Chapter5

載波和符號(hào)同步2基本概念為什么要進(jìn)行載波和符號(hào)同步?接收機(jī)同步抽樣的需要。必須從接收信號(hào)中導(dǎo)出符號(hào)定時(shí)；相干檢測(cè)的需要。接收機(jī)必須估計(jì)載波相位的偏移。精確相位估計(jì)的重要性:例：考查DSB-SC信號(hào)接收機(jī)參考載波低通濾波器輸出：相位誤差的影響：10o→功率損失0.13dB30o→功率損失1.25dB以因子降低信號(hào)電壓以因子降低信號(hào)功率3例：QAM和M-PSK信號(hào)解調(diào)的情況發(fā)送信號(hào)：正交載波：解調(diào)后：（經(jīng)低通濾波器處理后）同相分量正交分量結(jié)論：在QAM和M-PSK中，相位誤差的影響比PAM信號(hào)嚴(yán)重；不僅使信號(hào)功率減少因子 ，而且同相和正交分量之間存在著交互干擾?；靖拍?載波和符號(hào)同步中要估計(jì)的信號(hào)參數(shù)發(fā)送信號(hào)接收信號(hào)傳播延遲引起的載波相位實(shí)際中，為了解調(diào)和相干檢測(cè)，必須估計(jì)兩個(gè)參數(shù)：τ，信號(hào)經(jīng)過高斯噪聲信道，并產(chǎn)生的延遲。接收信號(hào)：

,令代表向量則： 信號(hào)參數(shù)估計(jì)除了受的影響外，還要受到其他因素的影響！5估計(jì)方法：兩個(gè)基本準(zhǔn)則最大似然ML準(zhǔn)則最大后驗(yàn)概率MAP準(zhǔn)則使后驗(yàn)概率密度函數(shù)最大均勻分布時(shí)：最大最大對(duì)應(yīng)于基于接收向量r的聯(lián)合PDFP(r|

)，求使其最大的。兩者之間的關(guān)系：兩種準(zhǔn)則是等價(jià)的。下面我們主要討論ML準(zhǔn)則。信號(hào)參數(shù)估計(jì)6如何獲得似然函數(shù),并導(dǎo)出參數(shù)估計(jì)值?

（兩條途徑）信號(hào)參數(shù)估計(jì)由r(t)的展開式根據(jù)r(t)展開式隨機(jī)變量[r1,r2,…rN]的聯(lián)合PDF來導(dǎo)出；直接處理接收信號(hào)波形，從P(r|

)的連續(xù)時(shí)間等效形式中導(dǎo)出.接收信號(hào)：向量表示：其中：n：零均值高斯白噪聲r(shí)的聯(lián)合PDF:指數(shù)項(xiàng)的自變量：（連續(xù)化）7似然函數(shù)最大最大似然函數(shù)等價(jià)于定義：信號(hào)參數(shù)估計(jì)P(r|

)

關(guān)于信號(hào)參數(shù)的最大化問題：后面將根據(jù)(

)最大的觀點(diǎn)研究參數(shù)估計(jì)。估計(jì)的參數(shù)為：→{,}8幾種具體的接收機(jī)結(jié)構(gòu)二進(jìn)制PSK（或二進(jìn)制PAM）載波相位估計(jì)值用來給相關(guān)器產(chǎn)生參考信號(hào)符號(hào)同步器控制抽樣器和信號(hào)脈沖發(fā)生器的輸出若信號(hào)脈沖是矩形波，信號(hào)發(fā)生器可以略去信號(hào)參數(shù)估計(jì)在數(shù)字通信系統(tǒng)中：同步地傳輸信息——符號(hào)同步進(jìn)行相干檢測(cè)——載波恢復(fù)9M元PSK接收機(jī)的方框圖用兩個(gè)相關(guān)器使接收信號(hào)與兩個(gè)正交載波相關(guān)檢測(cè)器是一個(gè)相位檢測(cè)器，它將接收信號(hào)相位與可能的發(fā)送信號(hào)相位進(jìn)行比較。信號(hào)參數(shù)估計(jì)10PAM接收機(jī)的方框圖用了一個(gè)相關(guān)器；檢測(cè)器是一個(gè)幅度檢測(cè)器，它將接收信號(hào)的幅度與可能的發(fā)送信號(hào)的幅度進(jìn)行比較；自動(dòng)增益控制（AGC）用于消除信道增益的變化。信號(hào)參數(shù)估計(jì)11QAM接收機(jī)的方框圖類似PSK解調(diào)器，產(chǎn)生同相和正交信號(hào)樣值X,Y給檢測(cè)器；檢測(cè)器計(jì)算接收信號(hào)點(diǎn)與M個(gè)可能發(fā)送信號(hào)點(diǎn)之間的歐氏距離，并選擇最接近接收點(diǎn)的信號(hào)；自動(dòng)增益控制（AGC）用于消除信道增益的變化信號(hào)參數(shù)估計(jì)125.2載波的相位估計(jì)13解決載波同步的兩種方法直接法：載波相位估計(jì)復(fù)用法：直接從已調(diào)信號(hào)中導(dǎo)出載波相位的估計(jì)值。

