學科前沿專題第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日金融數(shù)學一、金融數(shù)學學科介紹金融數(shù)學是指運用數(shù)學理論和方法,研究金融運行規(guī)律的一門新型交叉學科。核心問題是證券組合理論與資產(chǎn)定價理論。在現(xiàn)代金融數(shù)學理論中現(xiàn)代證券組合理論,資本資產(chǎn)定價模型、套利定價、期權(quán)定價理論和資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論占據(jù)重要地位。第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日二、數(shù)學理論與方法主要有隨機分析,隨機控制,數(shù)學規(guī)劃,微分對策,非線性分析,泛函分析,鞅理論等。也有人在證券價格分析中引進了新型的非線性分析工具,如分形幾何,混沌學,子波理論,模式識別等。在金融計算方法與仿真技術(shù)中也逐漸引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,人工智能方法,模擬退火法和遺傳算法等。三、金融數(shù)學的幾個重要理論1、馬爾柯維茨現(xiàn)代證券組合理論把投資組合中的股票價格作為隨機變量,以均值衡量收益,用方差表示風險。也就是研究當收益一定，使組合風險最小的組合投資問題。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日在數(shù)學上可以歸結(jié)為求如下的二次規(guī)劃的最優(yōu)解的問題：V為所持組合收益的協(xié)差陣，r為投資者要求的最低收益率。為買空賣空的限制。第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日馬爾柯維茨證明了多個證券的投資組合比投資單個證券可以降低風險，這一直成為風險投資的指導原則。2、資本資產(chǎn)定價模型（CAMP模型）由于馬爾柯維茨模型涉及到股票之間協(xié)差陣的計算，運算量太大，在馬爾柯維茨理論的基礎(chǔ)上,在一系列假設(shè)條件下建立了資本資產(chǎn)定價模型

CAMP模型的理論表明證券的預期收益可以用資產(chǎn)風險系數(shù)β來度量。一方面為潛在的投資提供了一種估計其收益率的方法，另一方面也可為不在市場上交易的資產(chǎn)同樣作出合理的估價。第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日3、期權(quán)定價理論（Black-Scholes模型）

期權(quán)是一紙合約，規(guī)定了合約的購買者在規(guī)定的時間以規(guī)定的價格購買或出售某項金融資產(chǎn)的權(quán)利。

相應(yīng)的可將之劃分為看漲期權(quán)（買權(quán)）與看跌期權(quán)（賣權(quán)），投資者如果認為這項金融資產(chǎn)會漲價，那么他可以購買對應(yīng)這項金融資產(chǎn)的看漲期權(quán)，反之可以購買看跌期權(quán)。

按照期權(quán)合約執(zhí)行方式的不同又可以分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)。歐式期權(quán)規(guī)定合約的持有人只能在到期日行權(quán)，而美式期權(quán)則可以在購買后的任意時刻行權(quán)。

對期權(quán)合約的定價一直是金融數(shù)學中的一項重要的課題，因為期權(quán)這種功能強大的金融衍生產(chǎn)品在國外金融市場上所占的比重越來越大。第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日

Black與Scholes假設(shè)股票的價格服從對數(shù)正態(tài)分布,無套利機會,沒有交易費用等一系列理想假設(shè)下推導出了股票不付紅利歐式期權(quán)在任意時刻t的價格C(t)所滿足的微分方程：邊界條件為：通過求解上面的帶邊值問題的微分方程得出了著名的B-S公式第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日由于公式中的若干參數(shù)，關(guān)鍵是無風險利率r都與投資者偏好無關(guān)，故也將B-S定價方法稱之為風險中性定價方法，在金融資產(chǎn)的定價中起著非常重要的作用。四、金融數(shù)學中的未解問題與探索1、美式期權(quán)問題

B—S公式解決的是歐式期權(quán)定價問題,而市場上交易的期權(quán)大部分是美式期權(quán)，由于美式期權(quán)對投資者的執(zhí)行時機不加限制所以也造成了它的定價的巨大困難。一般情況下,美式期權(quán)沒有精確的解析定價公式,只能用數(shù)值算法和解析近似解,如蒙特卡羅模擬法、數(shù)圖法（二叉樹）、有限差方法等，對計算機能力要求較高。2、標的資產(chǎn)價格波動率問題一般常假設(shè)股票價格的波動服從某一隨機過程,象幾何布朗運動。但是金融市場多數(shù)情況下并不滿足穩(wěn)定的假設(shè),時常出現(xiàn)異常的波動,第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日在B—S模型中,假設(shè)股票價格的波動率為常數(shù),也不符合實際情況。實務(wù)中常用的方法比如隨機最優(yōu)控制，隨機微分方程，自回歸條件異方差等方法。3、標的資產(chǎn)價格收益率的準確分布問題

