固體的彈性性質：固體的范性性質：假設無形變的晶體內部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏離原來的平衡位置。由于晶體結構的各向異性，各方向上粒子偏移程度不同，從而使宏觀的形變各向異性；---------------晶體內部粒子沿各方向偏移程度的差異，使粒子恢復到原來平衡位置所產(chǎn)生的內應力也隨方向不同。顯然，晶體的彈性性質也是各向異性的，需要用張量來描述。§2.8應力、應變、胡克定律稱為并矢，作為張量的9個基。一般張量可寫為張量：（二階）張量是具有9個分量的物理量。設直角坐標系的單位基矢量為張量的9個分量寫為用矩陣表示一、應力張量1、應力定義：固體受到外力時，內部產(chǎn)生的抵抗形變的彈性恢復力。彈性恢復力：物體受外力作用發(fā)生形變，分子（質點）就偏離其平衡位置。此時每個分子受周圍分子的作用產(chǎn)生—個趨向于使其恢復到平衡位置的力。

一個物體處于受力狀態(tài)，一般有兩種情況：*

物體整個體積受力并且力的大小與物體的體積成正比，這稱為徹體力，例如重力；*另一種情況是物體受到壓縮、拉伸或扭轉、彎曲的作用而發(fā)生形變時，在物體內部的任一部分和它周圍相鄰部分之間將產(chǎn)生相互作用力，這種力的大小與相接觸部分表面積的大小成正比，而力與面積之比就稱為應力。即在固體形變時，作用在固體中單位面積上的力。

應力定義：直角坐標系中，（x,y,z）點，以x,y,z為外法線的面積元上的應力分別為yySTD-

此處i,j=x,y,z

第一下標i表示應力的方向，第二下標j表示應力所作用的面的法向。作用在立方體上的應力張量元

例如作用在垂直于X軸的單位面積上沿X方向的應力是Txx

。這類應力是垂直于表面的，稱為正應力，代表張力或壓力;

作用在垂直于X軸的單位面積上沿Y方向的應力是Tyx

。這類應力是沿著表面的，即平行于表面的切向，代表切應力。應力張量矩陣表達式晶體中某點(x.y.z)的應力狀態(tài)對應9個應力分量用矩陣表示，即作用在立方體上的應力張量元

在靜力平衡條件下，內應力作用在物體上的總力矩等于零。物理意義：當不存在體積轉矩時，在相互垂直的面上，垂直于該二面交線的切應力相等。即，應力張量是對稱的二級張量，它只有六個獨立的張量元。常用符號Th代表應力分量：作用在單位體積元上的力與應力張量元的關系如圖所示，沿x方向力的分量有三個：三式相加，可得作用在體積元ΔxΔyΔz上的力的x分量為：作用在體積元上的應力作用在單位體積上的力的x分量為：作用在體積元上的應力同理，可得作用在單位體積上的力的y、z分量：二、應變張量當晶體形變時，晶體內任意兩點間的距離都會發(fā)生形變:

介質間發(fā)生的相對位移，稱之為應變。如圖，在固體中取xy平面，P為任一點，PA＝Δx，PB＝Δy，PA平行x軸，PB平行于y軸，由于形變，P，A，B三點分別移到質點位移表示計算沿坐標軸方向線元的伸縮形變：

線段在長度方向上的相對伸長（或縮短）量稱為正應變，

PA的正應變?yōu)椋篜B線段的正應變坐標軸間夾角的變化：從圖可知，PA、PB線段發(fā)生正應變的同時，其方向也發(fā)生了變化:PA轉過的角度為PB轉過的角度為定義：PA與PB線段的偏轉角之和為切應變同理，對于yz和xz平面，可求得由以上可知，某一點的應變有9個分量，用矩陣表示，則為應變張量是個對稱二級張量，只有6個獨立的元。如果把雙下標按下列對應關系換成單下標并規(guī)定：

則與應變有關的許多公式可進一步簡化，運算中，應變張量常被寫成一個六元縱列矩陣。三、胡克定律、晶體彈性模量胡克定律指出，在彈性形變下，應力與應變存在線性關系，其數(shù)學表達式為：可以寫成矩陣的形式或統(tǒng)一表示為：系數(shù)cλμ稱為晶體的彈性模量。我們也可以把晶體的應變和應力的關系寫成如下形式：系數(shù)Sλμ稱為彈性系數(shù)，從上面兩式可以看出，彈性模量張量和彈性系數(shù)張量是互逆的，即：四、彈性模量的對稱性

通過求解晶體的應變能（應力作功使晶體的位能增加量），可以證明，cλμ具有交換腳標的對稱性，即：

cλμ

＝cμλ因此，矩陣（C）為一對稱矩陣，只有21個獨立元素。如果晶體具有對稱性，獨立元素的數(shù)目還要減少。對六角晶系，只剩下五個獨立的晶體張量元；而對稱性最大的立方晶系，如果將坐標軸取作立方體軸，矩陣只有三個不為零的矩陣元。下面，我們以立方晶系為例，通過變換下標的方法來說明。以三個4度軸為坐標軸，先繞z軸轉90度，則坐標將按以下方式變換：或簡寫為：于是在四個下標的四階張量中，下標的變換方式如下：注意：彈性模量是四階張量，具有四個下標，它的前兩個下標和后兩個下標分別具有對稱性，因此我們通常采用以下方法簡化下標來代替雙下標，對應關系如下：xy于是彈性模量中21個獨立分量的下標，將發(fā)生如下變換：用簡化下標時：此處略去左下方的一半，因為它是對稱的。由于是對稱操作，變換前后的各對應項應相等，從而有：項不變；最后得矩陣形式為：然后再繞y軸或x軸旋轉90度，坐標變換分別按以下方式變換：則有：其余各項為零。

