第10章

平穩(wěn)隨機信號目錄10.1隨機信號及其特征描述10.2平穩(wěn)隨機信號10.3平穩(wěn)隨機信號通過線性系統10.4平穩(wěn)隨機信號的各態(tài)遍歷性10.5信號處理中的最小平方估計問題10.6估計質量的評價10.7功率譜估計概述確定性信號：信號隨時間變化具有規(guī)律性，可以準確預測，可以用某一明確的數學關系描述。隨機信號：

信號隨時間變化不具有明確的規(guī)律性，不能準確預測，不能用明確的數學關系來描述?，F實中的信號絕大部分是隨機信號。研究方法：

統計的方法，“估計”的方法。隨機信號：人體生理信號（ECG,EEG,PCG,…)；語音信號；噪聲信號；各種經濟指標（作物產量，GDP,股票指數， 價格指數，…）；各種自然現象：（河水流量，平均溫度，單位面積承受到的風載，太陽黑子數，…）等等。連續(xù)隨機變量的概率密度函數（PDF）定義為：p(x)具有如下性質：①②③離散隨機變量的概率分布{pi}，其中pi

=P(X=xi)。對所有i有pi

0且1.隨機信號及其特征描述隨機變量的數字特征：數學期望（均值）方差原點矩很顯然，中心距很顯然1.隨機信號及其特征描述N

個隨機變量組成的向量稱為隨機向量：隨機向量X的均值是由其各個分量的均值所組成的均值向量：隨機向量X的方差是各個分量之間互相求方差所形成的矩陣：其中稱為分量Xi和Xj之間的協方差。1.隨機信號及其特征描述兩個隨機變量X和Y，記其聯合概率密度為p(x,y)，邊緣概率密度分別為p(x)和p(y)，若有：則稱X和Y是相互獨立的。如果隨機變量X和Y的協方差為零，則稱X和Y是不相關的。很顯然，兩個獨立的隨機向量必然不相關：反之則不然，即兩個互不相關的隨機變量不一定是相互獨立的。但是對于正態(tài)分布，獨立和不相關卻是等效的。1.隨機信號及其特征描述設有n臺性能完全相同的接收機。在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄各臺接收機的輸出噪聲波形，測試結果表明，n

條曲線中找不到兩個完全相同的波形。這就是說，接收機輸出的噪聲電壓隨時間的變化是不可預知的，因而它是一個隨機過程。隨機過程：設有無窮多臺性能相同的接收機，在同等條件下測出噪聲信號波形為x1(t),x2(t),…,xN(t),…。如果我們把記錄接收機的輸出噪聲波形看做一個隨機實驗，那么每一次的記錄就是該隨機實驗的一次實現，相應的記錄結果xi(t)稱為樣本函數。上述樣本函數的總體稱為隨機過程X(t)，即隨機信號。xi(t)稱為X(t)的一個實現或樣本。1.隨機信號及其特征描述對于特定的時刻，例如t=t1，顯然x1(t1),x2(t1),…,xN(t1)是一個隨機變量，它相當于在某一個固定的時刻記錄到的無窮多臺接收機的輸出值。當t=tj時，x1(tj),x2(tj),…,xN(tj)也是一個隨機變量，因此，一個隨機信號X(t)是依賴于時間t的隨機變量，我們可以用描述隨機變量的方法來描述隨機信號。當t在時間軸上取值t1,t2,…,tm時，我們可以得到m個隨機變量X(t1),X(t2),…,X(tm)，顯然，描述這m個隨機變量最全面的方法是利用其m維的概率分布函數（或概率密度函數）當m趨于無窮時，上式完善地描述了隨機信號X(t)。1.隨機信號及其特征描述對隨機信號X(t)離散化，得離散隨機信號X(n)。對于X(n)的每一次實現，記為x(n,i)，n代表時間，i代表實現的序號，即樣本數。顯然，X(n)的均值、方差、均方值等一階二階數字特征均是時間n的函數。均值：隨機過程X(n)在任意時刻的數學期望為μX(n)方差：隨機過程X(n)在任意時刻的方差為σX2

(n)均方值：1.隨機信號及其特征描述自相關函數：設n1、n2

為任意兩個時刻，相關函數定義為：隨機信號X(n)的自相關函數描述了信號在n1和n2這兩個時刻的相互關系。自協方差函數1.隨機信號及其特征描述如果n1=n2=n，則有對于兩個以上的隨機過程，可引入互相關函數和互協方差：1.隨機信號及其特征描述對任意的k，如果隨機信號X(n)的概率密度函數滿足則稱X(n)是N階平穩(wěn)的。如果上式對都成立，則稱是X(n)嚴平穩(wěn)，或狹義平穩(wěn)的隨機信號。對于隨機信號X(n)，若其均值為常數，即方差為有限值且為常數，即自相關函數rX(n1,n2)和n1,n2的選取起點無關，僅和n1,n2之差有關，即，則稱是寬平穩(wěn)隨機信號。2.平穩(wěn)隨機信號由寬平穩(wěn)隨機信號的定義，還可以得到均方值：自協方差兩個寬平穩(wěn)隨機信號X(n)和Y(n)的互相關函數和互協方差函數可以表示為：2.平穩(wěn)隨機信號例題：隨機相位正弦序列式中A,f均為常數，Φ

