第三章土的本構(gòu)關(guān)系§1.八面體應(yīng)力的基本知識邊長為2的立方體，主應(yīng)力σ1、σ2、σ3分別與x、y、z軸平行，a,b,c,d,e,f點為六個面的中心點。八面體及八面體應(yīng)力的意義把立方體六個面的中心點連接起來，就成為八面體單元。八面體應(yīng)力和八面體應(yīng)變：指八面體任意面上的法向應(yīng)力σ0及剪應(yīng)力τ0；相應(yīng)的法向應(yīng)變ε0及剪應(yīng)變γ0。他們分別是三個主應(yīng)力σ1、σ2、σ3和三個主應(yīng)變的函數(shù)，能夠綜合反映空間應(yīng)力狀態(tài)。八面體及八面體應(yīng)力的意義2.八面體應(yīng)力與應(yīng)變的計算公式可導(dǎo)出：（2－1）八面體法向應(yīng)力八面體剪應(yīng)力八面體法向應(yīng)變八面體剪應(yīng)變八面體彈性模量：（2－2）（2－3）或（2－4）八面體彈性模量（2－5）（2－6）（2－7）體積彈性模量（2－8）（2－9）（2－10）剪切模量3.強度理論達(dá)到強度條件時的應(yīng)力軌跡線稱為強度包線。主要強度理論有三種。3.1最大八面體剪應(yīng)力強度理論，也叫V.Mises條件當(dāng)八面體剪應(yīng)力τ0達(dá)到極限值c0時，就是破壞條件?；颍?－11）()強度包絡(luò)面為一垂直于等傾斜面的圓柱面。3.強度理論如土的強度與八面體法向應(yīng)力有關(guān)（擴展了的V.Mises條件）強度包絡(luò)面為通過原點和不通過原點的圓錐面。（2－12）3.強度理論3.2最大剪應(yīng)力強度理論，也叫Tresca條件當(dāng)最大剪應(yīng)力τmax達(dá)到極限值ct時就是破壞條件，與中主應(yīng)力無關(guān)。

（2－13）或（2－14）如果有一個式子為等號時，則材料進入塑性狀態(tài)?；颍?－15）強度包絡(luò)面是一個垂直于八面體平面的正六角柱體面，而屈服面在π平面上的軌跡是一個正六邊形。3.2最大剪應(yīng)力強度理論，也叫Tresca條件Tresca擴展情況：（2－16）相應(yīng)的強度包絡(luò)面為通過原點和不通過原點的正六角形錐面。3.3散體極限平衡理論，也叫Mohr－Coulomb條件破壞時的最大與最小主應(yīng)力之間的關(guān)系有（）（2－17）KP－按朗肯理論的被動土壓力系數(shù)，（2－18）強度包絡(luò)面為通過原點的不等頂角的六邊形錐面。3.3散體極限平衡理論，也叫Mohr－Coulomb條件擴展了的Mohr－Coulomb條件

或

強度包絡(luò)面為不通過原點的不等頂角的六邊形錐面。三種破壞條件的比較

3.強度理論§2.土的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系1．材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系2．土的三軸壓縮試驗應(yīng)力－應(yīng)變曲線基本形態(tài)直剪儀單向固結(jié)儀常規(guī)三軸壓縮（σ2＝σ3）試驗儀真三軸壓縮（σ1≠σ2≠σ3）試驗儀平面應(yīng)變試驗儀空心圓柱試驗儀常用土工試驗儀非常規(guī)試驗儀常規(guī)三軸壓縮試驗儀可進行試驗（1）三向等壓固結(jié)試驗P＝σ1＝σ2＝σ3的排水壓縮試驗e(εv)－p曲線e－lnp曲線（2）σ2＝σ3不變，增加σ1直至破壞，可得一組應(yīng)力－應(yīng)變曲線超固結(jié)粘土和密實砂：加工軟化型曲線超固結(jié)土的q－εa曲線正常固結(jié)粘土和松砂、中密砂：加工硬化型曲線

