第十三章幾何基礎(chǔ)與幾何模型123歐幾里得的《幾何原本》希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》，近代公理法的基本思想雙曲幾何學(xué)和橢圓幾何學(xué)課本中的結(jié)構(gòu)456射影幾何學(xué)的公理系和模型愛爾蘭根綱領(lǐng)，變換群與幾何學(xué)射影幾何學(xué)在中學(xué)幾何中的應(yīng)用舉例課本中的結(jié)構(gòu)01歐幾里得《幾何原本》希爾伯特的公理體系非歐幾何克萊因的變換群思想射影幾何學(xué)在中學(xué)幾何中的應(yīng)用舉例歐幾里得的《幾何原本》011、與《幾何原本》有關(guān)的五個(gè)人物2、《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介3、欣賞《幾何原本》中的兩個(gè)命題的證明4、《幾何原本》留給后人的工作01歐幾里德（Euclid，公元前330

年-公元前260

年）是古希臘最負(fù)盛名、最有影響的數(shù)學(xué)家之一.與《幾何原本》有關(guān)的五個(gè)人物01徐光啟（1562-1633）松江人明代末期一位杰出的科學(xué)家、天文學(xué)家、農(nóng)業(yè)科學(xué)家。編有《崇禎歷法》、《農(nóng)政全書》。另外,他還是一位翻譯家，1606年與人合譯《幾何原本》（前6卷）與《幾何原本》有關(guān)的五個(gè)人物01利瑪竇(1552-1610)意大利人，耶穌會(huì)傳教士。1583年入居肇慶（位于廣東?。╅_始傳教與《幾何原本》有關(guān)的五個(gè)人物01李善蘭(1811-1882)浙江海寧人清代數(shù)學(xué)家、翻譯家。15歲通覽古希臘數(shù)學(xué)名著《幾何原本》(前六卷)。1852年至1856年與人合譯《幾何原本》后九卷（《續(xù)幾何原本》）。另還譯有《代數(shù)學(xué)》、《代微積拾級(jí)》、《談天》等。與《幾何原本》有關(guān)的五個(gè)人物01偉烈亞力（1815一1887），英國(guó)漢學(xué)家。1847年從倫敦出發(fā)同年抵達(dá)上海。1852年與李善蘭合譯《幾何原本》后九卷。另與李善蘭合譯《代數(shù)學(xué)》與《代微積拾級(jí)》與《幾何原本》有關(guān)的五個(gè)人物《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介01《幾何原本》共有13卷：第一卷給出23個(gè)定義五條公設(shè)九條公理第二卷線段的運(yùn)算第三、四卷圓的性質(zhì)和圓的內(nèi)接、外切多邊形第五、六卷比例理論與相似多邊形的性質(zhì)《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介01《幾何原本》共有13卷：第七、八、九卷算術(shù)第十卷不可公度量的分類與運(yùn)算第十一至十三卷立體幾何01《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介在《幾何原本》的第一卷中，給出了5個(gè)公設(shè)：公設(shè)1：從每個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)必定可以引直線公設(shè)2：每條直線可以無(wú)限延長(zhǎng)公設(shè)3：以任意點(diǎn)為中心，任意線段為半徑可以作圓公設(shè)4：所有的直角相等公設(shè)5：（在同一個(gè)平面內(nèi)）兩條直線被第三條直線

所截，若在某一側(cè)的內(nèi)角和小于二直角，那

么這兩條直線在這一側(cè)適當(dāng)延長(zhǎng)后必相交01《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介在《幾何原本》的第一卷中，給出了9條公理：公理1：等于同量的量相等公理2：等量加等量，其和相等公理3：等量減等量，其差相等公理4：不等量加等量，其和不等公理5：等量的兩倍仍相等公理6：等量的一半仍相等01在《幾何原本》的第一卷中，給出了9條公理：公理7：能重合的量相等公理8：整體大于部分公理9：兩條直線不能包含一部分《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介01欣賞《幾何原本》中的兩個(gè)命題的證明命題29：（平行線性質(zhì)定理）一直線截平行直線所得的內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等同側(cè)內(nèi)角之和等于二直角。EABDCFGH提示：可以用“鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”，

“對(duì)頂角相等”

“第五公設(shè)"01欣賞《幾何原本》中的兩個(gè)命題的證明命題47：（畢達(dá)哥拉斯定理）在直角三角形中，對(duì)著直角的邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和。01欣賞《幾何原本》中的兩個(gè)命題的證明01《幾何原本》留給后人的工作2.對(duì)第五公設(shè)不斷的挑戰(zhàn)1.對(duì)其他公理，公設(shè)的懷疑近代公理法的基本思想01

先提出幾個(gè)不予定義的基本概念和若干不加證明的公理，這些基本概念的性質(zhì)就是由這些公理來描述和保證。從這些基本概念和公理出發(fā)，通過形式邏輯的推理，就導(dǎo)出一系列的結(jié)論，同時(shí)又可以定義新的概念，并得到新的結(jié)論。這些就構(gòu)成了一個(gè)學(xué)科的全部?jī)?nèi)容。希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》01希爾伯特（1862-1943）出生于德國(guó)的東普魯士，與菲利克斯·克萊因是同事、好友。在不變量理論，幾何公理化，希爾伯特空間這些領(lǐng)域都有其建樹。1899年出版《幾何原理》。01希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》三個(gè)基本對(duì)象五個(gè)基本關(guān)系五組公理（共20條）點(diǎn)直線平面兩個(gè)結(jié)合關(guān)系一個(gè)順序關(guān)系兩個(gè)合同關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)在平面上一個(gè)點(diǎn)在另兩點(diǎn)之間線段與線段合同角與角合同結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）歐式平行公理對(duì)于任何直線a和不在a上的任何點(diǎn)A，在由a和A確定的平面上，至多有一條直線通過A且與a不相交01希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》無(wú)矛盾性獨(dú)立性完備性01雙曲幾何學(xué)結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）五組公理（共20條）雙曲平行公理對(duì)于任何直線a和不在a上的任何點(diǎn)A，在由a和A確定的平面上，至少有一條直線通過A且與a不相交雙曲幾何學(xué)高斯（Gauss，1777～1855年）德國(guó)數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，物理學(xué)家。羅巴切夫斯基(1792—1856)俄國(guó)數(shù)學(xué)家亞諾什·鮑耶(1802—1860)匈牙利數(shù)學(xué)家01橢圓幾何學(xué)結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）五組公理（共20條）橢圓平行公理對(duì)于任何直線a和不在a上的任何點(diǎn)A，在由a和A確定的平面上，不存在一條直線通過A且與a不相交橢圓幾何學(xué)黎曼（Riemann，1826～1866），德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。在復(fù)變函數(shù)論、傅立葉級(jí)數(shù)、幾何學(xué)基礎(chǔ)、素?cái)?shù)分布等方面都有重要貢獻(xiàn)。01歐式幾何與非歐幾何的比較01克萊因與愛爾蘭根綱領(lǐng)菲利克斯·克萊因（1849—1925）德國(guó)數(shù)學(xué)家。23歲被愛爾蘭根大學(xué)聘為教授，發(fā)表了《近世幾何學(xué)的研究的比較評(píng)論》的職演，說強(qiáng)調(diào)了變換群在幾何學(xué)中的主導(dǎo)地位，這次演說的內(nèi)容被后人稱為《愛爾蘭根綱領(lǐng)》。克萊因與愛爾蘭根綱領(lǐng)正交變換仿射變換射影變換平移旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)度角度平行性結(jié)合性垂直,正方形,三角