平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a

的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0運(yùn)算律：設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λbθ=180°θ=90°已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。θ=0°特殊情況OBAθ向量的夾角2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量的數(shù)量積我們學(xué)過(guò)功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計(jì)算

W=|F||S|cosθ

其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。

設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則

（1）e·a=a·e=|a|cosθ（5）|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|（4）cosθ=（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=－|a||b|特別地，a·a=|a|2或|a|=√a·a。（2）a⊥ba·b=0重要性質(zhì):OABθ

abB1a·b=|a||b|cosθ解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1已知△ABC的頂點(diǎn)A（1，1），B（4，1），C（4，5）。計(jì)