正常固結(jié)土的q－ε曲線雙曲線型：3.非線形彈性模型（1）E－μ模型（Duncan－Chang）模型采用雙曲線公式代表正常固結(jié)粘性土試驗曲線：（1）a、b－試驗常數(shù)（1）式改為：（2）應(yīng)力－應(yīng)變雙曲線函數(shù)雙曲線函數(shù)坐標(biāo)變換公式（1）還可以改成：（3）3.非線形彈性模型通過求a、b得到彈性模量E.求b:當(dāng)軸向應(yīng)變εa→∞時，偏應(yīng)力趨向一極限值（σ1-σ3）ult（4）若土樣破壞時的偏應(yīng)力（即強度）為（σ1－σ3）f，令Rf等于破壞時的偏應(yīng)力與極限值之比，稱為破壞比：（5）（4）式代入（5）式得（消去偏應(yīng)力極限值）：（6）求a:將公式（1）式求導(dǎo)，切線模量Et為：（7）令εa＝0，則原點的切線模量，即初始切線模量為：（8）將（6）式、（8）式代入（1）、（7）式（消去a、b)，得到（9）（10）（9）式代入（10）式：（11）其中稱為應(yīng)力水平。根據(jù)摩爾－庫侖破壞準(zhǔn)則：（12）（消去軸向應(yīng)變）代入（11）式（13）試驗常數(shù)：Rf、c、φ、Ei（14）LgEi～lgσ3為一直線，截距k，斜率n（15）彈性模量E與試驗常數(shù)：Rf、c、Φ、k、n、（Rf對不同的σ3含有不同的值，取平均值）有關(guān).消去S后μt推導(dǎo)ε1與ε3的關(guān)系為雙曲線：（16）f、d為兩個待定常數(shù)。（17）過原點的初始切線泊桑比為初始切線泊桑比與σ3有如下關(guān)系（18）G、F－試驗常數(shù)。(19)利用（1）式最后可得到：（20）式中代入（17）式Duncan－Chang模型其有8個參數(shù)：c、φ、Rf、k、n、d、F、G,試驗為3組常規(guī)三軸壓縮試驗.Duncan－Chang模型試驗常數(shù)上海粉質(zhì)粘土cφRfkndFG039.00.681250.528.48-0.127-0.16（2）K－G模型用體積模量k與剪切模量G代替E、μ。八面體應(yīng)力的基本公式：應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為：4．彈塑性模型（1）塑性增量理論土的應(yīng)變分為彈性應(yīng)變εeij和塑性應(yīng)變εpij，塑性增量理論包括三個部分①屈服面理論②流動規(guī)則理論③加工硬化規(guī)律理論即①屈服面理論在屈服面范圍內(nèi)，土體只發(fā)生彈性應(yīng)變，超越屈服面則同時發(fā)生彈性和塑性應(yīng)變。彈性變形與塑性變形對于理想彈塑性材料，當(dāng)應(yīng)力的組合，使材料達(dá)到屈服狀態(tài)時，就可以認(rèn)為是破壞了，屈服面與破壞面重合，同是一個固定的面。對于加工硬化材料，屈服應(yīng)力是隨著荷載的提高與變形的增大而提高的。屈服面不同于破壞面，它不是一個固定的面,圖中由A點提高到B點。屈服面的形式：無帽模型、帽子模型。無帽模型帽子模型帶帽子的屈服線②流動規(guī)則流動規(guī)則也稱正交定律，是確定塑性應(yīng)變增量各分量間的相互關(guān)系，也即塑性應(yīng)變增量方向的一條規(guī)定。流動規(guī)則規(guī)定，塑性應(yīng)變增量與該點處的應(yīng)力存在正交關(guān)系：采用p、q以代σij，正交關(guān)系可寫成：dλ－確定塑性應(yīng)變增量大小的函數(shù)。塑性應(yīng)變增量各分量與塑性勢面法線的方向余弦成正比塑性勢線相適應(yīng)的流動規(guī)則：塑性勢線與屈服軌跡重合，即g＝f。不相適應(yīng)的流動規(guī)則：g≠f。如果把應(yīng)力空間與應(yīng)變空間重疊在一起，塑性應(yīng)變增量的方向與塑性勢面法線的方向一致，也就是說與塑性勢面正交。