第十七章

振動1.自由振動微分方程§17－1單自由度系統(tǒng)的自由振動設彈簧原長為在重力的作用下剛度系數(shù)為k彈簧的變形為這一位置為平衡位置稱為靜變形平衡時由此有（17－1）取重物的平衡位置點O為坐標原點其運動微分方程為取x軸的正向鉛直向下則考慮式（17

－1）則上式變?yōu)椋?7

－2）上式表明物體偏離平衡位置于坐標x處將受到與偏離距離成正比而與偏離方向相反的合力稱此力為恢復力只在恢復力作用下維持的振動稱為無阻尼自由振動（17

－3）得（17

－4）上式為無阻尼自由振動微分方程的標準形式其解具有如下形式其中r為待定常數(shù)將上式代入微分方程（17

－4）后消去公因子得本征方程本征方程的兩個根為其中和是兩個共軛虛根微分方程（17

－4）的解為（17

－5）其中和是積分常數(shù)由運動的起始條件確定令：則式（17

－5）可改寫為（17

－6）上式表示其運動圖線如圖所示無阻尼自由振動是簡諧振動2.無阻尼自由振動的特點（1）固有頻率所謂周期振動是指對任何瞬時t其規(guī)律x(t)總可以寫為其中T為常數(shù)稱為周期單位符號為s這種振動經(jīng)過時間T后又重復原來的運動由式其角度周期為2π則有由此得自由振動的周期為（17

－7）從上式得（17

－8）其中稱為振動的頻率表示每秒鐘的振動次數(shù)單位符號為1/s或Hz（赫茲）由式知（17

－9）因為表示2π秒內(nèi)的振動次數(shù)單位符號為rad/s（弧度/秒）上式表示只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量m和剛度k有關(guān)而與運動的初始條件無關(guān)它是振動系統(tǒng)固有的特性所以稱為固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率）將m=P/g和代入式（17

－9）得（17

－10）上式表明對上述振動系統(tǒng)只要知道重力作用下的靜變形就可以求得系統(tǒng)的固有頻率（2）振幅與初相角在諧振動表達式（17

－6）中A表示相對于振動中心點O的最大位移稱為振幅稱為相位（或相位角）相位決定了質(zhì)點在某瞬時t的位置具有角度的量綱而θ稱為初相角它決定了質(zhì)點運動的起始位置設在起始t=0時物塊的坐標速度為求A和θ現(xiàn)將式（17

－6）兩端對時間t求一階導數(shù)得物塊的速度（17－11）然后將初始條件代入（17

－6）和（17

－11）兩式得由上述兩式得到振幅A和初始角θ的表達式為（17

－12）從上式可以看出自由振動的振幅和初相角都與初始條件有關(guān)3.彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)（1）彈簧并聯(lián)在平衡時有令稱為等效彈簧剛度系數(shù)上式成為（17

－13）或因此上述并聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率為此系統(tǒng)相當于有一個等效彈簧當兩個彈簧并聯(lián)時其等效彈簧剛度系數(shù)等于兩個彈簧剛度系數(shù)的和這個結(jié)論也可以推廣到多個彈簧并聯(lián)的情形（2）彈簧串聯(lián)兩個彈簧總的靜伸長若設串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為則有比較上面兩式得（17

－14）或上述串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的固有頻率為由此可見當兩個彈簧串聯(lián)時其等效彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于兩個彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的和這一結(jié)論也可以推廣到多個彈簧串聯(lián)的情形4.其他類型的單自由振動系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)運動微分方程為令則上式可變?yōu)榇耸脚c式（17

－4）相同1.阻尼§17－2單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動振動過程中的阻力習慣上稱為阻尼當振動速度不大時由于介質(zhì)粘性引起的阻力近似地與速度的一次方成正比這樣的阻尼稱為粘性阻尼設振動質(zhì)點的運動速度為則粘性阻尼的阻力可以表示為（17

－15）其中比例常數(shù)c稱為粘性阻力系數(shù)（簡稱為阻力系數(shù)）負號表示阻力與速度的方向相反當振動系統(tǒng)中存在粘性阻尼時經(jīng)常用右圖所示的阻尼元件c表示一般的機械振動系統(tǒng)都可以簡化為由慣性元件（m）彈性元件（k）阻尼元件（c）組成的系統(tǒng)2.振動微分方程如以平衡位置為坐標原點在建立此系統(tǒng)的振動微分方程時可以不再計入重力的作用這樣在振動過程中作用在物塊上的力有（1）恢復力方向指向平衡位置O大小與偏離平衡位置的距離成正比即（2）粘性阻尼力方向與速度方向相反大小與速度成正比即物塊的運動微分方程為將上式兩端除以m并令（17

