第二節(jié)金融期權(quán)的定價(jià)模型一、金融期權(quán)價(jià)格構(gòu)成（一）金融期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值

1、含義：期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，即履約的價(jià)值，指期權(quán)合約本身所具有的價(jià)值，也是期權(quán)的買方立即執(zhí)行期權(quán)能獲得的收益。期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值取決于協(xié)定價(jià)格與標(biāo)的物市場(chǎng)價(jià)格的關(guān)系。期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值不會(huì)小于零。

根據(jù)內(nèi)在價(jià)值，期權(quán)可分為實(shí)值、虛值和平值三種?？礉q期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值

(T)=max[0,S(T)-K]看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值P(T)=max[K-S(T),0]

2、內(nèi)在價(jià)值的計(jì)算(二)金融期權(quán)的時(shí)間價(jià)值

1、含義

期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，即外在價(jià)值，指期權(quán)購(gòu)買者為購(gòu)買期權(quán)而實(shí)際付出的期權(quán)費(fèi)超過(guò)該期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值的那部分價(jià)值。2、時(shí)間價(jià)值=期權(quán)價(jià)格-內(nèi)在價(jià)值Thetimevaluerepresentstheinvestors'beliefsthattheycanmakemoremoneybysellingorexercisingtheoptionatsomefuturedate.

（三）期權(quán)價(jià)格的有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1:在期權(quán)到期日，期權(quán)價(jià)格等于其內(nèi)在價(jià)值（時(shí)間價(jià)值為0）。

性質(zhì)2:在期權(quán)到期日之前，美式期權(quán)價(jià)格大于或等于其內(nèi)在價(jià)值性質(zhì)3:對(duì)于具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和在相同執(zhí)行價(jià)格的兩個(gè)期權(quán)，距到期日較長(zhǎng)的期權(quán)，其價(jià)格較高.

性質(zhì)4:對(duì)于具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和在相同到期日的兩個(gè)看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格越小的期權(quán)，其價(jià)格較高；對(duì)于具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和在相同到期日的兩個(gè)看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格越高的期權(quán)，其價(jià)格較高；

（三）期權(quán)價(jià)格的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)5:看漲期權(quán)的價(jià)格，不會(huì)高于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格；Ifthepremiumofthecalloptionisgreaterthanthepriceofitsunderlyingasset:Today:buytheasset,writethecallandreceive$(C-S).Ifthecallisexerciseddeliverthestockandget$E.Ifitnotexercisedyoukeepboth$(C-S)andtheunderlyingasset.

性質(zhì)6:看跌期權(quán)的價(jià)格，不會(huì)高于執(zhí)行價(jià)格；（四）影響期權(quán)價(jià)格的主要因素1、協(xié)定價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格及兩者的關(guān)系

（1）決定期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值

（2）決定期權(quán)的時(shí)間價(jià)值

協(xié)定價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格差距越大，時(shí)間價(jià)值越小，

協(xié)定價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格差距越小，時(shí)間價(jià)值越大，

當(dāng)期權(quán)處于平值時(shí)，時(shí)間價(jià)值最大。2、權(quán)利期間（期權(quán)剩余的有效時(shí)間）期權(quán)期間越長(zhǎng)，套期保值時(shí)間越長(zhǎng)，期權(quán)時(shí)間價(jià)值越大隨著期權(quán)期間縮短，期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的。3、標(biāo)的資產(chǎn)的收益：標(biāo)的資產(chǎn)收益率越高，看漲期權(quán)價(jià)格越低，看跌期權(quán)價(jià)格越高。4、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性越大，期權(quán)價(jià)格越高5、利率：利率對(duì)看漲期權(quán)價(jià)格有正向影響，利率對(duì)看跌期權(quán)價(jià)格有負(fù)向影響各因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響其中：+為期權(quán)價(jià)格上升-為期權(quán)價(jià)格下降看漲期權(quán)的價(jià)格X45°內(nèi)在價(jià)值期權(quán)價(jià)格時(shí)間價(jià)值S0C

看跌期權(quán)的價(jià)格X內(nèi)在價(jià)值期權(quán)價(jià)格時(shí)間價(jià)值S0P期權(quán)時(shí)間價(jià)值與權(quán)利期間的關(guān)系6543210權(quán)利期間時(shí)間價(jià)值二、看漲——看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系（一）假設(shè)條件看漲、看跌期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格和相同的到期日，并且都是歐式期權(quán)。（二）平價(jià)關(guān)系1、無(wú)收益資產(chǎn)的平價(jià)關(guān)系

