(25

分鐘 45

分)一、選擇題(每小題

5

分,共

35

分)1.已知數(shù)列{a

}的前

n

項(xiàng)和為

S

,則

a

=1,S

=na

,試歸納猜想出

S

的表達(dá)式為 ( )A.S

=C.S

=

B.S

=D.S

=【解析】選

A.S

=na

=n(S

-S

), 所以

S

= S

(n≥2,n∈N),S

=a

=1,則

S

=

,S

=

=

,S

=

. 所以猜想得

S

= .2.(2018·武漢模擬)演繹推理“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)

y=log

x(a>0

且

a≠1)是增函數(shù),而函數(shù)

y=lo x

是對(duì)數(shù)函數(shù),所以

y=lo x

是增函數(shù)”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是( )A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.大前提和小前提都錯(cuò)誤【解析】選

A.因?yàn)楫?dāng)

a>1

時(shí),y=log

x

在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)

0<a<1

時(shí),y=log

x 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,所以大前提錯(cuò)誤.【變式備選】(2018·南陽(yáng)模擬)某單位安排甲、乙、丙三人在某月1

日至

12

日值班,每人

4

天.甲說(shuō):我在

1

日和

3

日都有值班;乙說(shuō):我在

8

日和

9

日都有值班;丙說(shuō):我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟?據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是 ( )A.2

日和

5

日 B.5

日和

6

日C.6

日和

11

日 D.2

日和

11

日【解析】選

C.1～12

日期之和為

78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26,甲在1日和3日都有值班,故甲余下的兩天只能是10日和12日;而乙在8日和9日都有值班,8+9=17,所以11日只能是丙去值班了.余下還有

2

日、4

日、5

日、6

日、7

日五天,顯然,6

日只能是丙去值班了.3.下列類比推理中,得到的結(jié)論正確的是

( )A.把

log

(x+y)與

a(b+c)類比,則有

log

(x+y)=log

x+log

y B.向量

a,b

的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)

a,b

的運(yùn)算性質(zhì)|ab|=|a|·|b|類比,則有|a·b|=|a||b|C.把(a+b)與(ab)類比,則有(a+b)=a+bD.把長(zhǎng)方體與長(zhǎng)方形類比,則有長(zhǎng)方體的對(duì)角線平方等于長(zhǎng)寬高的平方和【解析】選

D.根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,可得

A

不正確;利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,可得

B

不正確;利用乘方運(yùn)算,可得

C

不正確;把長(zhǎng)方體與長(zhǎng)方形類比,則有長(zhǎng)方體的對(duì)角線平方等于長(zhǎng)寬高的平方和,可知

D正確.4.設(shè)三角形

ABC

的三邊長(zhǎng)分別為

a,b,c,面積為

S,內(nèi)切圓半徑為

r,則r= ;類比這個(gè)結(jié)論可知:若四面體

S-ABC

的四個(gè)面的面積分別為S

,S

,S

,S

,內(nèi)切球的半徑為

r,四面體

S-ABC

的體積為

V,則

r

等于 ( ) A. B.C. D.【解析】選

C.設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為

O,則

V=V

+V

+V

+V

,即

V=

S

r+

S

r+

S

r+

S

r, 所以

r= .5.(2019·渭南模擬)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如:他們研究過(guò)圖中的

1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,故將其稱為三角形數(shù),由以上規(guī)律,知這些三角形數(shù)從小到大形成一個(gè)數(shù)列{a

},那么

a

的值 為

( )A.45 B.55 C.65 D.66【解析】選

B.第

1

個(gè)圖中,小石子有

1

個(gè),第

2

個(gè)圖中,小石子有

3=1+2

個(gè),第

3

個(gè)圖中,小石子有

6=1+2+3

個(gè),第

4

個(gè)圖中,小石子有

10=1+2+3+4

個(gè),…故第

10

個(gè)圖中,小石子有

1+2+3+…+10= =55

個(gè),即

a

=55.6.如圖所示,是某小朋友在用火柴拼圖時(shí)呈現(xiàn)的圖形,其中第

1

個(gè)圖形用了

3

根火柴,第

2

個(gè)圖形用了

9

根火柴,第

3

個(gè)圖形用了

18

根火柴,…,則第

2

018

個(gè)圖形用的火柴根數(shù)為 ( )A.2

014×2

017 B.2

015×2

016C.3

024×2

018 D.3

027×2

019

D.由題意,第

1

個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為

3×1;第

2

個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為

3×(1+2);第

3

個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為

3×(1+2+3);…由此,可以推出第

n

個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為

3×(1+2+3+…+n).所以第

2

018

個(gè)圖形所需火柴的根數(shù)為

3×(1+2+3+…+2

018)=3×=3

027×2

019.7.在銳角三角形

ABC

中,下列結(jié)論正確的是 ( )A.sinA<cosBB.tanA>tanBC.sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCD.sinA+sinB+sinC<cosA+cosB+cosC【解析】選