是一個在0~2π

內均勻分布的隨機變量。試求X(n)的均值及自相關函數，并判斷其平穩(wěn)性。解答：由定義可知X(n)的均值及自相關函數分別為2.平穩(wěn)隨機信號例題：隨機振幅正弦序列式中f為常數，X為正態(tài)隨機變量，均值為0，方差為σ2。試求X(n)的均值及自相關函數，并判斷其平穩(wěn)性。解答：由定義可知X(n)的均值及自相關函數分別為2.平穩(wěn)隨機信號對自相關函數和互相關函數做Z變換，有令，得到假定X(n)的功率是有限的，那么其功率譜密度的反變換必然存在，其反變換即為自相關函數，即有：（自功率譜）（互功率譜）2.平穩(wěn)隨機信號功率譜具有如下性質：性質1

是ω

的實函數，因此功率譜失去了相位信息；性質2

對所有的ω

都是非負的；性質3由于rX(m)是偶對稱的，因此仍是ω

的偶函數；性質4

功率譜曲線在（-π,π）內的面積等于信號的均方值。工程實際中所遇到的功率譜可以分為三種：白噪聲譜：功率譜在|ω|≤π

的范圍內始終為一常數，如σ2，自相關函數為：線譜ARMA譜2.平穩(wěn)隨機信號一階馬爾可夫過程隨機信號，若其概率密度函數滿足稱其為馬爾可夫（Markov）過程2.平穩(wěn)隨機信號

上式的含義是：已知過程在現在時刻的狀態(tài)，那么，下一個時刻的狀態(tài)

只和現在的狀態(tài)有關，而和過去的狀態(tài)無關。無關！例如Markov-Ⅰ過程2.平穩(wěn)隨機信號對上述過程，可求出：DCT中遇到過2.平穩(wěn)隨機信號設X(n)為平穩(wěn)隨機信號，它通過一LSI系統H(z)后，輸出為Y(n)，由于所以Y(n)也是平穩(wěn)隨機信號。X(n)和Y(n)之間的關系有：3.平穩(wěn)隨機信號通過線性系統證明：令令3.平穩(wěn)隨機信號通過線性系統證明：3.平穩(wěn)隨機信號通過線性系統例題：一個簡單的兩點差分器可以用來近似計算信號的斜率。設X(n)為一零均值、方差為σ2的白噪聲信號，試求輸出Y(n)的自相關函數和功率譜。解答：因為X(n)為白噪聲序列，所以有

3.平穩(wěn)隨機信號通過線性系統Y(n)的功率譜為rY(m)的DTFT：或者先求出：然后：3.平穩(wěn)隨機信號通過線性系統一個隨機信號X(n)的均值、方差、均方值及自相關函數等，均是建立在集總平均的意義上。例如均值和自相關函數：為了精確地求出μX和rX(m)，需要知道x(n,i)的無窮多個樣本，這在實際工作中顯然是不現實的。各態(tài)遍歷隨機信號：對一平穩(wěn)信號X(n)，如果它的所有樣本函數在某一固定時刻的一階和二階統計特性和單一樣本函數在長時間內的統計特性一致，我們稱X(n)為各態(tài)遍歷隨機信號。這樣，我們就可以仿照確定性的功率信號那樣來定義各態(tài)遍歷隨機信號的一階和二階統計特征。4.平穩(wěn)隨機信號的各態(tài)遍歷性設x(n)是各態(tài)遍歷隨機信號X(n)的一個樣本函數，對X(n)的數字特征可以重新定義如下：上式都是使用單一樣本函數x(n)來求出μX和rX(m)，因此稱為“時間平均”。對于各態(tài)遍歷信號，其一階和二階統計特征的集總平均等于相應的時間平均。4.平穩(wěn)隨機信號的各態(tài)遍歷性對各態(tài)遍歷隨機信號X(n)，既然自相關函數可以用時間平均來定義，那么其功率也可以用時間平均來定義為：上式中X(ejω)是隨機信號X(n)的某一樣本函數x(n)在n=-M~M時的DTFT。考慮到時間平均，M應趨于無窮，因此求極限是必要的。對X(n)的每一個樣本函數x(n,i)，所求出的X(ejω,i)是不相同的，所以X(ejω,i)本身是一個隨機變量，因此上式中的求均值運算也是必要的。4.平穩(wěn)隨機信號的各態(tài)遍歷性各態(tài)歷經（遍歷）的平穩(wěn)隨機信號

實際信號處理時，往往總是假定為各態(tài)歷經的平穩(wěn)信號，以能解決問題為原則。因為集總平均往往不具備實施條件。假定當時，rx(k)衰減得足夠快，使得：此即維納-辛欽定理。則有

4.平穩(wěn)隨機信號的各態(tài)遍歷性寬平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅立葉變換誘發(fā)響應信號為一個確定性過程加上一個平穩(wěn)隨機過程相干平均降噪，SNR提高M倍5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題5.信號處理中的最小平方估計問題6.估計質量的評價對于隨機信號X(n)，我們能得到的往往是其一次實現的有限長數據x(n),

n=0,1,…,N-1,然后根據這N個數據來估計X(n)的均值、方差、自相關函數、功率譜及其他感興趣的參數。設X(n)的某個特征量的真值為，估計值為，通常用下面三個指標來評價估計的質量：偏差定義為估計的偏差。若，則稱是的無偏估計。若在時有則稱是對的漸進無偏估計。06.估計質量的評價方差定義為估計的方差，