構(gòu)造如下兩個(gè)組合：

PortfolioA:一份歐式看漲期權(quán)的多頭和現(xiàn)金。PortfolioB:一份歐式看跌期權(quán)的多頭和一單位標(biāo)的資產(chǎn)在T,組合A的價(jià)值為:組合B的價(jià)值為:因此，在t,兩組合的價(jià)值應(yīng)相等

（二）平價(jià)關(guān)系2、有固定收益資產(chǎn)的平價(jià)關(guān)系

WhereDisthePRESENTVALUEofthedividendspaidovertheentirelifeoftheoption.Thatis,wesubstitute(S-D)forS.（二）平價(jià)關(guān)系3、期貨期權(quán)的平價(jià)關(guān)系

構(gòu)造如下兩個(gè)組合：

PortfolioA:一份歐式期貨看漲期權(quán)的多頭和現(xiàn)金。PortfolioB:一份歐式期貨看跌期權(quán)的多頭和一份期貨合約和現(xiàn)金。在T,組合A的價(jià)值為:組合B的價(jià)值為:因此，在t,兩組合的價(jià)值應(yīng)相等

（二）平價(jià)關(guān)系

4、美式期權(quán)的平價(jià)關(guān)系（1）標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益的平價(jià)關(guān)系

（2）標(biāo)的資產(chǎn)有收益的平價(jià)關(guān)系

三、期權(quán)定價(jià)模型

（一）二項(xiàng)式定價(jià)模型與期貨定價(jià)相同，我們可以利用無(wú)套利定價(jià)原理對(duì)期權(quán)定價(jià)。方法是：構(gòu)造一個(gè)證券組合，其贏利與期權(quán)正好相同(現(xiàn)金流復(fù)制方法)。BlackandScholes(1973)正是應(yīng)用這種方法得出了著名的期權(quán)定價(jià)公式。二項(xiàng)式定價(jià)模型，盡管簡(jiǎn)單，但原理與BlackandScholes公式是相同的1、實(shí)例

假設(shè)當(dāng)前的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為20%,股票當(dāng)前的價(jià)格為60$，到時(shí)期末，股票價(jià)格要么下降到30$或上升到90$.

90

60

30

到時(shí)期末，執(zhí)行價(jià)格為60$的期權(quán)的價(jià)值要么是0或30.

30

C

0

Cu=max[(u·s-k),o]Cd=max[(d·s-k),o]1、實(shí)例設(shè)我們購(gòu)買0.5股股票，并且從銀行借入12.50$.

則有：

30=0.5×90-12.5×(1+0.2)

0.5×60-12.5=17.5

0=0.5×30-12.5×(1+0.2)

可見，這個(gè)組合與看漲期權(quán)的盈虧完全相同，因此，看漲期權(quán)的價(jià)值與這個(gè)組合的價(jià)值相同，為$17.50.(C=17.5)如果期權(quán)的交易價(jià)格為$18.50，情況如何？此時(shí)，將出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。1、實(shí)例構(gòu)造下列組合：賣出一份看漲期權(quán)：

買入由0.5份股票和$12.50現(xiàn)金組成的組合（由股票和債券的組合復(fù)制看漲期權(quán)）。在T時(shí)刻，兩個(gè)組合的收益相同，在時(shí)間t，投資者的凈收益為$1.00（18.5-17.5）問(wèn)題：如果期權(quán)目前的交易價(jià)為$16.50，那么，你的套利組合應(yīng)如何構(gòu)建？1、實(shí)例假設(shè)?份股票+L現(xiàn)金可以復(fù)制看漲期權(quán)當(dāng)股票價(jià)格上升到90$，則：90×?+1.2L=30

當(dāng)股票價(jià)格下降到30$，則：30×?+1.2L=0

這樣：?=0.5，L=-12.5

組合與看漲期權(quán)對(duì)股票價(jià)格的敏感性相同。這個(gè)敏感性稱為套期保值比率或稱為看漲期權(quán)的?系數(shù)：?=?C/?S=(30-0)/(90-30)=0.5