B-S模型中假定標的資產(chǎn)價格收益率服從正態(tài)分布，也即價格服從對數(shù)正態(tài)分布，但是經(jīng)過大量的實務(wù)研究發(fā)現(xiàn)，價格收益率并不是嚴格的正態(tài)分布，而是比正態(tài)分布具有更尖的峰與更厚的尾部，也成為尖峰厚尾性。而選擇怎樣的分布來描述金融資產(chǎn)收益率這樣的特性卻并沒有特定的標準，所謂的仁者見仁。4、突發(fā)事件問題突發(fā)事件是小概率事件。一般的隨機分析不能解釋重大的金融震蕩，如股市崩盤，次貸危機等金融危機。雖然說從統(tǒng)計上來說是小概率事件，但是一旦發(fā)生將是災難性的。所以這也是金融數(shù)學研究的一個重要領(lǐng)域。返回第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日統(tǒng)計金融一、介紹

顧名思義，所謂的統(tǒng)計金融也即用統(tǒng)計方法來研究金融問題的一門新興學科。二、主要用的統(tǒng)計方法總體說來，不外乎參數(shù)統(tǒng)計方法與非參數(shù)統(tǒng)計方法兩大類。1、參數(shù)統(tǒng)計方法參數(shù)統(tǒng)計方法也即基于具體的隨機變量（金融中主要是隨機過程）的分布而進行的統(tǒng)計，至多分布中含有未知的參數(shù)，但都可以通過抽取的樣本進行估計。

如基于正態(tài)分布的回歸分析，方差分析或一些特定的時間序列分析等。但必須對總體的分布有所把握。第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日也就是說參數(shù)統(tǒng)計方法有弱點，如要解決以股票價格作為標的的期權(quán)價格，則必須知道股票收益率的分布，但是現(xiàn)實中的股票的收益率的分布并不是已知的，所以必須進行假設(shè)，而這就對解決問題帶來了人為假定的隱患。正是基于參數(shù)統(tǒng)計分析方法的這一先天缺陷，所以實務(wù)中很多問題所用的是非參數(shù)統(tǒng)計的方法。如解決股票價格的波動率的問題，實務(wù)中并不是假定波動率為常數(shù)，而是通過某一段時期的樣本數(shù)據(jù)得出樣本波動率并在穩(wěn)定的條件下以此來對波動率進行估計，而這樣的估計是與分布無關(guān)的，這也正是一種最簡單的非參數(shù)的統(tǒng)計方法。2、非參數(shù)統(tǒng)計方法簡單來說，非參數(shù)統(tǒng)計方法是一種不依賴于分布而最大限度地挖掘樣本數(shù)據(jù)中所包含的信息來進行統(tǒng)計診斷的一種重要的統(tǒng)計方法。第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日這里我們不全面探討非參數(shù)統(tǒng)計方法的方方面面，而是選擇幾種在金融分析中常用的統(tǒng)計診斷方法來進行簡單闡述，它們就是多元統(tǒng)計分析中的判別分析、聚類分析、主成分分析等，這里我們介紹一下判別分析，其它的可參見相關(guān)統(tǒng)計參考書。(1)判別分析-距離判別馬氏距離：判別分析第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日應(yīng)用原理判別準則為：應(yīng)用舉例我們知道一般來說，投資者會把某一段時期的股市成為牛市，而把另一段時期的股票市場成為熊市。問題是怎樣根據(jù)某一段時期的股市走勢來較準確地判斷牛熊市卻并不是一個容易把握的問題。第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日我們可以按照這樣的步驟來考慮這個問題。首先可以選取幾個可以反映股市形勢的重要指標，然后自我們公認的牛市及熊市的總體中選取兩組不同的樣本，用這些樣本分別估計牛熊市的樣本均值向量與樣本協(xié)差陣；最后對于給定的一組新的樣本，計算并比較此樣本與牛熊市兩總體的距離，進而從統(tǒng)計上判別分析的角度來判斷牛熊市，從而為投資者進入或退出股票市場提供一定的理論支持。(2)判別分析-Bayesian判別