③加工硬化規(guī)律理論加工硬化規(guī)律是決定一個給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量的一條準(zhǔn)則。dλ可假定為g－塑性勢函數(shù)A－硬化參數(shù)H的函數(shù)不同的學(xué)者建議不同的硬化規(guī)律計算A的數(shù)值④彈塑性模量矩陣[D]ep（2）劍橋模型（CambridgeModel）適應(yīng)于正常固結(jié)粘土和弱超固結(jié)粘土屈服軌跡：沿屈服軌跡有：得修正劍橋模型的屈服軌跡（2）劍橋模型（CambridgeModel）屈服方程修正劍橋模型屈服方程：屈服軌跡是橢圓曲線修正劍橋模型的屈服軌跡假定變形消耗的功，即塑性功為而塑性功的一般形式為代入（2）劍橋模型（CambridgeModel）屈服方程中含有變量p0，一個確定的p0值對應(yīng)一條屈服軌跡。P0增加，屈服軌跡由一條曲線擴展到另一條曲線。P0隱含了硬化的意義，與塑性應(yīng)變有關(guān)。P0與塑性應(yīng)變的關(guān)系：（2）劍橋模型（CambridgeModel）e－p關(guān)系A(chǔ)到E孔隙比變化彈性部分塑性部分故得修正劍橋模型最終屈服方程：土體修正劍橋模型參數(shù)層號土層eaMλk（1）粘土0.7860.940.10660.022（2）淤質(zhì)粉質(zhì)粘土0.5621.120.0930.014（3）-1粉質(zhì)粘土0.6751.060.0970.015（3）-3粘土0.4981.170.0760.016（4）-1粉砂0.9241.650.040.01有限元網(wǎng)格（2）劍橋模型（CambridgeModel）聯(lián)合預(yù)壓階段水平位移等值線（2）劍橋模型（CambridgeModel）地基沉降等值線圖（2）劍橋模型（CambridgeModel）5．流變模型基本流變元件有虎克彈簧，牛頓粘壺及圣維南剛塑性體三種。（1）基本流變元件①虎克彈簧反映材料的彈性，與時間無關(guān)。（1）σ－土的有效應(yīng)力ε－應(yīng)變E－虎克彈簧常數(shù)②牛頓粘壺反映材料的粘性，其應(yīng)力與應(yīng)變速率成線性關(guān)系。（2）k－粘滯系數(shù)③圣維南剛塑性體由兩塊相互接觸，在接觸面上具有粘聚力和摩擦力的板組成，反映材料的剛塑性。當(dāng)應(yīng)力σ小于流動極限σ0時，圣維南體沒有變形；當(dāng)σ≥σ0時，達(dá)到屈服狀態(tài)，變形可無限增長。三種基本元件按不同方式加以組合，可得到各種不同的組合模型。由彈簧和粘壺組成的稱為粘彈性模型，包括三種基本元件的稱為粘彈塑性模型。（2）賓哈姆模型（Bingham）由于并聯(lián)，模型總應(yīng)力等于各元件應(yīng)力之和，各元件應(yīng)變相等并等于總應(yīng)變。（3）彈塑性模型由于是串聯(lián)，總應(yīng)力即為各元件應(yīng)力，總應(yīng)變等于各元件應(yīng)變之和。（4）馬克斯威爾模型（Maxwell）流變方程：（1）在不變應(yīng)力σ作用下，初始應(yīng)變ε0＝σ/E，求解（1）得（2）若在t1時刻初應(yīng)力卸除，則t≥t1時刻的應(yīng)變?yōu)椋?）卸荷后蠕變變形完全不能恢復(fù)。若土體獲得初始彈性應(yīng)變ε0后，總應(yīng)變ε保持不變，求解（1）得（4）在總應(yīng)變不變條件下，應(yīng)力隨時間衰減（如應(yīng)力不衰減，總應(yīng)變要增加）。Maxwell模型又稱松弛模型。（5）伏埃脫模型（Voigt）伏埃脫模型又稱開爾文（Kelvin）模型。流變方程：（1）在常應(yīng)力作用下，利用初始條件ε0＝0（與串聯(lián)不一樣），解（1）得（2）若在t1時刻初應(yīng)力σ卸去，則t≥t1時刻應(yīng)變?yōu)椋?）t→∞