2022年廣東省揭陽(yáng)市岐山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a，燈塔A在C的北偏東20°，燈塔B在C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為

(

)A．a(chǎn)B.a

C.a

D．2a參考答案：B略2.已知集合，，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱，正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖面積為（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知a，b為實(shí)數(shù)，則2a>2b是log2a>log2b的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B5.已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（）且當(dāng)x∈[，1]時(shí)，f（x）=lnx，若當(dāng)x∈[]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax與x軸有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[﹣πl(wèi)nπ，0] C．[﹣，] D．[﹣，﹣]參考答案：B【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】由題意先求出設(shè)x∈[1，π]上的解析式，再用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax與x軸有交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：設(shè)x∈[1，π]，則∈[，1]，因?yàn)閒（x）=f（）且當(dāng)x∈[，1]時(shí)，f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，則f（x）=，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）﹣ax與x軸有交點(diǎn)，所以直線y=ax與函數(shù)f（x）的圖象有交點(diǎn)，由圖得，直線y=ax與y=f（x）的圖象相交于點(diǎn)（，﹣lnπ），即有﹣lnπ=，解得a=﹣πl(wèi)nπ．由圖象可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[﹣πl(wèi)nπ，0]故選：B．6.已知函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

A.

B.

C.

D.參考答案：D7.若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，滿足，則與

的面積之比為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：A8.江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距（

）A.10米

B.100米

C.30米

D.20米參考答案：C略9.已知D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若=x+y，則xy的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：D【考點(diǎn)】7G：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】利用已知條件推出x+y=1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【解答】解：D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若=x+y，可得x+y=1，x，y∈[，]，則xy≤=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)，并且xy=x（1﹣x）=x﹣x2，函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為：x=，當(dāng)x=或x=時(shí)，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：[，]．故選：D．10.如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形組成的網(wǎng)格中，設(shè)橢圓C1、C2、C3的離心率分別為e1、e2、e3，則(

) A．e1=e2＜e3 B．e2=e3＜e1 C．e1=e2＞e3 D．e2=e3＞e1參考答案：D考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由圖形可知，橢圓C1、C2、C3的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，分別計(jì)算離心率，即可求得結(jié)論．解答： 解：由圖形可知，橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2a，短半軸長(zhǎng)為1.5a，則e1==橢圓C2的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4a，短半軸長(zhǎng)為2a，則e2==橢圓C3的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為6a，短半軸長(zhǎng)為3a，則e2==∴e2=e3＞e1，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a,b滿足（a+2b）（a-b）=-6，,=1，=2，則a與b的夾角為

參考答案：12.為等比數(shù)列，若，則數(shù)列的通項(xiàng)=_____________.參考答案：或略13.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，則

▲

．參考答案：

14.如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，M、N分別是AB、A1D1的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為

。

參考答案：答案:

15.為了了解高三學(xué)生的身體狀況，抽取了部分男生的體重，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如下左圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的男生人數(shù)是

。參考答案：48略16.設(shè)變量、滿足約束條件，則最大值是

．參考答案：1017.（2009江蘇卷）函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則=

.參考答案：解析：考查三角函數(shù)的周期知識(shí)。

，，所以，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓：的焦點(diǎn)為，P是橢圓上任意一點(diǎn)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的是圓O：上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，證明：的大小為定值．參考答案：解（Ⅰ）因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，所以，可得，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，所以，可得，所求橢圓的方程為．

………5分（Ⅱ)直線的方程為

，且，記，，聯(lián)立方程，消去得，，

………8分，從而，為定值．

………13分19.二次函數(shù)滿足,且，（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間[－1,1]上，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：(1)(2)20.已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的最小值及相應(yīng)的x值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（Ⅰ）將a=﹣2代入，然后求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），欲證函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)只需證導(dǎo)函數(shù)在（1，+∞）上恒大于零即可；（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=x2﹣2lnx，當(dāng)x∈（1，+∞），，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ），當(dāng)x∈，2x2+a∈．若a≥﹣2，f'（x）在上非負(fù)（僅當(dāng)a=﹣2，x=1時(shí)，f'（x）=0），故函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，此時(shí)min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，當(dāng)時(shí)，f'（x）=0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．故min==若a≤﹣2e2，f'（x）在上非正（僅當(dāng)a=﹣2e2，x=e時(shí)，f'（x）=0），故函數(shù)f（x）在上是減函數(shù)，此時(shí)min=f（e）=a+e2．綜上可知，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣2時(shí)，f（x）的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)a≤﹣2e2時(shí)，f（x）的最小值為a+e2，相應(yīng)的x值為e【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．21.函數(shù)f(x)=loga(x2－4ax+3a2),0<a<1,當(dāng)x∈[a+2,a+3]時(shí)，恒有|f(x)|≤1，試確定a的取值范圍.

參考答案：22.設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），上頂點(diǎn)為A，過(guò)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且F1為QF2的中點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F2的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)F1、F2的坐標(biāo)，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)以及向量、的坐標(biāo)，分析可得，分析可得a、b的值，代入橢圓的方程即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由M、N的坐標(biāo)表達(dá)△F1MN的面積，分析可得要使△F1MN內(nèi)切圓的面積最大，只需R最大，此時(shí)也最大，進(jìn)而設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析可得，由換元法分析可得答案．【解答】解：（1）由題A（0，b），F(xiàn)1為QF2的中點(diǎn)．設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），則Q（﹣3c，0），，，由題，即，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0即a2=4c2，a2=4，b2=3故所求的橢圓C的方程為．（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題y1，y2異號(hào)，設(shè)△F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R，則△F1