第八章位移法§8-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8-3位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟§8-5直接由平衡條件建立位移法基本方程§8-6對(duì)稱性的利用§8-7有側(cè)移的斜柱剛架§8-8溫度變化時(shí)的計(jì)算§8-1概述§8-1概述位移法：先確定某些位移，再推求內(nèi)力。圖a所示剛架在荷載F作用下發(fā)生虛線所示變形。略去軸向變形，可將結(jié)構(gòu)分解如圖b、c。思路：將結(jié)點(diǎn)1的角位移Z1

作為基本未知量，求出Z1，進(jìn)而求出各桿內(nèi)力。需解決的問題：（1）用力法算出單跨超靜定梁在各種外因作用下的內(nèi)力

（2）確定哪些位移作為基本未知量（3）如何求出這些位移§8-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程圖a所示兩端固定的等截面梁，兩端支座發(fā)生了位移。取基本結(jié)構(gòu)如圖b。

X3對(duì)梁的彎矩?zé)o影響，可不考慮，只需求解X1、X2。符號(hào)規(guī)定：桿端彎矩以對(duì)桿端順時(shí)針方向?yàn)檎?；均以順時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

△AB以使整個(gè)桿件順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正。力法典型方程為作X1、X2分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖c、d。由圖e可得βAB—弦轉(zhuǎn)角，順時(shí)針方向?yàn)檎?。解典型方程得?-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程令—桿件的線剛度MAB=X1，MBA=X2，可得固端彎矩：單跨梁在荷載作用及溫度變化時(shí)產(chǎn)生的桿端彎矩。當(dāng)單跨梁除支座位移外，還有荷載作用及溫度變化時(shí)，其桿端彎矩為轉(zhuǎn)角位移方程§8-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程對(duì)于一端固定另一端鉸支的等截面梁，設(shè)B端為鉸支，則有不是獨(dú)立的桿端彎矩桿端剪力§8-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8-3位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)基本未知量：結(jié)點(diǎn)的角位移、線位移。1、結(jié)點(diǎn)的角位移：每一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。圖a所示剛架獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目為2。2、結(jié)點(diǎn)的線位移：略去受彎桿件的軸向變形，設(shè)彎矩變形是微小的。如圖a，4、5、6點(diǎn)不動(dòng)，三根柱子長度不變，故1、2、3點(diǎn)均無豎向位移。兩根橫梁長度不變。因而，1、2、3點(diǎn)有相同的水平位移。確定獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移另種一方法把原結(jié)構(gòu)的所有剛結(jié)點(diǎn)和固定支座均改為鉸結(jié)點(diǎn)→鉸結(jié)體系，如圖b。此鉸結(jié)體系為幾何不變，原結(jié)構(gòu)無結(jié)點(diǎn)線位移。此鉸結(jié)體系為幾何可變或瞬變，添加最少的支座鏈桿保證其幾何不變，添加的鏈桿數(shù)目既是原結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目。如圖b，加一個(gè)水平支座鏈桿，體系成為幾何不變的?！?-3位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)§8-3位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)附加剛臂：阻止剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能阻止結(jié)點(diǎn)的移動(dòng)。附加支座鏈桿：阻止結(jié)點(diǎn)的線位移。圖a所示剛架，在剛結(jié)點(diǎn)1、3處分別加上剛臂，在結(jié)點(diǎn)3處加上一根水平支座鏈桿，則原結(jié)構(gòu)的每根桿件都成為單跨超靜定梁。這個(gè)單跨超靜定梁的組合體稱為位移法的基本結(jié)構(gòu)。如圖c?！?-3位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)圖a所示剛架，結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目=4（注意結(jié)點(diǎn)2）結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目=2加上4個(gè)剛臂，兩根支座鏈桿，可得基本結(jié)構(gòu)如圖b?！?-3位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)圖a所示剛架，結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目=2圖b所示剛架，結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目=2

