§6.3基本不等式

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§6.3

基本不等式

雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理a＝bx＝y(tǒng)思考感悟應用均值不等式求最值有哪些條件？提示：應用基本不等式需注意以下三點：①各項或各因式為正；②和或積為定值；③各項或各因式能取得相等的值．必要時作適當變形，以滿足上述前提，即“一正，二定，三相等”．

課前熱身答案：C答案：A答案：A4．若x>0，y>0且x＋8y＝1，則xy的最大值為________．5．建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為________元．答案：1760考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值時需要特別注意函數(shù)的定義域，保證等號成立的條件存在；若等號成立的條件不滿足，則可借助函數(shù)的單調(diào)性求解．例1【思路路點點撥撥】(1)、(2)、(3)小題題直直接接利利用用基基本本不不等等式式或或創(chuàng)創(chuàng)設設條條件件利利用用基基本本不不等等式式求求解解．．【規(guī)律律小小結(jié)結(jié)】(1)在應應用用基基本本不不等等式式求求最最值值時時，，要要把把握握三三個個方方面面，，即即“一正正———各項項都都是是正正數(shù)數(shù)；；二二定定——和或積為定值值；三相等——等號能取得”，這三個方面面缺一不可．．(2)對于求分式型型的函數(shù)最值值題，常采用用拆項使分式式的分子為常常數(shù)，有些分分式函數(shù)可以以拆項分成一一個整式和一一個分式(該分式的分子子為常數(shù))的形式，這種種方法叫分離離常數(shù)法．(3)為了創(chuàng)造條件件使用基本不不等式，就需需要對式子進進行恒等變形形，運用基本本不等式求最最值的焦點在在于湊配“和”與“積”，并且在湊配配過程中就應應考慮到等號號成立的條件件，另外，可可利用二次函函數(shù)的配方法法求最值．考點二利用基本不等式證明不等式利用基本不等等式證明不等等式是綜合法法證明不等式式的一種情況況，是指從已已證不等式和和問題的已知知條件出發(fā)，，借助不等式式的性質(zhì)和有有關定理，經(jīng)經(jīng)過逐步的邏邏輯推理，最最后轉(zhuǎn)化為所所求問題，其其特征是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．例2考點三基本不等式的實際應用在實際應用問問題中，有很很多是不等關關系問題，在在研究實際問問題中的不等等量關系，探探求最優(yōu)解，，研究變化狀狀態(tài)與趨向中中，不等式的的基本知識與與基本方法有有著廣泛應用用．實際問題題中求函數(shù)的的最值，限于于變量的實際際意義(取值范圍)，除應用基本本不等式外，，有時會出現(xiàn)現(xiàn)基本不等式式取不到“＝”號，此時要考考慮函數(shù)的單單調(diào)性．例3圍建一個面積積為360m2的矩形場地，，要求矩形場場地的一面利利用舊墻(利用的舊墻需需維修)，其他三面圍圍墻要新建，，在舊墻對面面的新墻上要要留一個寬度度為2m的進出口，如如圖所示．已已知舊墻的維維修費用為45元/m，新墻的造價價為180元/m.設利用的舊墻墻長度為x(單位：m)，修建此矩形形場地圍墻的的總費用為y(單位：元)．(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩矩形場地圍墻墻的總費用最最小，并求出出最小總費用用．【解】(1)如圖，設矩形形的另一邊長長為am，【名師點點評】解實際際應用用題要要注意意以下下幾點點：①設變量量時一一般要要把求求最大大值或或最小小值的的變量量定義義為函函數(shù)；；②根據(jù)實實際問問題抽抽象出出函數(shù)數(shù)的解解析式式后，，只需需利用用基本本不等等式求求得函函數(shù)的的最值值；③在求函函數(shù)的的最值值時，，一定定要在在定義義域(使實際際問題題有意意義的的自變變量的的取值值范圍圍)內(nèi)求解解．方法感悟方法技技巧1．恒等等變形形：為為了利利用基基本不不等式式，有有時對對給定定的代代數(shù)式式要進進行適適當變變形．．(如例1(1))2．基本本不等等式具具有將將“和式”轉(zhuǎn)化為為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為為“和式”的放縮縮功能能，常常常用用于比比較數(shù)數(shù)(式)的大小小或證證明不不等式式，解解決問問題的的關鍵鍵是分分析不不等式式兩邊邊的結(jié)結(jié)構特特點，，選擇擇好利利用基基本不不等式式的切切入點點．(如例2)3．合理理拆項項或配配湊因因式是是常用用的技技巧，，而拆拆與湊湊的目目標在在于使使等號號成立立，且且每項項為正正值，，必要要時出出現(xiàn)積積為定定值或或和為為定值值．(如例1(3))失誤防防范1．當多多次使使用基基本不不等式式時，，一定定要注注意每每次是是否能能保證證等號號成立立，并并且要要注意意取等等號的的條件件的一一致性性，否否則就就會出出錯，，因此此在利利用基基本不不等式式處理理問題題時，，列出出等號號成立立的條條件不不僅是是解題題的必必要步步驟，，而且且也是是檢驗驗轉(zhuǎn)換換是否否有誤誤的一一種方方法．．2．使用用基本本不等等式求求最值值，其其失誤誤的真真正原原因是是忽視視了“一正、、二定定、三三相等等”這一前前提條條件．．要利利用基基本不不等式式求最最值，，這三三個條條件缺缺一不不可．．考情分析考向瞭望?把脈高考基本不不等式式是每每年高高考必必考的的知識識點之之一，，考查查重點點是利利用基基本不不等式式求最最值，，利用用基本本不等等式解解決實實際問問題．．題型既既有選選擇題題、填填空題題，又又有解解答題題，難難度為為中、、低檔檔題．．客觀觀題突突出“小而而巧巧”，主主要要考考查查基基本本不不等等式式取取等等號號的的條條件件及及運運算算能能力力；；主主觀觀題題考考查查較較為為全全面面，，在在考考查查基基本本運運算算能能力力的的同同時時，，又又注注重重考考查查學學生生的的邏邏輯輯推推理理能能力力及及等等價價轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化、、分分類類討討論論等等思思想想方方法法．．預測測2012年高高考考仍仍將將以以利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值為為主主要要考考點點，，重重點點考考查查學學生生運運算算能能力力和和邏邏輯輯推推理理能能力力．．真題透析例【答案案】D名師預測3．某某公公司司一一年年購購買買某某種種貨貨物物200噸，，分分成成若若干干次次均均勻勻購購買買，，每每次次購購買買的的運運費費為為2萬元元，，一一年年存存儲儲費費用用恰恰好好為為每每次次的的購購買買噸噸數(shù)數(shù)(單位位：：萬萬元元)，要要使使一一年年的的總總運運費費與與總總存存