第八章8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性學(xué)習(xí)目標1.會畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖.2.會通過散點圖判斷成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)兩分量向量夾角的關(guān)系.4.結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象.新知學(xué)習(xí)

我們知道，一個人的體重與他的身高有關(guān)系.一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

探究：在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如表8.1-1所示.表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù).

表8.1-1

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能判斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2

編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計圖.我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點圖.觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢.這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.圖8.1-1如果從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān).脂肪含量與年齡這兩個變量正相關(guān).思考：（1）兩個變量負相關(guān)時，成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖有什么特點？

（2）你能舉出生活中兩個變量正相關(guān)或負相關(guān)的一些例子嗎？圖8.1-1散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.觀察散點圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近.一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān).圖8.1-1觀察散點圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖（1）中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖（2）中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負相關(guān)；圖（3）中的散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關(guān)性.

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

圖8.1-2

利用上述方法處理表8.1-1中的數(shù)據(jù)，得到圖8.1-3.我們發(fā)現(xiàn)，這時的散點大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點的橫、縱坐標同號.顯然，這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的.圖8.1-3一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第一象限、第三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號的居多，如圖8.1-4（1）所示；如果變量x和y負相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第二象限、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號的居多，如圖8.1-4（2）所示.

圖8.1-4（1）

（2）思考：根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的數(shù)字特征嗎？

變形形式

圖8.1-5

典例剖析

例1

根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本

相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2

編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6表8.1-1解：先畫出散點圖，如圖8.1-1所示.觀察散點圖，可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義，圖8.1-1

例3在某校高一年級中隨機抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如表8.1-3所示.編號身高/cm體重/kg臂展/cm

編號身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425

166176176175169184169182171177173173

666149604886585458615851

161166165173162189164170164173165169

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分別畫出體重與身高、臂展與身高的散點圖，分別如圖8.1-7（1）和（2）所示，兩個散點圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.圖8.1-7（1）