復(fù)制組合應(yīng)包括?份股票、借入L現(xiàn)金2、一般的二項(xiàng)式定價(jià)模型在實(shí)際中，股票的價(jià)格不僅是兩個(gè)值，可能有多個(gè)值。我們可以通過(guò)縮短每一步的時(shí)間周期，采取多步驟的方法，構(gòu)造二叉樹模型的方法來(lái)模擬股票的多個(gè)值。為求解多階段的二叉樹模型，我們只要重復(fù)求解單階段的二叉樹模型即可，因此，我們首先要得出一般的單階段二叉樹模型。（1）一般的單階段的二叉樹模型符號(hào)設(shè)：

S：標(biāo)的物現(xiàn)行價(jià)格

u：標(biāo)的物價(jià)格可能上漲倍率（u1）

d：標(biāo)的物價(jià)格可能下降倍率（d1）R=1+單周期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

為了防止出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，要求：

d<R<u

當(dāng)股票價(jià)格上升時(shí)，Su=u×S；當(dāng)股票價(jià)格下降時(shí)，Sd=d×S在到期日，期權(quán)的盈虧為：如果股票價(jià)格上升：Cu=max[(u·s-k),o]如果股票價(jià)格下降：Cd=max[(d·s-k),o]（1）一般的單周期的二叉數(shù)模型構(gòu)造下列組合：買入?份股票+

以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入L現(xiàn)金以復(fù)制看漲期權(quán)，則：?u×S+R×L=Cu

?d×S+R×L=Cd

解之，得：

?=(Cu-Cd)/(u×S-d×S)

L=-(dCu-uCd)/[R×(u-d)]

注意：對(duì)看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，L總是負(fù)值（總是借入資金）。問(wèn)題：導(dǎo)出復(fù)制看跌期權(quán)組合的計(jì)算公式。Risk-NeutralProbability記：

C=?S+L

C=1/R×(q×Cu+(1-q)×Cd)

如果q是股票價(jià)格上漲的概率，則看漲期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)未來(lái)價(jià)值的期望值的貼現(xiàn)值。衍生證券的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)如果每個(gè)人都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，股票的期望收益率將等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率R.在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，股票上升的概率為q（注意在實(shí)際中，股票上升的概率為p，投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的

）看漲期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)未來(lái)價(jià)值的期望值的貼現(xiàn)值：

C=1/R×{q×Cu+(1-q)×Cd}

一般公式為：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

此公式說(shuō)明衍生證券的價(jià)格是其盈虧貼現(xiàn)值的期望值(風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中)

（2）二期間二叉樹模型（價(jià)格關(guān)系圖）SSuSdSu2SudSd2CdCCuCu2Cd2Cud（2）兩階段二叉樹模型根據(jù)單階段模型：

Cu=(q×Cuu+(1-q)×Cud)/R

Cd=(q×Cud+(1-q)×Cdd)/R

當(dāng)?shù)玫紺u、Cd，再使用單階段模型，得：C=1/R2×{q2×Cuu+2×(1-q)×q×Cud+(1-q)2×Cdd}

同樣，這也是一般模型的特例：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化及風(fēng)險(xiǎn)中性概率的估計(jì)在二叉樹模型中，確定u,d,andq是關(guān)鍵，這里應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法估計(jì)這些數(shù)值。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中：所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；未來(lái)現(xiàn)金流可以用期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)假設(shè)股票的價(jià)格遵從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，記：r為連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，S為期初的證券價(jià)格，則在很小

?t末證券價(jià)格的期望值為：對(duì)一個(gè)價(jià)格遵從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票來(lái)說(shuō)，在?t內(nèi)證券價(jià)格變化的方差為（）σ為股票價(jià)格以年計(jì)的波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)方差的定義，有：

假設(shè)d=1/u（Cox,Ross,Rubinstein的條件），解上面的三式，得u,d,andq的估計(jì)值為：

易變性對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響

看漲期權(quán)的價(jià)格是收益貼現(xiàn)值的期望，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的易變性增加時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)極端值的概率增加，那么看漲期權(quán)處于實(shí)值或虛值的可能性增加，因此，波動(dòng)性越高，盈虧貼現(xiàn)的期望值就越高，看漲期權(quán)的價(jià)格就越高。

Whataboutaputoption?