結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目=2§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟圖a所示連續(xù)梁（EI為常數(shù)），只有一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移Z1。在結(jié)點(diǎn)B加一附加剛臂得到基本結(jié)構(gòu)。令基本結(jié)構(gòu)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的角位移Z1，二者的位移完全一致了。附加剛臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷載引起的）原結(jié)構(gòu)沒有附加剛臂，所以：R1=R11+R1P=0基本結(jié)構(gòu)在荷載和Z1共同作用下的體系稱為基本體系，如圖b?！?-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟設(shè)r11表示Z1=1引起的附加剛臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1。可得位移法基本方程系數(shù)自由項(xiàng)作及荷載作用下的彎矩圖，如圖a、b。由a圖，取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i由b圖，取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，由∑MB=0，可得R1P=-24kN·m§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟將r11和R1P代入方程求出結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖由疊加法繪制§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟a圖所示剛架，13桿和24桿有側(cè)移產(chǎn)生，稱為有側(cè)移結(jié)構(gòu)。基本體系如圖b。由圖c、d、e可得§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟r11、r12分別表示Z1=1、Z2=1引起的剛臂上的反力矩。r21、r22分別表示Z1=1、Z2=1引起的鏈桿上的反力?？傻梦灰品ǖ湫头匠涛锢硪饬x基本結(jié)構(gòu)在荷載等外因和各結(jié)點(diǎn)位移的共同作用下，每一個(gè)附加聯(lián)系上的附加反力矩和附加反力都應(yīng)等于零。原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟為求系數(shù)和自由項(xiàng)，繪彎矩圖如圖a、b、c?！?-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程并求解，可得結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖可由疊加法繪制：內(nèi)力圖校核同力法，略。§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟位移法計(jì)算步驟（1）確定基本未知量：獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移和線位移，加入附加聯(lián)系得到基本結(jié)構(gòu)。（2）建立位移法的典型方程：各附加聯(lián)系上的反力矩或反力均應(yīng)等于零。（3）繪彎矩圖：基本結(jié)構(gòu)在各單位結(jié)點(diǎn)位移和外因作用下，由平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解典型方程：求出作為基本未知量的各結(jié)點(diǎn)位移。（5）繪制最后彎矩圖：用疊加法?！?-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的結(jié)構(gòu)，可建立n個(gè)方程如下主系數(shù)：主斜線上的系數(shù)rii，或稱為主反力，恒為正值。典型方程副系數(shù)：其他系數(shù)rij，或稱為副反力，可為正、負(fù)或零。rij=rji。每個(gè)系數(shù)都是單位位移引起的反力或反力矩→結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)；位移法典型方程→結(jié)構(gòu)的剛度方程；位移法→剛度法?！?-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟例8-1試用位移法求圖a所示階梯形變截面梁的彎矩圖。E=常數(shù)。解：結(jié)構(gòu)的基本未知量：結(jié)點(diǎn)B的角位移Z1、豎向位移Z2，基本體系如圖b。典型方程為設(shè)則iAB=3i，iBC=i繪彎矩圖c、d、e。取結(jié)點(diǎn)B處的隔離體?！?-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟代入典型方程解得由§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟例8-2求圖a所示剛架的支座A產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，支座B產(chǎn)生豎向位移。試用位移法繪其彎矩圖，E為常數(shù)。解：剛架的基本未知量：結(jié)點(diǎn)C的角位移Z1，基本體系如圖b。典型方程為設(shè)則§8-4位移法的典型方程及計(jì)算步驟繪彎矩圖c、d。取結(jié)點(diǎn)C為隔離體。代入典型方程解得由§8-5直接由平衡條件建立位移法基本方程圖a所示剛架用位移法求解時(shí)有兩個(gè)基本未知量：剛結(jié)點(diǎn)1的轉(zhuǎn)角Z1，結(jié)點(diǎn)1、2的水平位移Z2。如圖b，由結(jié)點(diǎn)1的力矩平衡條件∑M1=0如圖c，由隔離體的投影平衡條件∑Fx=0設(shè)Z1為順時(shí)針方向，Z2向右，可得由平衡條件可得Z1、Z2各桿端最后彎矩由轉(zhuǎn)角位移方程求得?！?-5直接由平衡條件建立位移法基本方程§8-6對(duì)稱性的利用圖a所示對(duì)稱剛架，可將荷載分解為正、反對(duì)稱兩組。在正對(duì)稱荷載作用下只有正對(duì)稱的基本未知量，如圖b。在反對(duì)稱荷載作用下只有反對(duì)稱的基本未知量，如圖c。圖b利用對(duì)稱性簡化為圖d。圖c利用對(duì)稱性簡化為圖e。用位移法求解用力法求解§8-6對(duì)稱性的利用圖a所示對(duì)稱剛架，可將荷載分解為正、反對(duì)稱兩組。在正（反）對(duì)稱荷載作用下，基本未知量數(shù)目是不同的。如圖b、c。荷載位移法基本未知量數(shù)目力法基本未知量數(shù)目正對(duì)稱3（采用）6反對(duì)稱63（采用）§8-6對(duì)稱性的利用例8-3試計(jì)算圖a所示彈性支承連續(xù)梁，彈性支座剛度梁的EI=常數(shù)。解：這是一個(gè)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受正對(duì)稱荷載取一半結(jié)構(gòu)如圖b，基本體系如圖c典型方程為§8-6對(duì)稱性的利用繪彎矩圖d、e、g。解得由§8-7有側(cè)移的斜柱剛架圖a所示為一具有斜柱的剛架發(fā)生結(jié)點(diǎn)線位移的情形。A、D是不動(dòng)的。B點(diǎn)：當(dāng)位移很小時(shí)，在垂直AB方向上運(yùn)動(dòng)。C點(diǎn)：BC桿平移至B’C’’，CC’’=BB’。

C’’在垂直B’C’’方向上運(yùn)動(dòng)，作C’’C’垂直于B’C’’。同理，作CC’垂直于DC。

CC’與C’’C’的交點(diǎn)C’即C位移后的位置。在圖b中任選一點(diǎn)O為不動(dòng)點(diǎn)→極點(diǎn)，AD與O重合。作OB垂直于桿AB；過B作桿BC的垂線；過O作桿CD的垂線，得交點(diǎn)C。AB：代表AB桿的相對(duì)線位移BC：代表BC桿的相對(duì)線位移CD：代表CD桿的相對(duì)線位移結(jié)點(diǎn)位移圖§8-7有側(cè)移的斜柱剛架例8-4試用位移法計(jì)算圖a所示剛架。解：基本體系如圖b所示。典型方程為令其余桿線剛度如圖b及MP圖如圖c、d§8-7有側(cè)移的斜柱剛架設(shè)則結(jié)點(diǎn)位移圖如圖e附加鏈桿上反力的計(jì)算如圖g。圖如圖f計(jì)算可得由∑MO=0有§8-7有側(cè)移的斜柱剛架將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，可得疊加原理繪彎矩圖§8-8溫度變化時(shí)的計(jì)算例8-5繪圖a所示剛架溫度變化時(shí)的彎矩圖。各桿的EI=常數(shù)，截面為矩形，其高度h=l/10，材料的線膨脹系數(shù)為α。解：剛架有一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移Z1，一個(gè)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移Z2?；倔w系如圖b所示。典型方程為§8-8溫度變化時(shí)的計(jì)算及圖如圖c、d§8-8