第五章定積分abxyo實(shí)例1

（求曲邊梯形的面積）一、問(wèn)題的提出第一節(jié)定積分的概念下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)曲邊梯形如圖所示，下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)實(shí)例2

（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)二、定積分的定義定義下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)注意：下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)注意定理1定理2三、存在定理下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值四、定積分的幾何意義下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)幾何意義：下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例1

利用定義計(jì)算定積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例1下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例2:利用定積分的定義計(jì)算積分：

()?！弑环e函數(shù)

上連續(xù)，

在解：下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例2對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:說(shuō)明

在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。马?yè)上頁(yè)首頁(yè)對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)1下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)定積分的性質(zhì)1證性質(zhì)2下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)定積分的性質(zhì)2補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.例若（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)3下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)定積分的性質(zhì)3證性質(zhì)4性質(zhì)5下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)定積分的性質(zhì)4,5解令于是下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例3

性質(zhì)5的推論：證（1）下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)性質(zhì)5的推論(1)證說(shuō)明：

可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)性質(zhì)5的推論(2)證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)6下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)定積分的性質(zhì)6解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例4

解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例5下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)定積分的性質(zhì)7(定積分中值定理)使即積分中值公式的幾何解釋：下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)積分中值公式的幾何解釋解由積分中值定理知有使下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例6

五、小結(jié)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)3．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）4．典型問(wèn)題（１）估計(jì)積分值；（２）不計(jì)算定積分比較積分大小．下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)思考題將和式極限：表示成定積分.下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)思考題