有理數(shù)及其運算》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解有理數(shù)及其運算的意義，提高運算能力．2．能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大小；借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值．3．體會轉(zhuǎn)化、歸納等思想；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運算并能解決簡單的實際問題．4．會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)】正有理教*＜逆數(shù)性質(zhì)解為T負(fù)宥理數(shù)I有關(guān)概念卜相反數(shù)迤對值-倒數(shù)有關(guān)概念卜有理數(shù)l運算律卜|結(jié)合律T分配律」有理數(shù)T分配律」有理數(shù)的運算pH0減「科學(xué)記數(shù)疾—利用運算律解有理數(shù)的混舍運算算法要點梳理】要點一、有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類：2）按性質(zhì)分類：（1）2）按性質(zhì)分類：「正整數(shù)整數(shù)］零VI員整數(shù)-分?jǐn)?shù)「正整數(shù)整數(shù)］零VI員整數(shù)-分?jǐn)?shù)f正分?jǐn)?shù)工員分?jǐn)?shù)非員劉數(shù)【自然數(shù)〉菲止整數(shù)止有理數(shù)有理數(shù)4 零奐有理救非負(fù)數(shù)非正數(shù)要點詮釋：(1)用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)0°C表示冰點表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．要點詮釋(1)一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如兀?在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．要點詮釋：(1)一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等，這兩點是關(guān)于原點對稱的．求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“-”號即可.多重符號的化簡：數(shù)字前面“-”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù).4.絕對值：代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.數(shù)a的絕對值記作a.幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離.要點二、有理數(shù)的運算1．法則：加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b).乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.②任何數(shù)同0相乘，都得0.除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).即a^b=a?(bM0).b乘方運算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.要點詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－(－3)]=－3，－[+(－3)]=3．有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：(一3)X(—2)X(—6)=—36，而(一3)X(—2)X6=36.有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如:(-3)2二9，(一3)3=-27.2.運算律：交換律：①加法交換律:a+b二b+a；②乘法交換律:ab二ba；結(jié)合律： ①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac要點三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法；(2)法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。?3)作差比較法.(4)作商比較法；(5)倒數(shù)比較法.要點四、科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成axlO"的形式(其中iw|a|<10，n是正整數(shù))，此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法.例如：200000=2X105.【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念若一個有理數(shù)的：⑴相反數(shù)；(2)倒數(shù)；(3)絕對值；(4)平方；⑸立方，等于它本身.則這個數(shù)分別為(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ．【答案(1)0； (2)1和-1；(3)正數(shù)和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根據(jù)定義，把符合條件的有理數(shù)寫全.【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念.舉一反三：222TOC\o"1-5"\h\z【變式】⑴-13的倒數(shù)是 ；-13的相反數(shù)是 ；-1亍的絕對值是 .-(-8)的相反數(shù)是 ；-1的相反數(shù)的倒數(shù)是 .2某種食用油的價格隨著市場經(jīng)濟的變化漲落，規(guī)定上漲記為正，貝卜5.8元的意義是 ；如果這種油的原價是76元，那么現(xiàn)在的賣價是 .上海浦東磁懸浮鐵路全長30km，單程運行時間約為8min,那么磁懸浮列車的平均速度用科學(xué)記數(shù)法表示約為 m/min.2若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則3cd+§(a+b)= .322【答案】(1)―5；13；13；-8；2(2)降價5.8元，70.2元；(3)3.75x103；⑷3；已知|x|=|-3|，則x的值為 .【思路點撥】根據(jù)題意可知|x|=3,由絕對值的性質(zhì)，即可推出x=±3.【答案】±3．【解析】解:V|-3|=3,|x|=3，???|±3|=3,x=±3.【總結(jié)升華】本題主要考查絕對值的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出3和-3的絕對值都為3.

a3?在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍枺?006 2007?【思路點撥】根據(jù)“a-b>0,a-b=0,a-bV0分別得到a>b,a=b,aVb"來比較兩數(shù)的大小.【答案】V【解析】解法一：作差法由于— 一2005x2007由于— 一2005x2007-2006x2006_20062007<0，所以 < 2006x2007 2006x2007 2006 200720061 1 1 1 2007解法二：倒數(shù)比較法：因為2005—+2005>*2006—2006所以2005<^0062006 2007總結(jié)升華】比較大小常用的有五種方法,要根據(jù)數(shù)的特征選擇使用．舉一反三：a,A．a(chǎn)+bV0B.a-bV0aD.>0bC．a(chǎn)b>0變式】有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示,下列各式正確的是（）答案】a,A．a(chǎn)+bV0B.a-bV0aD.>0bC．a(chǎn)b>0變式】有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示,下列各式正確的是（）答案】B．類型二、有理數(shù)的運算4.計算：10+8x思路點撥】原式先計算乘方運算,再計算乘除運算,最后算加減運算即可得到結(jié)果．【答案與解析】1解：原式=10+8X -2X54=10+2-10=2．【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運算首先弄清運算順序,先乘方,再乘除,最后算加減,有括號先算括號里邊的,同級運算從左到右依次進行計算,然后利用各種運算法則計算,有時可以利用運算律來簡化運算．舉一反三：【變式】計算：(1)(-2)x1-1x(-2)(2)-24+16—10-3xC-l)2006【答案】解：(1)(-2)x一—x(-2)=(-1)一x(-2)=(-1)x2x(-2)=4(2)-24+6-10-3x(-1)2006=-16+4-3X1=-15類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用(1)數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則a,-a,1的大小關(guān)系.A.-a<a<1B.1<-a<aC.1<-a<aD.a<1<-a分類討論思想：已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.( 3) 1轉(zhuǎn)化思想：計算：-35萬一(-萬)I 14丿 7【答案與解析】解：(1)將-a在數(shù)軸上標(biāo)出，如圖所示，得到aV1V-a，所以大小關(guān)系為：aV1V-a.所以正確選項為：D.(2)因為|x|=5，所以x為-5或5因為lyl=3，所以y為3或-3.當(dāng)x=5,y=3時，x-y=5-3=2當(dāng)x=5,y=-3時，x_y=5-(_3)=8當(dāng)x=-5,y=3時，x-y=-5_3=-8當(dāng)x=-5,y=-3時，x-y=-5-(-3)=-2

故（x-y）的值為±2或±8（ 3\ 3 1（3）原式=—35—肓x（—7）二35x7+—x7二246-j 14丿 14 2【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段．?dāng)?shù)形結(jié)合——“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”．舉一反三：【變式】若a是有理數(shù)，|a|-a能不能是負(fù)數(shù)?為什么？【答案】解：當(dāng)a>0時，|a|-a=a-a=O；當(dāng)a=0時，|a|-a=O-O=O；當(dāng)aVO時，|a|-a=-a-a=-2a>0.所以，對于任何有理數(shù)a，|a|-a都不會是負(fù)數(shù).類型四、規(guī)律探索6?將1,…，按一定規(guī)律排列如下:第［行10第序行II12136?將1,…，按一定規(guī)律排列如下:第［行10第序行II121314請你寫出第20行從左至右第10個數(shù)是 思路點撥】通過觀察題目所給的圖形、表格或一段語言敘述，然后歸納總結(jié)，尋找規(guī)律.答案】1答案】1200【解析】認(rèn)真觀察可