大數(shù)定律與中心極限定理第五章大數(shù)定律與中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科。只有在相同的條件下進行大量重復試驗時,隨機現(xiàn)象的規(guī)律性才會呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機現(xiàn)象中尋求必然的法則,應該研究大量隨機現(xiàn)象。

研究大量的隨機現(xiàn)象,極限工具無疑是最有效的方法。這導致了對極限定理的研究。

極限定理包含的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩類:大數(shù)定律與中心極限定理要解決的問題為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？為何能以樣本均值作為總體期望的估計？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎是什么？大數(shù)定律中心極限定理

大量隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性：由于大量的隨機現(xiàn)象中,個別隨機現(xiàn)象所引起的偏差會相互抵消和補償，致使大量隨機現(xiàn)象的共同作用的總平均結(jié)果趨于穩(wěn)定。

——大數(shù)定律的客觀背景一、切比雪夫不等式在未知分布的情形下估計

P(|X-EX|<

)第一節(jié)大數(shù)定律證(僅就連續(xù)的情形給出證明)

由切比雪夫不等式可看出：DX越小,則事件{|X-EX|<

}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大。由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機變量取值的離散程度不成立二、大數(shù)定律則由切比雪夫不等式，有定理表明：在n重貝努利獨立試驗中，當試驗次數(shù)n→∞時，事件A的頻率依概率收斂于事件A的概率。貝努利大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率方法的理論依據(jù)，即用頻率估計概率是合理的。定理說明：

辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值,提供了一條實際可行的途徑:

若視X

i

為重復試驗中對隨機變量X的第i

次觀察,

例如,有一批產(chǎn)品,不知其壽命X的分布,為評價其質(zhì)量，需確定其平均壽命X,隨機的從中抽取n件產(chǎn)品并測得其壽命分別

例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，可收割某些有代表性的地塊，計算其平均畝產(chǎn)量，當n

較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個近似.

(1)所表示的關(guān)系記為我們把

大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應用。Xn依概率收斂于a

Xn

服從大數(shù)定律

貝努利大數(shù)定律——小結(jié)

切比雪夫大數(shù)定律——

辛欽大數(shù)定律——中心極限定理的客觀背景

在實際問題中,常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.

例如,炮彈射擊的落點與目標的偏差,就受著許多隨機因素的影響.

如瞄準時的誤差,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.重要的是隨機因素的總影響.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后,人們發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布在自然界中極為常見.

觀察表明,如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成,

而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.第二節(jié)中心極限定理當

n無限增大時,這個和的極限分布是什么呢?在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？在一般情況下,很難求出

X1+X2+

…+Xn

分布的確切形式,但當n很大時,可以求出這個和的近似分布.下面來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題:

研究n個隨機變量之和的標準化隨機變量的分布函數(shù)的極限.中心極限定理把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.應用中的概率解釋：盡管該電網(wǎng)負責供應一萬盞燈所需的電力,但提供

7200

盞燈所需的電力就能以

99.99%

的概率保證需求.

解

即要求最小的

k,使得

P(0X

k)0.

90

.由D-L中心極限定理：故至少應安裝14條外線.解

設

X

為一年內(nèi)總死亡人數(shù)，則

X

~

B(n,p)該活動中保險公司每年總收入為10000

×12

=120000,(1)

只有死亡人數(shù)多于120人時,公司才會賠本.(2)

僅當每年死亡人數(shù)不超過

80

人時,公司獲利不少于40000元.

下面給出獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理,也稱Levy—Lindberg定理.可近似認為:解設一箱口服液凈重為X

克,箱中第i瓶凈重為

X

i(

i=1,…,200

)顯然X

i

獨立且同分布，且EX

i

=100,DX

i

=10

2

(i=

1,…,200).由獨立同分布中心極限定理知

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一,它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法,而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘型曲線這一事實.

不難發(fā)現(xiàn),在許多領(lǐng)域里,研究的課題所碰到的許多隨機現(xiàn)象都很好地近似正態(tài)分布