Example:theMulti-periodBinomialModel

Example（續(xù)）:（3）二叉樹模型的擴(kuò)展有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)記標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利率為i,在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，可以用r-i替代上面公式中r即可，其他不變。這時(shí)，對(duì)于期貨期權(quán)，可以將期貨看成支付連續(xù)紅利率為r的證券，則

（3）二叉樹模型的擴(kuò)展支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)若標(biāo)的資產(chǎn)在未來(lái)某一確定時(shí)間將支付已知紅利率（紅利與資產(chǎn)價(jià)格之比），我們可以通過(guò)調(diào)整各節(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格，計(jì)算期權(quán)價(jià)格，調(diào)整方法為：如果時(shí)刻在除權(quán)日之前，則各結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格不變，為：如果時(shí)刻在除權(quán)日之后，則各結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格為利率是時(shí)間依賴的情況在二叉樹模型的中，假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)，這顯然與實(shí)際不符。合理的假設(shè)是，即在時(shí)刻t的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于t到之間的的遠(yuǎn)期利率。其他條件不變，這樣，資產(chǎn)價(jià)格上升的概率為：（4）構(gòu)造樹圖的其他方法q=0.5的二叉樹圖如果在上面分析中，不假定d=1/u，而令q=0.5，則當(dāng)?shù)母唠A小量可以忽略時(shí)，得：方差控制技術(shù)基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似（如其他條件相同的歐式和美式期權(quán)），我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。記為期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值（解析解），為期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值，分別表示用同一種方法計(jì)算出的期權(quán)估計(jì)值。假設(shè)用數(shù)值計(jì)算出的期權(quán)B的誤差等于期權(quán)A的誤差，即：可以證明，當(dāng)與之間相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，這說(shuō)明這個(gè)方法減少了期權(quán)A的價(jià)值估計(jì)的方差，我們利用和的信息改進(jìn)了對(duì)期權(quán)A的價(jià)值的估計(jì)。（二）布萊克——斯科爾斯模型當(dāng)二項(xiàng)式模型的區(qū)間長(zhǎng)度很小，區(qū)間個(gè)數(shù)達(dá)到無(wú)窮時(shí)，二項(xiàng)式模型收斂于Black-Scholes模型1、假設(shè)條件期權(quán)的標(biāo)的物為一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許賣空，并且完全可分在期權(quán)到期日前，標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)任何收益和支付。標(biāo)的資產(chǎn)的交易是連續(xù)的，其價(jià)格的變動(dòng)也是連續(xù)的，均勻的，既無(wú)跳空上漲，又無(wú)跳空下跌。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性為一已知常數(shù)。存在著一個(gè)固定不變的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，交易者可以按此利率無(wú)限制地借入或貸出。期權(quán)是歐式的，到期日前不執(zhí)行，不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)標(biāo)的物的價(jià)格服從于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，股票的收益率服從正態(tài)分布。

AComparisonofLognormalDistributionwitha25-periodBinomialApproximation

2、布萊克——斯科爾斯微分方程（1）Ito過(guò)程與Ito引理Ito過(guò)程Ito引理若變量x遵從Ito過(guò)程，則變量x與t的函數(shù)G將遵從下列過(guò)程（2）證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過(guò)程證券價(jià)格的變化過(guò)程衍生證券價(jià)格的變化過(guò)程

證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過(guò)程令G=lnS,代入上式得：（3）布萊克——斯科爾斯微分方程推導(dǎo)：

由上面的公式得：構(gòu)造如下組合：該組合在后必定沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)，因此，該組合在中的瞬時(shí)收益率一定等于的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。這樣有：將有關(guān)式子代入得：化簡(jiǎn)得：邊界條件：C(T)=max[0,S(T)-K]2、無(wú)收益股票歐式看漲期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes模型假設(shè)每個(gè)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型，DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為：

假設(shè)標(biāo)的物的價(jià)格服從于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，股票的收益率服從正態(tài)分布，

我們得到Black-Scholes定價(jià)公式為：

r：Theannualizedrisklessinterestratefromtodayuntilexpiration.T：Timetoexpiration,inyears(forexample,3months=0.25).

e=2.7183.

σ=Theinstantaneousstandarddeviationoftheasset‘sreturn,annualized.Thevolatilityannualized.

ThetermsN(d1)andN(d2)arethecumulativestandardnormaldistributionsofd1andd2.（seepicture）

應(yīng)用平價(jià)公式，可得到無(wú)收益股票歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型:

Thestandardnormalandcumulativestandardnormaldistributions.

