第二章運動方程的建立主要內(nèi)容2.1基本動力體系2.2運動方程的建立2.3

重力的影響2.4地基運動的影響2.5例題運動方程：描述結(jié)構(gòu)中力與位移關(guān)系的數(shù)學表達式（有時稱動力方程）運動方程是進行結(jié)構(gòu)動力分析的基礎運動方程的建立是結(jié)構(gòu)動力學的重點，也是難點2.1基本動力體系單自由度體系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System）

結(jié)構(gòu)的運動狀態(tài)僅需要一個幾何參數(shù)即可以確定分析單自由度體系的意義：第一，單自由度系統(tǒng)包括了結(jié)構(gòu)動力分析中涉及的所有物理量及基本概念。第二，很多實際的動力問題可以直接按單自由度體系進行分析計算。圖2.1結(jié)構(gòu)動力分析中常用的單自由度體系力學模型

2.1基本動力體系

（a）單層框架結(jié)構(gòu)（b）彈簧―質(zhì)點體系

圖2.1結(jié)構(gòu)動力分析中常用的單自由度體系力學模型

兩個典型的單自由度體系物理元件：集中質(zhì)量m阻尼系數(shù)c彈簧剛度k兩個力學模型完全等效兩個體系的運動方程相同

2.1基本動力體系1.慣性力（InertialForce）

慣性：保持物體運動狀態(tài)的能力慣性力：大小等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積，

方向與加速度的方向相反。I—

慣性（Inertial）；m—

質(zhì)量（mass）；ü—

質(zhì)點的加速度。

2.1基本動力體系

2.彈簧的恢復力（ResistingForceofSpring）

對彈性體系，彈簧的恢復力也被稱為彈性恢復力

彈性恢復力：大小等于彈簧剛度與位移（彈簧變形）的乘積，

方向指向體系的平衡位置。s—表示彈簧（Spring）k—彈簧的剛度（SpringStiffness）u—質(zhì)點位移

2.1基本動力體系

單層框架結(jié)構(gòu)的水平剛度

h—框架結(jié)構(gòu)的高度E—彈性模量Ib和Ic—梁和柱的截面慣性矩

ρ→∞：

ρ→0

：2.1基本動力體系

3.阻尼力（DampingForce）

阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用阻尼來源（物理機制）：(1)固體材料變形時的內(nèi)摩擦，或材料快速應變引起的熱耗散；(2)結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦；(3)結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。粘滯(性)阻尼力可表示為：

D

—

阻尼（damping）c

—

阻尼系數(shù)（Dampingcoefficient）

ù

—

質(zhì)點的運動速度

2.1基本動力體系阻尼系數(shù)c的確定：不能像結(jié)構(gòu)剛度k那樣可通過結(jié)構(gòu)幾何尺寸、構(gòu)件尺寸等來獲得，因為c是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過結(jié)構(gòu)原型振動試驗的方法得到。粘滯(性)阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡單的一種。其它常用的阻尼：摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關(guān)，一般為常數(shù)；滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比（相位與速度相同）；流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點速度的平方成正比。2.1基本動力體系

4.

線彈性體系和粘彈性體系

(LinearlyElasticSystemandViscousElasticSystem)線彈性體系：由線性彈簧（或線性構(gòu)件）組成的體系?！詈唵蔚睦硐牖W模型。粘彈性體系：當線彈性系統(tǒng)中進一步考慮阻尼的影響時的體系。

—結(jié)構(gòu)動力分析中的最基本力學模型。2.1基本動力體系

5.非彈性體系(InelasticSystem)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力—變形關(guān)系為非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)剛度不再為常數(shù)構(gòu)件（或彈簧）的恢復力可表示為

fs是位移和速度的非線性函數(shù)。圖2.6非彈性體系中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移關(guān)系

2.2運動方程的建立1.利用牛頓（Newton）第二定律

圖2.7單質(zhì)點體系的受力分析

單質(zhì)點體系運動時要滿足的控制方程—運動方程2.2運動方程的建立利用牛頓第二定律的優(yōu)點：牛頓第二定律是基于物理學中已有知識的直接應用，以人們最容易接受的知識建立體系的運動方程。2.2運動方程的建立2.

D’Alembert原理（直接動力平衡法）D’Alembert原理：在體系運動的任一瞬時，如果除了實際作用結(jié)構(gòu)的主動力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力，則在該時刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動力平衡）。

圖2.8單質(zhì)點體系的受力分析

2.2運動方程的建立2.

