《古典概型》教學設計【教學目標】1.結合具體實例，理解古典概型．(重點)2．能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．【教學重點】理解古典概型并能計算古典概型中簡單隨機事件的概率【教學難點】能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．【課時安排】1課時【教學過程】認知初探1．古典概型的定義試驗具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．2．古典概型的概率計算公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．思考1：“在區(qū)間[0,5]上任取一個數(shù)，這個數(shù)恰為2的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎？[提示]不屬于古典概型．因為在區(qū)間[0,5]上任取一個數(shù)，其試驗結果有無限個，故其基本事件有無限個，所以不是古典概型．思考2：若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數(shù)為有限個，則該試驗是古典概型嗎？[提示]不一定是古典概型．還必須滿足每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等才是古典概型．小試牛刀1.下列試驗是古典概型的是()A.口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，基本事件為{取中白球}和{取中黑球}B.在區(qū)間[-1，5]上任取一個實數(shù)x，使-3x+2>0C.拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D.某人射擊中靶或不中靶【解析】選C.根據古典概型的兩個特征進行判斷.A中兩個基本事件不是等可能的，B中基本事件的個數(shù)是無限的，D中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的兩個特征.2.同時投擲兩顆大小完全相同的骰子，用(x，y)表示結果，記A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點數(shù)是()A．3B．4C．5D．6D解析：事件A包含的樣本點有6個：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，故選D.3.若書架上放有數(shù)學，物理、化學書分別是5本、3本、2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為()\f(1,5)\f(3,10)\f(3,5)\f(1,2)B解析：樣本點總數(shù)為10，“抽出一本是物理書”包含3個樣本點，所以其概率為eq\f(3,10)，故選B.4.從3男3女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2名都是女同學的概率等于．eq\f(1,5)[用A，B，C表示3名男同學，用a，b，c表示3名女同學，則從6名同學中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同學”包含樣本點的個數(shù)為3，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]例題講解古典概型的判斷【例1】下列是古典概型的是()A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點時B．求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點時C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止C[A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的樣本點是無限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．]方法總結判斷一個試驗是古典概型的依據判斷隨機試驗是否為古典概型，關鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．當堂練習1下列試驗是古典概型的為________(填序號).

①從6名同學中隨機選出4人參加數(shù)學競賽，某人被選中的可能性大??；②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6；③近三天中有一天降雨；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰.①②④【解析】①②④是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點.③不是古典概型，因為不符合等可能性，降雨受多方面因素影響.簡單的古典概型問題例2小李在做一份調查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．【思路點撥】先寫出試驗的樣本空間并計算樣本點總數(shù)，然后分別計算所求概率的事件所包含的樣本點數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.解(1)將3道選擇題依次編號為1,2,3；2道填空題依次編號為4,5.從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20個樣本點，這20個樣本點發(fā)生的可能性是相等的．設事件A為“所選的題不是同一種題型”，則事件A包含的樣本點有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12個，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝.(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25個樣本點，這25個樣本點發(fā)生的可能性是相等的．設事件B為“所選的題不是同一種題型”，則事件B包含的樣本點有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12個，所以P(B)＝eq\f(12,25)＝.方法總結1.求解古典概型“四步法”2.求基本事件總數(shù)的常用方法(1)列舉法:適合于較簡單的問題.(2)列表法:適合求較復雜問題中的基本事件數(shù).(3)樹形圖法:適合較復雜問題中基本事件的探求.當堂練習2甲、乙、丙三個盒中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干,甲盒中裝有2張卡片,分別寫有字母A和B;乙盒中裝有3張卡片,分別寫有字母C、D和E;丙盒中裝有2張卡片,分別寫有字母H和I.現(xiàn)要從3個盒中各隨機取出一張卡片.求:(1)取出的3張卡片中恰好有1張,2張,3張寫有元音字母的概率分別是多少?(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率是多少?解:根據題意,可畫出如下樹形圖:由樹形圖可以得到,所有可能出現(xiàn)的基本事件有12個,它們出現(xiàn)的可能性相等.(1)只有一個元音字母的結果有5個,所以P(一個元音)=;有兩個元音字母的結果有4個,所以P(兩個元音)=;全部為元音字母的結果有1個,所以P(三個元音)=(2)全是輔音字母的結果有2個,所以P(三個輔音)=較復雜的古典概型問題【例3】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設轉盤質地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由[解]用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點個數(shù)共5個，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.則事件B包含的樣本點共6個，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的樣本點個數(shù)共5個，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．當堂練習3⑴在例3中求小亮獲得玩具或水杯的概率．⑵將例3中獎勵規(guī)則改為：①若3≤x＋y≤5，則獎勵玩具一個；②其余情況沒有獎，求小亮獲得玩具的概率．[解]⑴用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點總數(shù)n＝16.記“小亮獲得玩具或水杯”為事件E，則事件E包含的樣本點個數(shù)共11個，即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(E)＝eq\f(11,16).⑵用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點總數(shù)n＝16.記“3≤x＋y≤5”為事件D，則事件D包含的樣本點個數(shù)共9個，即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，