于是，立方晶系中的彈性模量的獨立分量再次減少到3個，其完整的矩陣形式為§2.9彈性動力學方程、彈性波

一、彈性動力學方程（彈性波通過晶體時，晶體中單位體積元的運動方程）前面我們導出過作用在單位體積上的力的x、y、z方向的分量為：彈性波通過晶體時，質點的運動方程可寫為：彈性波通過晶體時，質點的運動方程可寫為：式中ρ代表晶體密度，u、v、w代表晶體中質粒位移沿主軸x、y、z方向的分量。根據(jù)應力分量符號，上式可以寫為上式稱為彈性動力學方程。二、彈性波求解在各向異性結構中的晶體中，彈性波在不同方向上的傳播情況是不同的。假設有一沿R＝（l，m，n）方向傳播的彈性波，它的方向余弦為l,m,n，在這方向上某點振動質點P（x、y、z）同原點的距離為：我們研究該方向上P點處的應變Sn:由應變張量元公式將胡克定律和上式代入動力學方程（3）式

式中Γij稱為克利斯托夫模量，共有九個分量，但Γij＝Γji，故獨立分量只有6個，其具體表達式為：

上式是一個波動方程，其特解可用晶體中傳播的聲波（平面波）來表示。為便于記憶和運算，［Γij］也可以寫成矩陣形式：

克利斯托夫模量只是彈性波的傳播方向R（l、m、n）和晶體彈性模量的函數(shù)，它具有彈性模量的量綱。設表示沿R傳播的波在晶體中所引起的彈性位移矢，分量為位移矢的方向余弦為把上式代入波動方程（4）得這就是沿R方向傳播的彈性波方程。為有效彈性模量。那么的長度為把（6）式代入波動方程（4）得同理有效彈性模量與克利斯托夫模量關系為使該線性方程組具有非零解，必須滿足如下久期方程：它必需滿足如下方程組：對應這三個波，質粒分別有相應的三個位移。的傳播聲速為由此可知，一般情況下有三個解，它們對應三個不同的波，其對應例：討論立方晶系的晶體中沿［100］方向傳播的聲波。解：當聲波沿［100］方向傳播時，立方晶系只有三個獨立的彈性模量，其矩陣形式如下：因此由克利斯托夫模量表達式可以算得：這時久期方程式變?yōu)椋寒斅暡ㄑ兀?00］方向傳播時，可解得代入（7）式得三個彈性波的波速和對應的質粒位移方向：v1對應的聲波使質點沿方向振動。-----縱波1）v2對應的聲波使質點沿方向振動。----橫波2）v3對應的聲波使質點沿方向振動。----橫波3）從以上討論可以看出，某方向傳播的彈性波，一般有三個模式，其中一個波的位移方向和波矢方向R相同，稱為縱波；而另兩個波的位移方向垂直于波矢方向，則稱為橫波。例題:已知某晶體中相鄰兩原子間的互作用勢能可表示成（1）求出平衡時，兩原子間的距離。（2）平衡時的結合能。（3）若取m=2,n=10,兩原子間的平衡距離為3埃，每個原子的離解能為4eV，計算A及B的值。（4）如果平衡時晶體的體積為V0，結合能為E0，求出晶體的體彈性模量。（5）晶體在平衡時，原子之間具有量值相等、方向相反的吸引力和排斥力，求出平衡時，原子間的吸引力（排斥力）的量值。解：（1）平衡時，要求互作用勢能取極小值，所以由上式可以求得平衡時兩原子間的距離（2）平衡時的結合能即為

離解能就是晶體全部解離成各個原子狀態(tài)所需要的參量。因此，離解能實際上即是該晶體的結合能Eb。如果只計及最近鄰原子間的互作用勢能，則（3）已知m=2，n=10，已知每個原子的離解能因此因此把上述數(shù)值分別代入（2）和（3）式，可得即由（6）式即可得把A的數(shù)值代入（5）式，即得（4）體彈性模量和晶體總互作用勢能關系為如果只計及最近鄰的原子間互作用勢能，則有因為相鄰原子間的距離為r，所以晶體的體積

這里α是與晶體的原子幾何結構有關的系數(shù)，對于簡立方結構，α＝1，因此根據(jù)（9）式，所以根據(jù)（8）式，把（2）式代入，可得把（11）、（12）代入（10）式，得到因為平衡時的結合能為E0，所以根據(jù)（3）及（4）式即把上式代入（13）式，并利用則可得（5）平衡時，原子間的吸引力（排斥力）的量值在互作用勢能表達式中，第一項相應于吸引勢，第二項相應于排斥勢，即吸引勢及排斥勢分別為因此吸引力及排斥力應為在平衡時，它們的值分別為第二章要點1、晶體結合的基本類型晶體中原子的相互作用稱為鍵，晶體結合按鍵的性質主要有以下幾種：離子鍵、共價健、金屬鍵、范德瓦爾斯鍵和氫鍵。2、結合能（1）定義：原子結合成晶體后釋放的能量E0：晶體的總能量（內能）EN：是組成該晶體的N個原子在自由狀態(tài)時的總能量（2）相互作用