D’Alembert原理（直接動力平衡法）D’Alembert原理的優(yōu)點：靜力問題是人們所熟悉的，有了D’Alembert

原理之后，形式上動力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控制方程的方法，都可以用于建立動力問題的平衡方程，使對動力問題的思考有一定的簡化。對很多問題，D’Alembert原理是用于建立運動方程的最直接、最簡便的方法。D’Alembert原理的貢獻：建立了動力平衡概念（1）按平衡條件建立運動方程－剛度法

－慣性力－彈性力對隔離體列平衡方程：k－剛度系數(shù)

剛度法步驟：（1）在質(zhì)點上沿位移正向加慣性力;（2）取質(zhì)點為隔離體并作受力圖;（3）根據(jù)達朗伯原理對質(zhì)量m列瞬時動力平衡方程，此即體系的運動方程。（2）按位移法協(xié)調(diào)建立方程－柔度法

1

δ對質(zhì)量m列位移方程：

δ－柔度系數(shù)柔度法步驟：

（1）在質(zhì)量上沿位移正方向加慣性力；（2）求動荷載和慣性力引起的位移；（3）令該位移與質(zhì)量m的位移相等，即得到體系的位移方程（運動方程）。（3）建立運動方程例題

例1試建立圖示剛架（a）的運動方程解：（1）剛度法（a）（b）由于橫梁剛度無限大，剛架只產(chǎn)生水平位移。設橫梁在某一時刻t的水平位移為y(t),向右為正。在柱頂設置附加鏈桿（圖b），以y(t)作為基本未知量，用位移法列動平衡方程：令

作

圖（圖c），求得

(c)

(d)

考慮動荷載F(t)和慣性力

作MP圖，求得（2）柔度法

設橫梁在任一時刻的位移是由動荷載和慣性力共同作用產(chǎn)生的（圖e），

所以，運動方程為：因此，橫梁的位移為：作圖（圖f）(e)

(f)

求得所以，運動方程為可見，用兩種方法求解后運動方程相同。例2．試建立圖（a）所示剛架的運動方程（不計軸向變形）。(a)

(b)解：用柔度法求解圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)量m只產(chǎn)生水平位移。設質(zhì)量m在任一時刻t的水平位移為，它是由動荷載(c)

質(zhì)量m的位移為和慣性力作用產(chǎn)生的，共同向右為正。作圖，

求得所以，運動方程成為

例3．試建立圖（a）所示剛架的運動方程（不計軸向變形）。解：仍用柔度法求解(a)（b）分析同例2，質(zhì)量m的位移為作圖、圖求得(c)

(d)

所以，運動方程為

由此可見，動靜法建立單自由度體系的運動方程通常是以質(zhì)量的靜平衡位置作為計算動位移的起點，采用剛度法還是柔度法要視具體問題是求剛度系數(shù)方便，還是求柔度系數(shù)方便來定。對同一體系，兩種方程都是一樣的，對于單自由度體系：。2.2運動方程的建立3.虛位移原理虛位移原理：在一組外力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件的無限小位移。

設體系發(fā)生一個虛位移δu

平衡力系在δu上做的總虛功為:

圖2.8單質(zhì)點體系的受力分析

2.2運動方程的建立3.虛位移原理虛位移原理的優(yōu)點：虛位移原理是建立在對虛功分析的基礎之上，而虛功是一個標量，可以按代數(shù)方式運算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量運算更簡便。對如下圖所示結(jié)構(gòu)體系，用虛位移原理建立方程更簡便一些

2.2運動方程的建立4.Hamilton原理應用變分法來建立結(jié)構(gòu)體系的運動方程。動力學中廣泛應用的變分法是Hamilton原理體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值,一般是極小值。

Hamilton原理：在任意時間區(qū)段[t1,t2]內(nèi)，體系的動能和位能的變分加上非保守力做功的變分等于0。

其中：

T——體系的總動能；

V——體系的位能，包括應變能及任何保守力的勢能；

Wnc——作用于體系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）所做的功；δ——指（在指定時間段內(nèi)）所取的變分。

圖2.8單質(zhì)點體系的受力分析

2.2運動方程的建立4.Hamilton原理(積分形式的動力問題的變分方法)

Hamilton原理的優(yōu)點：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對動能和位能的變分代替。因而對這兩項來講，僅涉及處理純的標量，即能量。而在虛位移中，盡管虛功本身是標量，但用來計算虛功的力和虛位移則都是矢量。動能：集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動質(zhì)量位能：拉伸彈簧轉(zhuǎn)動彈簧多自由度體系：動能位能2.2運動方程的建立4.Hamilton原理(用Hamilton原理建立單自由度彈簧－質(zhì)量體系的運動方程)體系的動能：位能(彈簧應變能)：因此能量的變分非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功)

將以上兩式代入Hamilton原理的變分公式，得：對上式中的第一項進行分部積分2.2運動方程的建立5.運動的Lagrange方程(微分形式的動力問題的變分原理)

其中：

T——體系的動能；

V——體系的位能，包括應變能及任何保守力的勢能；

Pncj——與uj相應的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。2.2運動方程的建立5.運動的Lagrange方程用：Hamilton原理推導：Lagrange方程

