第七章應力和應變分析強度理論重要考點1、已知平面應力狀態(tài)，求斜截面上應力、主應力、主平面、

主切應力及主切平面；2、用圖解法求解平面應力狀態(tài)；3、用解析法求出平面應變狀態(tài)的主應力及主應力方向；4、已知點的各應變分量求該點的應力狀態(tài)；5、利用各強度理論對構(gòu)件進行強度校核；6、應變比能的概念考察以及相關計算。

前面我們研究了直桿在基本變形時的強度計算，如：σF1.軸向拉壓：2.圓軸扭轉(zhuǎn)：MeτFστ危險點處于單向應力狀態(tài)或處于純剪應力狀態(tài)，相應強度條件為：[][]ttssmaxmax3.直梁彎曲：一.基本概念一點：微元（有結(jié)構(gòu)，不同于數(shù)學點）應力：六面體各面上皆有應力（正，切）微元或單元體

（Element）

無窮小正六面體dx，dy,dz?0狀態(tài)：分析：一點可以用無窮個微元表示，找出之間應力的關系，稱為應力狀態(tài)分析。分布--均勻?qū)?-相等對面正應力鄰面切應力yxz§

7.1應力狀態(tài)概述

從受力構(gòu)件危險點處截取一單元體，如果各側(cè)面（一般為橫截面）的上的應力均為已知，則單元體各截面上的應力情況代表一點的應力狀態(tài)。abcdAFA二.應力狀態(tài)的研究方法

利用靜力平衡條件來分析單元體各面上的應力，是研究應力狀態(tài)的基本方法。

過一點不同方向面上應力的集合稱之為這一點的應力狀態(tài)。應力

哪一點？在哪一個面上？

那個面在哪個方位？要指明說明：單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力。三.主應力和應力狀態(tài)的分類說明:

1.一點處必定存在這樣的一個單元體,三個相互垂直的面均為主平面,這樣的單元體稱為主單元體；2.三個互相垂直的主應力分別記為1

,2

,3

且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即。（1）單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零。（2）二向應力狀態(tài)：有個二主應力不等于零。（3）三向（空間）應力狀態(tài)：主單元體上的三個應力均不等于零。二向和三向應力狀態(tài)稱為復雜應力狀態(tài)。三向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)特例特例材料力學◆

重要應用實例承受內(nèi)壓薄壁容器任意點的應力狀態(tài)ｐｌxsts（壁厚為t，內(nèi)直徑為d，t<<d，內(nèi)壓為p）ＤｐπD２４)Dp(xsｐｐｐ×Ｄ×lxstsxsts承受內(nèi)壓薄壁容器任意點的應力狀態(tài):xybzacdefbxybneftyx§

7.3二向應力狀態(tài)分析——解析法一、斜截面上的應力二.主應力和方位角主應力大?。褐髌矫娣轿唤牵褐鲬Π创鷶?shù)值排序：σ1σ2

σ3主切應力所在的平面稱為主切平面，主切平面的方位角為：主切應力為：2.切應力極值（主切應力）和方向即最大和最小切應力所在平面與主平面的夾角為45°。這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓

或稱為莫爾圓。§7.4

二向應力狀態(tài)分析——圖解法RC1.應力圓：2.應力圓的畫法ADxyoADxyoDxyAx量取OA

=x，AD

=xy，得D

點。在

-坐標系內(nèi),選定比例尺。ADxy量取OB

=yBD′

=yx得D′

點。D'yxoDxyAxyBADxy連接DD′

兩點的直線與軸相交于C點；以C為圓心,CD

或CD′為半徑作圓。D'yxoDxyAxyBC3.應力圓與單元體的對應關系xyHncD(sx,txy)D′(sy,tyx)E（1）應力符號對應：單元體上正號的正應力，在應力圓上位于縱坐標軸的右方，反之位于左方；使單元體有逆時針旋轉(zhuǎn)趨勢的切應力，在應力圓上位于橫坐標軸的下方，反之位于上方。（2）點面對應：應力圓上任一點E的坐標值對應著微元某一截面上的正應力和切應力。3、幾種對應關系xyHncD(

x

,

xy)ED′(

x

,

xy)（3）夾角關系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。xyHncD(sx,txy)D′(sy,tyx)E§7.5