Bayesian判別的基礎(chǔ)核心部分是在距離判別的基礎(chǔ)上增加了先驗信息這一項，也就是說在判別之前人們已經(jīng)根據(jù)經(jīng)驗有了“先驗”的認識，如主觀上可能認為現(xiàn)在是牛市的概率比熊市的概率要大些，那這個先驗的概率考慮進去后可能對由數(shù)據(jù)得出的距離判別產(chǎn)生主觀上的影響。正是因為Bayesian判別的主觀性以及它仍然是以距離判別為基礎(chǔ)的，所以這里略。第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日(3)判別分析-Fisher判別返回第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日精算理論一、什么是精算精算是一門基于概率統(tǒng)計、金融、保險理論的一門新興學科。主要任務(wù)是進行風險分析、產(chǎn)品（金融、保險產(chǎn)品）設(shè)計與定價、資產(chǎn)和債務(wù)管理等。進行精算工作的人員稱為精算師，精算師職業(yè)是一種專業(yè)性非常強的職業(yè)，需要從業(yè)者具有扎實的數(shù)學、概率統(tǒng)計學、金融學及精算學的理論基礎(chǔ)并通過相關(guān)專業(yè)協(xié)會組織的統(tǒng)一的職業(yè)資格認定考試。隨著國內(nèi)特別是上海的精算業(yè)的發(fā)展，精算師正成為真正的金牌職業(yè)。在保險公司甚至是銀行、證券公司等金融行業(yè)中，精算工作已成為公司必不可少的甚至是關(guān)乎公司發(fā)展規(guī)劃大計的重要工作，而在保險公司中取得相關(guān)專業(yè)協(xié)會認定的精算師人數(shù)的多少已直接成為衡量保險公司實力的最重要的指標。第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日二、精算學科的主要理論構(gòu)成主要包括利息理論（復利數(shù)學）、壽險精算數(shù)學、壽險精算實務(wù)、非壽險精算實務(wù)、生命表理論等主要部分。其中利息理論是精算數(shù)學的理論基礎(chǔ)，所有的其它理論部分都是建立在嚴格的復利數(shù)學的基礎(chǔ)之上的；壽險精算與生命表理論是基于投保人的剩余壽命這一隨機變量而進行的保單定價或準備金計算、風險評估等工作；而非壽險精算是對事物而不是對人的保險精算，如財產(chǎn)險，房產(chǎn)險，車險，火災險，氣象災害險等等。由于內(nèi)容太多而大家也沒有系統(tǒng)學習過，所以我們特意挑選了利息理論中的確定型年金這一重要理論簡單討論。至于與投保人的剩余壽命相聯(lián)系的不確定型年金的討論，是壽險精算中一個非常重要的課題，有興趣的可參見相關(guān)教材三、確定型年金(Annuity-Certain)1、什么是確定型年金第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日所謂確定型年金就是指確定數(shù)額的資金在確定的有規(guī)律的時間點（多為以年或月等）支付給投資人，這樣的合約就是確定型年金。2、確定型年金的分類(1)等額確定型年金即每年初（或年末）支付相同數(shù)額的一系列的資金的支付。不失此種年金的現(xiàn)值為：此理論直接導致了分期付款支付方式的產(chǎn)生，如：購買一輛價值100000元的汽車，購車人可選擇分期付款，五年付清，若年利率i=0.06，則我們可求得每期付款額第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日顯然，若在這個利率下5年等額分期付款額超過R，則可以放棄此種還款方式。當然，如果分期付款額每期低于R，則馬上選擇這種支付方式。當然，商家不會傻成這樣。反過來，如果讓我們?nèi)ベu汽車的話，讓購車人選擇分期付款，那么讓他每期支付的金額不要低于R.現(xiàn)在購買汽車一般來說可以選擇首付款占總款的某個比例，如果首付50%的話，那么五年分期的付款額就要發(fā)生變化了。可以求得：第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日下面我們從這兩種方式利息的支付數(shù)額的角度來分析這兩種支付方式的所謂優(yōu)劣。對于這個問題的無首付款的購車者來說，5年之內(nèi)共支付的利息數(shù)額為而對于首付款五成的購車者來說，5年內(nèi)共需支付的利息數(shù)額為顯然，支付的首付款的比例越大，則需支付的利息金額就越少，極限的情況如一次付清的情形則并不需要支付利息，但是如果要省利息當然要考研消費者的一次消費能力。第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日另外，如果還款間隔不是以年為單位，現(xiàn)在大多是按月還款，此時只要考慮月利率就可以了。事實上，按年金的方式來進行還款已經(jīng)是大大的降低了利息的支付金額了，為說明這一個問題我們可以參考下面的一個例子。例：在上面的購車的例子中，分別計算按照下面三種還款方式所總共支付的利息金額。(1)本金與利息在5年后一次性支付；(2)每年末僅支付利息，本金在5年后支付；(3)按年金方式每年初支付一部分金額。解

第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日(2)變額確定型年金

遞增型年金則此年金的現(xiàn)值為

此種年金的還款方式對應(yīng)著投資者在每年的還款額隨著時間的推移而逐漸增多。也就是說如果投資者覺得自己的還款能力會隨著時間的后移而有大幅度的提高的話，那么他可以選擇這種還款方式。當然，這是一種按照還款額等差遞增的方式進行的還款方式，也可以選擇按照等比的原則，如下一期比上一期