3、有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型當(dāng)標(biāo)的證券有現(xiàn)值為I的收益時(shí)，用（S-I)替代S即可；當(dāng)標(biāo)的證券的收益率為di時(shí)，用替代S即可。例如，

記di為年紅利率（fromtodayuntilexpiration）

應(yīng)用平價(jià)公式，得有收益率的股票歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型:

4、期貨歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型

應(yīng)用平價(jià)公式，得期貨歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型:

當(dāng)標(biāo)的證券為期貨時(shí)，用替代S即可。5、重要說(shuō)明

使用model對(duì)期權(quán)定價(jià)存在兩類風(fēng)險(xiǎn)

模型特有風(fēng)險(xiǎn)當(dāng)股票價(jià)格偏離模型分布假設(shè)（對(duì)數(shù)正態(tài)）時(shí)，期權(quán)定價(jià)模型就存在誤差；特別是：

n

Jumprisk.（跳躍風(fēng)險(xiǎn)）(TheBlackScholesmodeldoesnotallowforsuddenbigchangesinstockprices.)

n

Volatilitymaynotbeconstantovertime.

估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)：

我們僅僅能得到的是易變性的估計(jì)值。所以，必須記住，所有基于期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算的價(jià)格和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)交易策略都僅是一個(gè)估計(jì)值。

問(wèn)題：當(dāng)股票價(jià)格不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，期權(quán)如何定價(jià)？應(yīng)用期權(quán)定價(jià)模型對(duì)我國(guó)證券市場(chǎng)的權(quán)證定價(jià)，并分析產(chǎn)生誤差的原因？6、易變性的估計(jì)在Black-Scholes和其他的期權(quán)定價(jià)模型中，易變性是最難確定的一個(gè)輸入變量，因?yàn)橐鬃冃圆荒鼙挥^測(cè)到，而且必須進(jìn)行估計(jì)，其他輸入變量則能被觀測(cè)到，相對(duì)容易確定。有三類易變性:

n

期權(quán)有效期內(nèi)未來(lái)易變性：Theinputrequiredinoptionmodelstocalculatetheoption’stheoreticalprice.

n

歷史易變性：給定樣本基礎(chǔ)上計(jì)算的過(guò)去收益率的樣本標(biāo)準(zhǔn)差

n

隱含易變性：當(dāng)期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格等于特定模型（如Black-Scholesmodel或thebinomialmodel）的理論價(jià)格時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差

對(duì)未來(lái)易變性的確定沒(méi)有一種完全正確的方法。一般可以應(yīng)用多種方法進(jìn)行估計(jì)，如應(yīng)用隱含易變性作為未來(lái)易變性的估計(jì)值，或應(yīng)用歷史易變性作為未來(lái)易變性的估計(jì)值，也有人應(yīng)用GARCH統(tǒng)計(jì)模型，估計(jì)未來(lái)易變性

