.⑺可知是環(huán)。2.4剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)我們已得出是環(huán)而且是交換環(huán)。定義[2]為交換環(huán),交換環(huán)正是為非負(fù)數(shù),,稱為上的多項(xiàng)式環(huán)。所以可知,模為的剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的形式為：為非負(fù)數(shù),,.3剩余類環(huán)上的因式分解及可約性3.1模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的的因式分解和可約性設(shè),有,所以我們有以下面定義.定義[4]設(shè),我們稱與為多項(xiàng)式的平凡因式.定義[4]設(shè),如果在中有非平凡因式,則稱在中可約,否則稱在中不可約.定理[7]在中都可以分解為不可約多項(xiàng)式的乘積.證若在中不可約,則結(jié)論成立。若在中可約,則此時跡有.若都不可約,則結(jié)論成立.若都不可約,則繼續(xù)分解。因?yàn)榉纸夂蟮囊蚴降拇螖?shù)降低,而一次多項(xiàng)式不可約,所以分解必會終止。即不可約.故結(jié)論成立.上節(jié)我們已給出模為的剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的形式為非負(fù)數(shù),,,模為。接下來我們討論它的因式分解及可約性。1.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r,=0,=1為常數(shù)多項(xiàng)式。它為不可約多項(xiàng)式[10]。2.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r：=,=最高次方為一時,該多項(xiàng)式不可約。3.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r,共有個多項(xiàng)式：〔1=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為不可約多項(xiàng)式。4.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r,共有個多項(xiàng)式：〔1=為可約多項(xiàng)式。〔2=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為不可約多項(xiàng)式。〔5=為可約多項(xiàng)式。〔6=為不可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式。〔8=為可約多項(xiàng)式。5.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r,總有個多項(xiàng)式：〔1=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為不可約多項(xiàng)式。〔5=為可約多項(xiàng)式。〔6=為不可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?=為可約多項(xiàng)式?！?0=為不可約多項(xiàng)式?！?1=為可約多項(xiàng)式?！?2=為可約多項(xiàng)式?！?3=為可約多項(xiàng)式。〔14=為可約多項(xiàng)式?！?5=為可約多項(xiàng)式?！?6=為不可約多項(xiàng)式。6.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r,總有個多項(xiàng)式：〔1為可約多項(xiàng)式?！?為可約多項(xiàng)式?！?為可約多項(xiàng)式?！?為不可約多項(xiàng)式?！?為可約多項(xiàng)式?！?為不可約多項(xiàng)式?！?為可約多項(xiàng)式?！?為可約多項(xiàng)式。〔9為可約多項(xiàng)式。〔10為不可約多項(xiàng)式?！?1為可約多項(xiàng)式?！?2為可約多項(xiàng)式。〔13為可約多項(xiàng)式?！?4為可約多項(xiàng)式?！?5為可約多項(xiàng)式。〔16為不可約多項(xiàng)式?！?7為可約多項(xiàng)式?！?8為不可約多項(xiàng)式?！?9為可約多項(xiàng)式?！?0為可約多項(xiàng)式。〔21為可約多項(xiàng)式?！?2為可約多項(xiàng)式?！?3為可約多項(xiàng)式?！?4為不可約多項(xiàng)式?！?5為可約多項(xiàng)式?！?6為可約多項(xiàng)式?！?7為可約多項(xiàng)式?！?8為不可約多項(xiàng)式?！?9為可約多項(xiàng)式?！?0不可約多項(xiàng)式?！?1為可約多項(xiàng)式?！?2為可約多項(xiàng)式。4結(jié)論我們已給出了剩余類環(huán)和模為2的剩余類環(huán)的證明,模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的的因式分解和可約性,顯然,我們可發(fā)現(xiàn),模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)因式分解后,它的可約不可約性有以下的幾個規(guī)律：〔1多項(xiàng)式的最高次數(shù)低于二次〔不包含二次的多項(xiàng)式一律不可約。多項(xiàng)式的最高次數(shù)高于二次方〔包含二次時,當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)的個數(shù)為奇數(shù)且含有常數(shù)項(xiàng)時,該多項(xiàng)式不可約。多項(xiàng)式的最高次數(shù)高于二次方〔包含二次時,在多項(xiàng)式的最高次方為奇數(shù)的,包含常數(shù)項(xiàng)的情況下,多項(xiàng)式缺項(xiàng)〔項(xiàng)的系數(shù)為零時,該多項(xiàng)式不可約,反而不缺項(xiàng)時,該多項(xiàng)式都可約。多項(xiàng)式的最高次方為時,多項(xiàng)式的最多項(xiàng)數(shù)為。我們有了以上的規(guī)律后,以后碰到模為的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)中的高次多項(xiàng)式的時候都可以判斷各種多項(xiàng)式的可約不可約性。附錄定義[10]環(huán)的一個非空自己叫做一個理想子環(huán),簡稱理想,假若參考文獻(xiàn)：[1]近世代數(shù)研傳:科學(xué)出版社20XX9月第一版,前言<ii>.[2]近世代數(shù)初步〔第二版石生明：高等教育出版社,20XX7月第一版,第4頁.[3]近世代數(shù)基礎(chǔ)〔修訂本張禾瑞:高等教育出版社,20XX5月第49出版,第82頁.[4]高等代數(shù)高孝忠:清華大學(xué)出版社,20XX4月第一版,第30頁.[5]近世代數(shù)基礎(chǔ)〔修訂本張禾瑞:高等教育出版社,20XX5月第49出版,第102頁.[6]近世代數(shù)趙淼清：XX大學(xué)出版社20XX8月第一版,第131頁.[7]高等代數(shù)張志讓,劉啟寬：高等教育出版社20XX1月第一版,第129頁.[8]抽象代數(shù)I陳良云：科學(xué)出版社,20XX1月第一版,第49頁.[9]近世代數(shù)初步石生明：高等教育出版社,20XX3月第一版,第93頁.[10]高等代數(shù)熊全淹主審：高等教育出版社,20XX7月第14版,第21頁.致謝大學(xué)生活一晃而過,回首走過的歲月,心中倍感充實(shí)。當(dāng)我寫完這篇畢業(yè)論文的時候,有一種如釋重負(fù)的感覺,感慨良多。首先我非常感謝我的論文導(dǎo)師曾吉文老師。導(dǎo)師潤博專業(yè)知識,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度,精益求精的工作作風(fēng),寬以待人的崇高風(fēng)范,樸實(shí)無華,平易近人的人格魅力對我影響深遠(yuǎn)。不僅使我樹立了遠(yuǎn)大的學(xué)術(shù)目標(biāo),掌握了基本研究方法,還使我明白了許多待人接物與為