§3.5回歸模型的其他函數形式

一、模型的類型與變換二、非線性回歸實例

前面我們學習的線性回歸模型，解釋變量和被解釋變量之間都呈現線性關系，但社會經濟現象是極其復雜的，有時解釋變量和被解釋變量之間的依存關系不一定是線性的，而可能存在某種非線性關系。

如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現為冪函數曲線形式、宏觀經濟學中的菲利普斯曲線（Pillipscuves）表現為雙曲線形式等。

這時，就需要選擇適當類型的曲線模型擬合這種關系，這就是非線性回歸模型或曲線回歸模型。但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數學處理，使之化為數學上的線性關系，從而可以運用線性回歸的方法進行計量經濟學方面的處理。

一、模型的類型與變換1、直接置換法

這類模型通過簡單的變量換元可直接化為線性回歸模型。由于這類模型的被解釋變量沒有變形，所以可直接采用OLS估計回歸系數并進行檢驗和預測。

例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線：拋物線

s=a+br+cr2+μ

，c<0

s：稅收；r：稅率，

設X1=r，X2=r2，則原方程變換為

s=a+bX1+cX2+μ

，c<0.（1）多項式模型設原方程變換為

例如，Y

：兒童死亡率；X：人均GDP。（2）雙曲線模型

設原方程變換為

用于測量許多經濟變量的增長率，故又稱增長模型。

設

則原方程變換為（3）對數模型半對數模型

雙對數模型

雙對數模型由于彈性為常數β1

，故稱為不變彈性模型，應用非常廣泛。2、間接置換法

這類模型經常通過對數代換間接地化為線性回歸模型。由于這類模型在對數代換過程中改變了因變量的形態(tài)，使得變形后模型的OLS估計失去了原模型的殘差平方和最小的意義，從而估計不到原模型的最佳回歸系數，可能造成回歸模型與原數據之間的較大偏差。（1）指數函數模型兩邊取對數，

例如，Cobb-Dauglas生產函數模型

Q=AKLeμ,Q：產出量，K：投入的資本；L：投入的勞動

方程兩邊取對數：

lnQ=lnA+lnK+lnL+μ.（2）冪函數模型兩邊取對數，3、復雜函數模型與級數展開法

有些模型非但不是線性的，而且也無法采取變量替換的方法化為線性形式，如

對這類模型的參數估計，一般采用高斯-牛頓迭代法。即先將非線性模型在初始值處展開成泰勒級數，略去高次項，用低次項近似替代，然后用OLS法估計參數。重復上述兩個步驟，得到參數估計值的收斂點列，將收斂點列的極限作為最后估計的結果。方程兩邊取對數后，得到：Q:產出量,K:資本,L:勞動,:替代參數,:分配參數。

例如，常替代彈性CES生產函數模型

設其在ρ=0處展開，有于是

利用OLS估計參數δ1，ρ1，再以δ1，ρ1為初始值，待入迭代方程，得到δ2，ρ2，如此循環(huán)，得到兩組參數估計的點列{δi}，{ρi}。若點列收斂，則停止，極限值即為估計值；若發(fā)散，則重選初始值。

二、非線性回歸實例

例3.5.1

建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數模型。

根據需求理論，居民對食品的消費需求函數大致為Q:居民對食品的需求量，X：消費者的消費支出總額P1:食品價格指數，P0：居民消費價格總指數。

零階齊次性，當所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變。(*)(**)

為了進行比較，將同時估計（*）式與（**）式。

根據恩格爾定律，居民對食品的消費支出與居民的總支出間呈冪函數的變化關系:

首先,確定具體的函數形式：對數變換:考慮到零階齊次性時，(***)(****)(****)式也可看成是對（***）式施加如下約束而得因此，對（****）式進行回歸，就意味著原需求函數滿足零階齊次性條件。X：人均消費X1：人均食品消費GP：居民消費價格指數FP：居民食品消費價格指數XC：人均消費（90年價）Q：人均食品消費（90年價）P0：居民消費價格縮減指數（1990=100）P1：居民食品消費價格縮減指數（1990=100中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費特征：消費行為在1981~1995年間表現出較強的一致性1995年之后呈現出另外一種變動特征。建立1981~1994年中國城鎮(zhèn)居民對食品的消費需求模型:(9.03)(25.35)(-2.28)