eq

\o\ac(△,C.)因?yàn)?ABC

為銳角三角形,所以

A+B>

,所以

A>

-B,因?yàn)?/p>

y=sin

x

在所以

sin

A>sin

上是增函數(shù),=cos

B,同理可得

sin

B>cos

C,sin

C>cos

A,所以

sin

A+sin

B+sin

C>cos

A+cos

B+cos

C.二、填空題(每小題

5

分,共

10

分)8.(2019·咸陽(yáng)模擬)觀察下列式子:+ <8, + +

<2,+

+<

<

,

+,…,根據(jù)以上規(guī)律,第

n(n∈N)個(gè)不等式是________.【解析】根據(jù)所給不等式可得第

n

個(gè)不等式是 + +…+ < .答案: + +…+ <9.在數(shù)列{a

}中,a

=2,a

=λa

+λ+(2-λ)2(n∈N),其中

λ>0,{a

}的通項(xiàng)公 式是________.【解析】a

=2,a

=2λ+λ+(2-λ)·2=λ+2, a

=λ(λ+2)+λ+(2-λ)·2=2λ+2,a

=λ(2λ+2)+λ+(2-λ)·2=3λ+2.由此猜想出數(shù)列{a

}的通項(xiàng)公式為

a

=(n-1)λ+2. 答案:a

=(n-1)λ+2(15

分鐘 30

分)1.(5

分)若大前提是:任何實(shí)數(shù)的平方都大于

0,小前提是:a∈R,結(jié)論是:a>0,那么這個(gè)演繹推理出錯(cuò)在

( )A.大前提 B.小前提C.推理過(guò)程 D.沒(méi)有出錯(cuò)【解析】選

A.要分析一個(gè)演繹推理是否正確,推理形式是否都正確,只有這幾個(gè)方面都正確,才能得到這個(gè)演繹推理正確.本題中大前提:任何實(shí)數(shù)的平方都大于

0,是不正確的.2.(5

分)如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形,照此規(guī)律閃爍,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是

( )【解析】選

A.依照該五角星連續(xù)呈現(xiàn)陰影的兩個(gè)角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的規(guī)律性知,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是

A.【變式備選】如圖所示是由長(zhǎng)為

1

的小木棒拼成的圖形,其中第

n

個(gè)圖形由

n

個(gè)正方形組成:觀察圖形,根據(jù)第

1

2

3

4

個(gè)圖形中小木棒的根數(shù),得出第

n個(gè)圖形中,小木棒的根數(shù)為_(kāi)_____.【解析】觀察題干中圖形可得,第

1

個(gè)、第2

個(gè)、第3

個(gè)、第4

個(gè)圖形中小木棒的根數(shù)分別為

4,7,10,13,而

4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由歸納推理得,第

n

個(gè)圖形中,小木棒的根數(shù)為

3n+1.答案:3n+13.(5

分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣.的轉(zhuǎn)化過(guò)程,比如在 中“…”即代表無(wú)限次重復(fù),但原式卻是個(gè)定值

x,這可以通過(guò)方程( )

=x

確定

x=2,則

1+

=A.

B.C.

D.【解析】選

C.1+ =x,即

1+

=x,即

x-x-1=0,解得

x= ,故

1+ = .4.(15

分)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)家,是祖沖之的兒子.他提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積,“勢(shì)”指高.這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體體積相等.設(shè)由橢圓 + =1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞

y

軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體)(如圖),課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的方法,請(qǐng)類比此法,求出橢球體體積.【解析】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

a,短半軸長(zhǎng)為

b,現(xiàn)構(gòu)造兩個(gè)底面半徑為

b,高為

a的圓柱,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐,根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積

V=2(V

-V

)=2(π×ba-

π×ba)=

πba.【變式備選】已知

O

是△ABC

內(nèi)任意一點(diǎn),連接

AO,BO,CO

并延長(zhǎng),分別交對(duì)邊于A′,B′,C′,則法”:

+

+

=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積+ + = + + = =1.請(qǐng)運(yùn)用類比思想猜想