三向應力狀態(tài)xyzo前面右側(cè)面上面Y、Z

平面的定義類似。X平面：法線與X軸平行的平面。xyzo第一下標第二下標xy表示x平面上，沿y方向的切應力。第一下標表示切應力所在的平面。第二下標表示切應力的方向。t=txzzxt=tzyyzt=tyxxy因而獨立的應力分量是6個根據(jù)切應力互等定理，在數(shù)值上有xyzo已知：受力物體內(nèi)某一點處三個主應力1、2、3

。利用應力圓確定該點的最大正應力和最大切應力。D結(jié)論：三個應力圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應力狀態(tài)下所有截面上的應力。D該點處的最大正應力(指代數(shù)值)應等于最大應力圓上A點的橫坐標1最大切應力則等于最大的應力圓上B點的縱坐標。AB上述兩公式同樣適用于平面應力狀態(tài)或單向應力狀態(tài),只需將具體問題的主應力求出,并按代數(shù)值123的順序排列?！?.7

平面應變狀態(tài)分析若構(gòu)件各點的位移和應變都發(fā)生于同一平面內(nèi)，則稱為平面應力狀態(tài)。復習§7.6

PoxyABdxdy1、任意斜截面上的應變以上兩式相似。2、主應變和主方向3、切應變的極值，稱為主切應變主切應變所在的面稱為主切平面，主切平面的方位角為3、平面應變狀態(tài)分析-圖解法（應變圓）以線應變作為橫坐標,而將(-/2)

作為縱坐標,便可繪出表示平面應力狀態(tài)下一點處不同方向的應變變化規(guī)律的應變圓?！?.8廣義胡克定律各向同性材料的廣義胡克定律若微元體的三個主應力已知時，其應力應變關系可寫成：式中分別為沿主應力方向的線應變。由于主應力單元體在三個坐標平面內(nèi)的切應變等于零，故主應力方向的線應變稱為主應變?！?/p>

7.9復雜應力狀態(tài)的應變能密度一、應變能密度的定義：二、應變能密度的計算公式:1、單向應力狀態(tài)下，物體內(nèi)所積蓄的應變能密度為單位體積物體內(nèi)所積蓄的應變能稱為應變能密度（比能）。2、三個主應力同時存在時,單元體的應變能密度應為將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用Vv表示單元體體積改變相應的那部分比能，稱為體積改變能密度。用Vd表示單元體形狀改變相應的那部分比能,稱為畸變能密度。應變能密度等于兩部分之和。空間應力狀態(tài)下單元體的畸變能密度為應變能密度等于兩部分之和。（1）脆性斷裂:無明顯的變形下突然斷裂。材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）1、屈服失效:材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。2、斷裂（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂?！?.10

強度理論包括：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論。第二類強度理論

—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標志。包括：最大切應力理論和畸變能密度理論。第一類強度理論

—以脆斷作為破壞的標志。（一）最大拉應力理論（第一強度理論）強度條件：1[]（二）最大伸長線應變理論（第二強度理論）強度條件:（三）最大切應力理論(第三強度理論)強度條件:（四）畸變能密度理論（第四強度理論）強度條件：試求（1）斜面上的應力；

（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知解：（1）斜面上的應力（2）主應力、主平面主平面的方位：代入表達式可知主應力方向：主應力方向：（3）主應力單元體：主應力方向：主應力方向：例2：求圖示單元體的主應力及主平面的位置(單位：MPa)。解：(1)主應力坐標系如圖(3)AB的垂直平分線與sa

軸的交點C即是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓(2)在坐標系內(nèi)畫出點taBAs2s1sa(MPa)(MPa)O20MPaCs3(4)按圖計算心標

和半徑

OC=(A橫坐標

+B橫坐標)/2=70(5)計算主應力及方位角s3s1s2BACsata(MPa)(MPa)O20MPaEDF(5)計算主應力及方位角(6)在圖上畫主單元體、主應力4532532595150°

102AB例3

：簡支梁由18號工字鋼制成。其上作用有力P=15KN，已知E=200GPa,=0.3。求：A點沿00，450，900方向的線應變0.50.50.25PA00450900解：zA0.50.50.25PA00450900zA(-)yA,Iz,d查表得出中性軸的靜矩為圖示面積對0.50.50.25PA00450900A0.50.50.25PA004509000.50.50.25PA00450900A例4：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測出線應變?，F(xiàn)測得軸向應變