B,1不全為零，系數(shù)行列式＝01給定時，解此超越方程，可解出nl的最小正根，求Pcr。特別地（兩端鉸支）（一端鉸支，一端固定）a)一端彈性固定另一端自由的壓桿b)一端固定另一端有抗移支座彈簧的壓桿c)兩端都有抗轉彈簧，上端有抗移彈簧，特征方程彈性支座壓桿的穩(wěn)定方程的一般形式。圖15-8b圖15-9a圖15-9b求剛架的臨界荷載對稱剛架承受對稱荷載，失穩(wěn)形式為正對稱或反對稱變形正對稱失穩(wěn)時，壓桿下端鉸支上端彈性固定，同圖15-8b，彈性固定端的抗彎剛度得特征方程解得超越方程的最小正根nl=3.83臨界荷載為反對稱失穩(wěn)時，壓桿下端鉸支上端彈性固定，上下兩端有相對側移，無水平反力，同圖15-9a，彈性固定端的抗彎剛度得特征方程解得超越方程的最小正根nl=1.45，臨界荷載為反對稱失穩(wěn)的Pcr較小，為實際的臨界荷載§15-4用能量法確定臨界荷載靜力法確定臨界荷載，結構復雜或邊界條件復雜時，求解困難。能量法是另外一種確定臨界荷載的方法，有時簡便。能量法確定臨界荷載，依據(jù)是結構失穩(wěn)時平衡的二重性，即用能量形式表示平衡條件，尋求結構在新的形式下能維持平衡的荷載，最小者為臨界荷載。能量形式表示平衡條件－勢能駐值原理。彈性結構，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件的一切虛位移中，同時又滿足平衡條件的位移，使結構的勢能為駐值，即結構勢能的一階變分為零結構勢能＝應變能U＋外力勢能V應變能U按材料力學公式，外力勢能Pi－外力，I－相應位移。外力勢能＝外力所做虛功的負值有限自由度結構，所有可能的位移狀態(tài)用有限個獨立參數(shù)表示，＝(a1,a2,…,an)＝0，a1,a2,…,an是任意的可以獲得一組關于a1,a2,…,an的齊次線性方程組，a1,a2,…,an不全為零，此方程組的系數(shù)行列式＝0，建立特征方程例題，壓桿EI為無窮大，彈簧剛度彈簧的應變能外力勢能結構勢能在新的位置平衡兩個自由度結構的勢能：此時∏是兩個獨立參數(shù)y1、y2的函數(shù)，結構處于平衡時，由式（15-11）有：而y1、y2不能全為零，故應有：展開并整理得：解方程得：其中最小值為臨界載荷：無限自由度結構彈性壓桿的應變能外力勢能結構勢能撓曲函數(shù)y未知，結構勢能是y的函數(shù)，泛函。＝0為求泛函極值問題，變分問題。將無限自由度－>有限自由度，瑞利－李茲法。假設撓曲函數(shù)y為有限個已知函數(shù)的線性組合i(x)是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，ai是任意參數(shù)。結構的變形由n個獨立參數(shù)a1,a2,…,an確定，原來的無限自由度－>n個自由度。得到臨界荷載為近似解?！?5-6剪力對臨界荷載的影響建立撓曲線微分方程，除了彎距，也考慮剪力對變形的影響。彎距和剪力產生的撓度分別為yM和yQ，剪力引起的桿軸切線的附加轉角兩端鉸支的等截面桿同時考慮彎距和剪力影響的撓曲線微分方程令微分方程的通解邊界條件得特征方程最小正根為臨界荷載Euler臨界荷載修正系數(shù)在實體桿件中，剪力影響很小，通?？陕匀?。但在薄壁桿件中，剪力較大，需加以考慮?！?5-7組合壓桿的穩(wěn)定組合壓桿由兩個型鋼通過若干聯(lián)結件聯(lián)結構成。聯(lián)結件的形式有：綴條式和綴板式兩種。組合壓桿中剪力影響較大，它比同樣截面和柔度的實體壓桿的臨界荷載小。當節(jié)間數(shù)比較多時，組合壓桿的臨界荷載用考慮剪力影響的實體壓桿的臨界荷載公式計算，式中k/GA需要修改，以反映聯(lián)結件的影響。是單位剪力作用下的剪切角需要求出組合壓桿在單位剪力作用下的剪切角,代替式中的k/GA1.綴條式組合壓桿主要桿件采用型鋼，綴條通常采用單根角鋼，截面較小，兩端可視為鉸接（即使桿件通過焊接聯(lián)結）。取出一個節(jié)間，在單位剪力Q=1作用下的剪切角主要桿件的截面比綴條大的多，所以只考慮綴條的影響。綴條的橫桿桿長截面積為Ap綴條的斜桿桿長截面積為Aq式中慣性矩I為兩根主要桿件的截面對整個截面形心軸z的慣性矩。Ad－一根主要桿件的截面積，Id－一根主要桿件的截面對本身形心軸的慣性矩，由平行移軸定理，斜桿比橫桿對臨界荷載的影響更大，可以考慮略去橫桿的影響（鋼翼緣兩側平面內都設有綴條）寫成Euler問題的基本形式