數(shù)學與信息科學學院數(shù)值分析教材

(TextBook)

數(shù)值分析(第5版)李慶揚等，清華大學出版社，2008年數(shù)值計算方法，李維國等，石油大學出版社，2009年參考書目

(Reference)

數(shù)值計算方法(上、下冊)

林成森編著（科學出版社1998年）

Principleof

NumericalAnalysis

數(shù)值分析原理封建湖、車剛明、聶玉峰編著（科學出版社，2001年）

MATLAB數(shù)值計算方法

,張德豐編(機械工業(yè)出版,2010年)

課程評分方法

(GradingPolicies)平時成績(30%左右)

期末考試成績

(70%左右)本課程稱為“數(shù)值分析”,也常被稱為“數(shù)值計算方法”、“計算方法”等。它是一門研究數(shù)學問題的數(shù)值數(shù)值解法及其相關(guān)理論的課程

提問：數(shù)值分析是做什么用的？研究對象：數(shù)值問題——有限個輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個明確無歧義的描述。如一階微分方程初值問題求函數(shù)解析表達式數(shù)學問題求函數(shù)在某些點的近似函數(shù)值數(shù)值問題程序設(shè)計上機計算設(shè)計高效、可靠的數(shù)值方法數(shù)值問題求解近似結(jié)果輸出重點討論數(shù)值問題的來源：實際問題建立數(shù)學模型數(shù)值問題數(shù)值方法的設(shè)計原則收斂性：方法的可行性穩(wěn)定性：初始數(shù)據(jù)等產(chǎn)生的誤差對結(jié)果的影響便于編程實現(xiàn)：邏輯復(fù)雜度要小計算量要?。簳r間復(fù)雜度要小，運行時間要短存貯量要盡量小：空間復(fù)雜度要小可靠性分析計算復(fù)雜性誤差估計：運算結(jié)果不能產(chǎn)生太大的偏差且能夠控制誤差§1

誤差

/*Error*/一、誤差的來源與分類

/*Source&Classification*/

1、從實際問題中抽象出數(shù)學模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過觀測得到模型中某些參數(shù)（或物理量）的值

——觀測誤差

/*MeasurementError*/

3、數(shù)學模型與數(shù)值算法之間的誤差求近似解

——方法誤差

(截斷誤差

/*TruncationError*/)

4、由于機器字長有限，原始數(shù)據(jù)和計算過程會產(chǎn)生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/設(shè)為真值（精確值），為的一個近似值稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。注：誤差可正可負，常常是無限位的絕對誤差限/*accuracy*/——絕對值的上界如：絕對誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對誤差/*absoluteerror*/）近似值的誤差與準確值的比值：稱為近似值的相對誤差，記作注：實際計算時，相對誤差通常取因為（相對誤差/*relativeerror*/）相對誤差也可正可負（有效數(shù)字/*SignificantDigits*/）相對誤差限——相對誤差的絕對值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值與準確值的誤差絕對值不超過某一位的半個單位，該位到的第一位非零數(shù)字共有位，則稱有位有效數(shù)字有效數(shù)字(另外一種定義形式)注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效數(shù)字。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。數(shù)字末尾的0不可隨意省去！用科學計數(shù)法，記其中，若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有位有效數(shù)字，精確到。例1：問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位。43規(guī)格化形式有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系.

有效數(shù)字相對誤差限已知x*

有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為相對誤差限

有效數(shù)字已知x*

的相對誤差限可寫為則可見x*

至少有n

位有效數(shù)字。例2：為使

的相對誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知

a1=3，則從以上不等式可解得

n>6log6，即

n6，應(yīng)取

*=3.14159。例3計算下列多項式的值為已知數(shù)據(jù)分析：輸入數(shù)據(jù)為，輸出數(shù)據(jù)為，若直接由算出，再乘相應(yīng)的系數(shù)并相加，則要做次乘法和次加法，占用個存儲單元。秦九韶方法，也稱為Horner算法用遞推公式表示為只用次乘法和次加法，并占用個存儲單元

三、數(shù)值算法及穩(wěn)定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截斷誤差

/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起例4近似計算一個算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動（即誤差），而計算過程中舍入誤差不增長,則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。（數(shù)值穩(wěn)定性/*NumericalStability*/）對數(shù)學問題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動，引起輸出數(shù)據(jù)（即問題真解）的很大擾動，這就是病態(tài)問題。（病態(tài)問題/*ill-posedproblem*/）

它是數(shù)學問題本身性質(zhì)所決定的，與算法無關(guān)，也就是說對病態(tài)問題，用任何算法（或方法）直接計算都將產(chǎn)生不穩(wěn)定性。

此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!例5計算公式一：考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增趨勢。初始的小擾動公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性將會是一個非常重要的話題。例6：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！紐約北京這是一個病態(tài)問題關(guān)于蝴蝶效應(yīng)§2

誤差分析的方法和原則

/*ErrorAnalysis*/一、誤差分析的方法利用原始數(shù)據(jù)的誤差限，根據(jù)誤差的運算法則，隨著計算過程逐步向前進行分析，直至估計出最后的結(jié)果。注：兩個近似數(shù)，四則運算得到的誤差限分別為（1）（2）對于函數(shù)y=f(x)，若用x*取代x，將對y產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheoremx*

與x非常接近時，可認為，則有：即：產(chǎn)生的誤差經(jīng)過作用后被放大/縮小了

倍。故稱

為放大/縮小因子

/*amplificationfactor*/

或

絕對條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.相對誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點是小\大，則稱

f在該點是好條件的

/*well-conditioned*/

\壞條件的

/*ill-conditioned*/。注：關(guān)于多元函數(shù)

可類似討論，理論工具：Taylor公式例7設(shè),試求函數(shù)的相對誤差限.解：由題設(shè)知:近似值為,絕對誤差限為

二、幾點注意事項

/*Remarks*/1、

避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗性避免方法：當|x|<<1時：2、

避免小分母:分母小會造成浮點溢出

/*overflow*/3、避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094、

先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為5、選用穩(wěn)定的算法。稱為尾數(shù)，j為階§3計算機的數(shù)系結(jié)構(gòu)/*StructureofNumberSystem

*/計算機的數(shù)系是一個不完整的數(shù)系。計算機只能表示有限個數(shù)，即計算機的精度是有限的。每種計算機內(nèi)部運算是按固定的有限位數(shù)進行的，也就是按固定位數(shù)的有限位浮點數(shù)進行運算的。浮點數(shù)系統(tǒng)由四個整數(shù)表征：基，精度（尾數(shù)）位數(shù)，下溢界和上溢界計算機所表示的數(shù)的集合(規(guī)格化浮點數(shù)系)：

若