－16）為固有角（圓）頻率稱δ為阻尼系數(shù)前式整理得（17－17）上式是有阻尼自由振動微分方程的標準形式其解可設為將上式代入微分方程（17－17

）中消去公因子得本征方程該方程的兩個根為因此方程（17－17

）的通解為（17－18）3.欠阻尼狀態(tài)當時阻力系數(shù)這時阻尼較小稱為欠阻尼狀態(tài)這時本方程的兩個根為共軛復數(shù)即則（17－19）或其中A和θ為兩個積分常數(shù)由運動的初始條件確定表示有阻尼自由振動的固有角頻率設在初始瞬間t=0質(zhì)點的坐標為速度仿照求無阻尼自由振動的振幅和初相角的求法可求得有阻尼自由振動中的初始幅值和初相角（17－20）（17－21）式（17－19）是欠阻尼狀態(tài)的自由振動表達式這種振動的振幅是隨時間不斷衰減的所以又稱為衰減振動衰減振動的運動圖線如圖由衰減振動表達式（17－19）知這種振動不符合周期振動定義所以不是周期振動但這種振動仍然是圍繞平衡位置的往復運動仍具有振動的特點我們將質(zhì)點從一個最大偏離位置到下一個最大偏離位置所需要的時間稱為衰減振動的周期記為如上圖由式（17－19）知（17－22）或其中（17－23）稱為阻尼比在欠阻尼狀態(tài)下由衰減振動的運動規(guī)律式（17－19）可見其中相當于振幅設在某瞬時ti振動達到的最大偏離值為Ai有經(jīng)過一個周期后系統(tǒng)到達另一個比前者略小的最大偏離值有這兩個相鄰振幅之比為（17－24）這個比值稱為減幅因數(shù)從上式可以看到任意兩個相鄰振幅之比為一常數(shù)所以衰減振動的振幅呈幾何級數(shù)減小上述分析表明在欠阻尼狀態(tài)下阻尼對自由振動的頻率影響較小但阻尼對自由振動的振幅影響較大使振幅呈幾何級數(shù)下降對式（17－24）的兩端取自然對數(shù)得（17－25）稱為對數(shù)減幅因數(shù)（17－26）4.臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)當時稱為臨界阻尼狀態(tài)這時系統(tǒng)的阻力系數(shù)用表示稱為臨界阻力系數(shù)從式（17－23）得（17－27）在臨界阻尼情況下本征方程的根為兩個相等的實根即得微分方程（4－20）的解為（17－28）其中和為兩個積分常數(shù)由運動的起始條件決定上式表明這時物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置因此運動已不具有振動的特點當時稱為過阻尼狀態(tài)此時阻力系數(shù)在這種情形下本征方程的根為兩個不等的實根即所以微分方程（17－17

）的解為（17－29）其中和為兩個積分常數(shù)由運動起始條件來確定運動圖線如圖也不再具有振動性質(zhì)§17－3單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動線性恢復力粘性阻尼力簡諧激振力選平衡位置O為坐標原點坐標軸鉛直向下可建立質(zhì)點運動微分方程將上式兩端除以m并令整理得（17－30）這是有阻尼受迫振動微分方程的標準形式其解由兩部分組成其中對應于方程（17－30）的齊次方程的通解在欠阻尼的狀態(tài)下有（17－31）其中為方程（17－30）的特解設它有下面的形式（17－32）其中ε表示受迫振動的相位角落后于激振力的相位角將上式代入方程（17－30）可得再將上式右端改寫為如下形式這樣前式可整理為對任意瞬時t上式都必須是恒等式則有將上述兩方程聯(lián)立可解出（17－33）（17－34）于是得方程（17－30）的通解為（17－35）其中A和θ為積分常數(shù)由運動的初始條件確定第一部分稱為過渡過程（或稱瞬態(tài)過程）過渡過程以后這段過程稱為穩(wěn)態(tài)過程受簡諧振動力作用的受迫振動仍然是諧振動振幅頻率關(guān)系用曲線如圖表示采用量綱為1的形式橫軸表示頻率比縱軸表示振幅比阻尼的改變用阻尼比的改變來表示這樣表達式（17－33）和（17－34）可寫為（17－36）（17－37）（17－36）從式（17－36）和上圖可以看出阻尼對振幅的影響程度與頻率有關(guān)（1）當時阻尼對振幅的影響甚微這時可忽略系統(tǒng)的阻尼而當作無阻尼受迫振動處理（2）當振幅B具有最大值這時的頻率稱為共振頻率在共振頻率下的振幅為或