3.1獨立性檢驗

問題:

數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買一塊1000g的面包，并記錄下買回的面包的實際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)“面包份量足”，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g；“這個平均值不大于950g”是一個與假設(shè)“面包份量足”矛盾的小概率事件；這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。一:假設(shè)檢驗問題的原理

假設(shè)檢驗問題由兩個互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個叫做備擇假設(shè)，用H1表示。例如，在前面的例子中，原假設(shè)為：H0：面包份量足，備擇假設(shè)為：H1：面包份量不足。這個假設(shè)檢驗問題可以表達(dá)為：

H0：面包份量足←→H1：面包份量不足二:求解假設(shè)檢驗問題考慮假設(shè)檢驗問題：

H0：面包分量足←→H1：面包分量不足在H0成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率事件；如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。求解思路分析：本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。獨立性檢驗在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。例1．某醫(yī)療機(jī)構(gòu)為了了解患慢性支氣管炎與吸煙是否有關(guān)，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了339名50歲以上的人，其中吸煙者205人，不吸煙者134人．調(diào)查結(jié)果是：吸煙的205人中有43人患呼吸道疾?。ê喎Q患?。?，162人未患呼吸道疾?。ê喎Q未患?。?；不吸煙的134人中有13人患病，121人未患病．問題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定“患慢性支氣管炎與吸煙有關(guān)”？（1）為了研究這個問題，將上述數(shù)據(jù)用下表來表示：患病未患病合計吸煙43162205不吸煙13121134合計56283339（2）估計吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異：在吸煙的人中，有的人患病，在不吸煙的人中，有的人患?。畣栴}：由上述結(jié)論能否得出患病與吸煙有關(guān)？把握有多大？

（1）假設(shè)：患病與吸煙沒有關(guān)系．若將表中“觀測值”用字母表示，則得下列2×2列聯(lián)表：不吸煙（患病（B）未患病()合計吸煙An11n12n1+不吸煙n21n22n2+合計n+1n+2n

即n11(n21+n22)≈n21(n11+n12)n11n22－n21n12≈0，因此，|n11n22－n21n12|越小，患病與吸煙之間的關(guān)系越弱，否則，關(guān)系越強(qiáng)．近似的判斷方法：設(shè)n=n11+n21+n12+n22，如果H0成立，則在吸煙的人中患病的比例與不吸煙的人中患病的比例應(yīng)差不多，由此可得，

上面的話的意思是指事件A與B獨立，這時應(yīng)該有P(AB)=P(A)P(B)成立，

我們用H0表示上式，即H0：P(AB)=P(A)P(B).并稱之為統(tǒng)計假設(shè)，當(dāng)H0成立時，下面的三個式子也成立：根據(jù)概率的統(tǒng)計定義，上面提到的眾多事件的概率都可以用相應(yīng)的頻率來估計。例如P(AB)的估計為P(A)的估計為，P(B)的估計為，……于是與應(yīng)該很接近，……?；蛘哒f應(yīng)該比較小.從而也應(yīng)該比較小。（2）卡方統(tǒng)計量：為了消除樣本對上式的影響，通常用卡方統(tǒng)計量（χ2

）來進(jìn)行估計．卡方χ2統(tǒng)計量公式：用它的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0，如果算出的χ2值較大，就拒絕H0，也就是拒絕“事件A與事件B無關(guān)”，從而就認(rèn)為它們是有關(guān)的了（3）兩個臨界值：3.841與6.635.

經(jīng)過對χ2統(tǒng)計量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個臨界值：3.841與6.635。當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的χ2>3.841時，有95%的把握說事件A與事件B有關(guān)；當(dāng)χ2>6.635時，有99%的把握說事件A與事件B有關(guān)；當(dāng)χ2<3.841時，認(rèn)為事件A與事件B無關(guān)；

象以上這種用χ2統(tǒng)計量研究吸煙與患呼吸道疾病是否有關(guān)等問題的方法稱為獨立性檢驗．

對于例1，最理想的解決辦法是向所有的50歲以上的人作調(diào)查，然后對所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計處理，但這花費的代價太大，實際上也是行不通的。339個人相對于全體50歲以上的人，只是一小部分回憶一下數(shù)學(xué)必修3中學(xué)過的總體與樣本的關(guān)系，當(dāng)用樣本平均數(shù)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體的相應(yīng)的數(shù)字特征時，由于抽樣的隨機(jī)性，結(jié)果并不惟一?，F(xiàn)在的情況類似，我們用部分對全體作推斷，推斷可能正確，也可能錯誤，例如我們知道，不少的中老年煙民的身體很好，沒有患慢性支氣管炎；而又有很多的從不吸煙的中老年人體質(zhì)很差，患有慢性支氣管炎。如果抽取的339個調(diào)查對象中很多人來自上述兩個群體，試想會得出什么結(jié)論吧。我們說有95%（或99%）的把握說事件A與事件B有關(guān)，是指推斷犯錯誤的可能性為5%（或1%），這也是常常說成是“有95%（或99%）的概率”，其含義是一樣的。解：由公式因為7.469>6.635，所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性支氣管炎與吸煙有關(guān)。Ⅱ類1類2合計Ⅰ類An11n12n1+類B

n21n22n2+合計n+1n+2n獨立性檢驗的一般步驟：一般地，對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值：類A和類B（如吸煙與不吸煙），Ⅱ也有兩類取值：類1和類2（如患呼吸道疾病與不患呼吸道疾?。玫饺缦卤硭荆侯愵?/p>

類類推斷“Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系”的步驟為：第一步，提出假設(shè)H0：兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ沒有關(guān)系；第二步，根據(jù)2×2列聯(lián)表和公式計算χ2統(tǒng)計量；第三步，比對兩個臨界值，作出判斷．例2：對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計68324392

試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。解：這是一個2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗問題，由公式因為1.780<3.841，我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)生過心臟病”有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作心臟病與否跟他做過何種手術(shù)無關(guān)。例3．某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得的數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革合計工作積極544094工作一般326395合計86103189

對于人力資源部的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？解：這是一個2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗問題，由公式因為10.759>6.635，所以有99%的把握說：員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關(guān)的?？梢哉J(rèn)為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的。例4．在一次惡劣氣候的飛行航程中調(diào)查男女乘客在機(jī)上暈機(jī)的情況如下表所示，根據(jù)此