第五講高階線性微分方程高階線性微分方程一、高階微分方程的概念二、線性微分方程的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程一、高階微分方程的概念二、線性微分方程的結(jié)構(gòu)引例例1設(shè)有一個彈簧，它的上端固定，下端掛一個質(zhì)量為m的物體.當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時，作用在物體上的重力與彈性力大小相等、方向相反.物體的初始速度為阻力的大小與運(yùn)動速度成正比、方向相反，確定物體的振動規(guī)律.齊次方程通解Y

非齊次

齊次一階線性方程通解:非齊次方程特解二階線性微分方程形式：特點(diǎn)：n階線性微分方程形式：特點(diǎn)：為一次關(guān)于為一次關(guān)于分類：對比：推廣：高階線性微分方程一、高階微分方程的概念二、線性微分方程的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程一、高階微分方程的概念二、線性微分方程的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（一）線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)（二）線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（一）線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)（二）線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)(疊加原理)

定理1注是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解例:不一定是所給二階方程的通解.是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.則為任意常數(shù))若函數(shù)是定義在區(qū)間I

上的

n

個函數(shù),則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),

否則稱為線性無關(guān).例如：在(,)上：故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);若在某區(qū)間

I上必需全為0,在任何區(qū)間I

上都線性無關(guān).使得若存在不全為0的常數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)定義：兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使線性無關(guān)常數(shù)線性無關(guān)可微函數(shù)是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解

方程特解常數(shù),通解推論定理2

則

是該方程的通解.

（C1、C2是任意常數(shù)）例是n

階齊次方程的n

個線性無關(guān)解,則方程的通解為若為任意常數(shù))二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（一）線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)（二）線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（一）線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)（二）線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)則是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)

是相應(yīng)齊次方程的通解,是非齊次方程的通解.定理3定理4

(非齊次方程解的疊加原理)

分別是方程的特解,是方程的特解.設(shè)則給定n階非齊次線性方程是對應(yīng)齊次方程的

n

個線性無關(guān)特解是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為