什么是GARCH模型？如何應(yīng)用GARCH估計(jì)未來(lái)易變性？如何判斷估計(jì)的精度？7、Black-Scholes定價(jià)公式的進(jìn)一步討論（1）波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)在現(xiàn)實(shí)世界中，波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)是不成立的。人們通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格和BS公式計(jì)算出來(lái)的隱含波動(dòng)率具有以下兩方面的變動(dòng)規(guī)律：隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格不同而不同，這個(gè)規(guī)律被稱為“波動(dòng)率微笑”；隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而不同，這個(gè)規(guī)律被稱為“波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)”；波動(dòng)率微笑波動(dòng)率微笑產(chǎn)生的原因：市場(chǎng)分布與BS假設(shè)分布（對(duì)數(shù)正態(tài)分布）存在差異。而且還與標(biāo)的資產(chǎn)有關(guān)；貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑及隱含分布隱含波動(dòng)率呈u形，平價(jià)時(shí)波動(dòng)率最低、實(shí)值或虛值時(shí)波動(dòng)率會(huì)上升，且兩邊對(duì)稱（深度虛值、實(shí)值看跌、看漲期權(quán)價(jià)格均較高（相對(duì)于BS公式計(jì)算）（隱含波動(dòng)率高））匯率的極端變化要比對(duì)數(shù)正態(tài)分布所描述的更經(jīng)常出現(xiàn)（跳躍）價(jià)格的跳躍和波動(dòng)率的隨機(jī)性對(duì)波動(dòng)率的影響會(huì)隨時(shí)間而改變波動(dòng)率微笑（2）股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑及隱含分布隱含波動(dòng)率呈右偏斜狀，波動(dòng)率隨執(zhí)行價(jià)格的上升而下降，且不對(duì)稱；說(shuō)明深度虛值看跌期權(quán)價(jià)格或深度實(shí)值看漲期權(quán)價(jià)格（執(zhí)行價(jià)低）會(huì)相對(duì)較低（隱含波動(dòng)率低）；深度虛值看漲期權(quán)價(jià)格或深度實(shí)值看跌期權(quán)價(jià)格會(huì)較高（隱含波動(dòng)率高。相對(duì)于BS公式）可能的解釋：與股市崩盤有關(guān)，這使得價(jià)格下跌的可能性遠(yuǎn)大于上升的可能性。波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)含義：隱含波動(dòng)率隨到期日不同所表現(xiàn)出來(lái)的變化規(guī)律；期限結(jié)構(gòu)：從長(zhǎng)期來(lái)看，波動(dòng)率具有均值回復(fù)的特征。即到期日越近，隱含波動(dòng)率變化越大，隨著到期日的延長(zhǎng)，隱含波動(dòng)率將逐步向歷史波動(dòng)率的平均值靠攏；波動(dòng)率微笑的形狀也受期權(quán)到期日時(shí)間的影響。到期日時(shí)間越近，波動(dòng)率微笑越顯著，到期日時(shí)間越長(zhǎng)，不同價(jià)格的隱含波動(dòng)率差異越小。波動(dòng)率矩陣（波動(dòng)率微笑與期限結(jié)構(gòu)的結(jié)合）有效期執(zhí)行價(jià)格0.90.951.001.051.10一個(gè)月三個(gè)月六個(gè)月一年兩年五年14.213.012.013.114.514.013.012.013.114.214.113.312.513.414.314.714.013.514.014.815.014.414.014.515.114.814.614.414.715.0(2)不確定參數(shù)在BS公式中，假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率以及紅利收益率都是常數(shù)，但實(shí)際上這些都是變化的。對(duì)于這些不確定的參數(shù)值,Avellaneda,Levy等人提出了解決的基本思路，即假設(shè)我們知道這些參數(shù)位于某一特定的區(qū)間內(nèi)，之后考慮最悲觀的情況下，我們的期權(quán)至少值多少。這樣，我們不會(huì)計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而是計(jì)算期權(quán)的價(jià)值區(qū)間。不確定波動(dòng)率假設(shè)，我們沿用BS模型的無(wú)套利組合方法，構(gòu)造下列組合：根據(jù)Ito引理和證券收益率正態(tài)分布的假設(shè)，有不確定波動(dòng)率由于我們只知道波動(dòng)率的范圍，所以我們可以計(jì)算出最糟糕情況下的期權(quán)價(jià)值，其方法為：在給定的波動(dòng)率范圍內(nèi)取組合價(jià)值的最小值，并使其等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，這樣，可以計(jì)算出期權(quán)的最小值。其公式為：令要實(shí)現(xiàn)左邊最小，當(dāng)為正時(shí)，應(yīng)取，當(dāng)為負(fù)時(shí)，應(yīng)取期權(quán)下限應(yīng)滿足：也就是說(shuō)，當(dāng)為正時(shí)，我們用代替BS公式中的，可直接求出期權(quán)的最小值；當(dāng)為負(fù)時(shí)，可用代替BS公式中的求解。其中，當(dāng)然，也可以算出上限，即：也就是說(shuō)，當(dāng)為正時(shí)，應(yīng)取，當(dāng)為負(fù)時(shí)，應(yīng)取，代入到BS公式中，求出期權(quán)的最大值。不確定利率

假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率位于，與上面相同的方法，構(gòu)造下列組合：

并得到

由上式可知，求出期權(quán)的最小、最大值的利率取決于的符號(hào)。如果在最差的情況下，為正，則利率應(yīng)取最大值，負(fù)時(shí)，利率應(yīng)取最小值。其原因是，當(dāng)組合為正時(shí)，我們?cè)谄跈?quán)上有正的投資（賣空資產(chǎn)的收入不足于支付期權(quán)多頭的價(jià)格），此時(shí)，利率越高越不利。相應(yīng)的方程為：

其中，也就是說(shuō)，當(dāng)為正時(shí)，我們用代替BS公式中的，可直接求出期權(quán)的最小值；當(dāng)為負(fù)時(shí)，可用代替BS公式中的求解。不確定紅利收益率

支付連續(xù)紅利率的股票衍生證券所滿足的微分