2.2運動方程的建立5.運動的Lagrange方程

用Lagrange方程建立體系的運動方程體系的動能：

體系的位能：非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到體系的運動方程：2.2運動方程的建立五種建立運動方程的方法的特點牛頓第二定律是基于物理學中已有知識的直接應用，有助于理解和接受D’Alembert原理。D’Alembert原理是一種簡單、直觀的建立運動方程的方法，得到廣泛的應用。更重要的是D’Alembert原理建立了動平衡的概念，使得在結(jié)構(gòu)靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動力問題。當結(jié)構(gòu)具有分布質(zhì)量和彈性時，直接應用D’Alembert原理，用動力平衡的方法來建立體系的運動方程可能是困難的。虛位移原理部分避免了矢量運算，在獲得體系虛功后，可以采用標量運算建立體系的運動方程，簡化了運算。Hamilton原理是一種建立運動方程的能量方法（積分形式的變分原理），如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標量運算，但實際上直接采用Hamilton原理建立運動方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一個極為簡潔的表達式概括了復雜的力學問題。Lagrange方程得到更多的應用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個完全的標量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復力），而慣性力和彈性恢復力是建立運動方程時最為困難的處理對象，關(guān)于阻尼力實際上它一般不是通過數(shù)學推理分析，從材料、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的幾何尺寸等推演得到的，而往往是通過實驗、測試的方法得到（至少對結(jié)構(gòu)動力學是如此），因此，由阻尼產(chǎn)生的非保守力引起的困難并不大。這可能與純粹的連續(xù)介質(zhì)力學很不同，連續(xù)介質(zhì)力學阻尼主要由介質(zhì)本身引起，而結(jié)構(gòu)動力學阻尼來源更廣、更復雜，無法簡單推出，而采用試驗加假設方法。阻尼系數(shù)由實測或經(jīng)驗給出。2.2運動方程的建立表2.1給出了以上介紹的五種建立運動方程的方法的特點

2.2運動方程的建立單自由度體系的運動方程單自由度系統(tǒng)運動方程反映了結(jié)構(gòu)動力學中將遇到的幾乎所有的物理量(1)質(zhì)量m,和慣性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)剛度k,和彈性恢復力：對于多自由度體系：

2.3

重力的影響靜平衡位置：受動力作用以前結(jié)構(gòu)所處的實際位置

Δst——重力W=mg作用下體系的靜位移記：動位移為u

慣性力、阻尼力和彈性恢復力分別為：外荷載為：

應用D’Alembert原理：

2.3

重力的影響

1、考慮重力影響時，結(jié)構(gòu)體系的運動方程與無重力影響時的運動方程完全一樣，此時u是由動荷載引起的動力反應。可見在研究結(jié)構(gòu)的動力反應時，可以完全不考慮重力的影響，建立體系的運動方程，直接求解動力荷載作用下的運動方程，即得到結(jié)構(gòu)體系的動力解。2、當需要考慮重力影響時，結(jié)構(gòu)的總位移=靜力解+動力解，即應用疊加原理。在結(jié)構(gòu)反應問題中，應用疊加原理可將靜力問題（一般是重力問題）和動力問題分開計算，將其結(jié)果相加即得到結(jié)構(gòu)的總體反應。3、同時也要注意到，并不是對任何結(jié)構(gòu)動、靜力反應問題都可以這樣處理，因為在以上推導中，假設彈簧的剛度k為常數(shù)，即結(jié)構(gòu)是線彈性的，因此只有對線彈性結(jié)構(gòu)（如果是二維或三維問題，還要加上小變形（位移）的限制）才可以使用疊加原理，將靜力、動力問題分開考慮。4、應當注意的是，在以上推導過程中，假設懸掛的彈簧―質(zhì)點體系只發(fā)生豎向振動，在動荷載作用之前，重力被彈簧的彈性變形所平衡，而施加荷載后，重力始終被彈性變形所平衡。如果重力的影響沒有預先被平衡，則在施加動力荷載產(chǎn)生進一步變形后，可以產(chǎn)生二階影響問題，例如P―Δ效應。最簡單的例子是倒立擺，當?shù)沽[產(chǎn)生水平振動后，擺的重力引起的附加彎矩是一個新的量，它并沒有預先被平衡，將對體系的動力反應產(chǎn)生影響，這種影響必然反映到結(jié)構(gòu)的運動方程中。2.4地基運動的影響

地基運動問題：結(jié)構(gòu)的動力反應不是由直接作用到結(jié)構(gòu)上的動力引起的，而是由于結(jié)構(gòu)基礎的運動引起的。ug——地基位移，是已知的u——相對位移，反映結(jié)構(gòu)形變ut=u+ug——絕對位移。

慣性力：阻尼力：彈性恢復力：外荷載為0

應用D’Alembert原理相對運動方程：

其中：重力和地基運動的影響

以上結(jié)合單自由度結(jié)構(gòu)體系給出了不同影響因素下結(jié)構(gòu)運動方程的建立方法，雖然例題極為簡單，但包含了最基本的概念和原理。以后會涉及到更復雜的結(jié)構(gòu)體系，例如結(jié)構(gòu)構(gòu)造復雜、自由度多，包含連續(xù)分布的質(zhì)量，地震多方向（多維）和多點（在結(jié)構(gòu)不同的支承處的地面運動不一致）輸入等等，但靈活應用本章介紹的方法都可以得到解決。

2.5例題

例1分析右圖所示體系的靜力自由度和動力自由度，并利用D’Alembert原理建立體系的運動方程。

[解]：1、體系的自由度靜力自由度：體系運動時可以獨立改變的（廣義）坐標的