發(fā)送導(dǎo)頻信號(hào)（未調(diào)載波分量），接收機(jī)用鎖相環(huán)獲取并跟蹤這個(gè)載波分量。14對(duì)數(shù)似然函數(shù)：最大最大等價(jià)于載波相位估計(jì)最大似然載波相位估計(jì)為簡(jiǎn)單起見，令似然函數(shù)：ML估計(jì)值就是使取最大的值不包含信號(hào)能量(對(duì)任何）最大似然準(zhǔn)則：只有該項(xiàng)依賴于的選擇15例：未調(diào)載波信號(hào)（導(dǎo)頻信號(hào)）：接收信號(hào)采用一個(gè)環(huán)路（鎖相環(huán)PLL）提取估計(jì)值.對(duì)數(shù)似然函數(shù)：另一種實(shí)現(xiàn)：實(shí)現(xiàn)方法：載波相位估計(jì)PLL提供了一個(gè)未調(diào)載波相位的ML估計(jì)值16另一種實(shí)現(xiàn)方法

——用正交載波與r(t)互相關(guān)。載波相位估計(jì)該估計(jì)方案直接產(chǎn)生了17載波相位估計(jì)組成：乘法器、環(huán)路濾波器、壓控振蕩器輸入信號(hào)：VCO輸出：乘法器輸出：環(huán)路濾波器（低通）傳遞函數(shù)：VCO瞬時(shí)相位：鎖相環(huán)PLL濾除高頻分量環(huán)路濾波器的輸出為VCO提供控制電壓v(t)v(t)e(t)就是的估計(jì)值產(chǎn)生正弦信號(hào)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)正弦信號(hào)發(fā)生器18PLL簡(jiǎn)化標(biāo)準(zhǔn)式：：臨界阻尼：過阻尼：欠阻尼環(huán)路等效噪聲帶寬：PLL閉環(huán)傳遞函數(shù)：載波相位估計(jì)進(jìn)一步，考慮：輸入信號(hào)與VCO輸出相乘，忽略倍頻項(xiàng)（線性化）環(huán)路阻尼因子：環(huán)路自然頻率：二階環(huán)路的頻率響應(yīng)載波相位估計(jì)19：臨界阻尼：過阻尼：欠阻尼20假設(shè)PLL跟蹤一個(gè)正弦信號(hào)：加性噪聲：環(huán)路濾波器的輸入：加性噪聲對(duì)相位估計(jì)的影響假定噪聲的同相和正交分量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，是平穩(wěn)高斯過程（VCO的輸出乘以s(t)+n(t)，略去倍頻項(xiàng)）載波相位估計(jì)其中：21具有加性噪聲的PLL的等效模型：線性化處理載波相位估計(jì)當(dāng)輸入信號(hào)功率比噪聲功率大很多時(shí)：進(jìn)一步，將增益參數(shù)Ac歸一化處理（同乘于1/Ac），則噪聲項(xiàng)n1(t)變?yōu)椋簄2(t)：加性高斯變量，零均值，功率譜密度22：信噪比SNR等效帶寬內(nèi)的噪聲功率信號(hào)功率討論：SNR足夠大時(shí)，上述結(jié)果適用于PLL線性模型的情況；當(dāng)G(s)=1時(shí)，即一階環(huán)路時(shí)，可采用精確分析（不必對(duì)PLL線性近似）得到

的PDF：精確值與線性模型的比較當(dāng)>3時(shí)，線性模型的方差很接近精確模型的方差。載波相位估計(jì)相位誤差的方差，即VCO輸出相位的方差：一階PLL相位誤差方差的精確值235.2載波的相位估計(jì)——面向判決環(huán)與非面向判決環(huán)24

前面研究的是載波信號(hào)未調(diào)制時(shí)的相位估計(jì)，下面研究信號(hào)s(t,)

攜帶信息序列

{In}時(shí)的相位估計(jì)將{In}作為已知項(xiàng)來處理。——面向判決環(huán)兩種方法：將{In}作為隨機(jī)序列，并在其統(tǒng)計(jì)上求平均

——非面向判決環(huán)問題：如何處理信息序列{In}

？在求()時(shí):面向判決環(huán)假定在觀測(cè)區(qū)間上信息序列已經(jīng)估計(jì)出來，并且無解調(diào)差錯(cuò)25（考查信息序列采用線性調(diào)制的情況）接收信號(hào)：等效低通信號(hào)的似然函數(shù)：對(duì)數(shù)似然函數(shù)：yn：第n個(gè)信號(hào)間隔中匹配濾波器輸出觀測(cè)期間：T0=kT其中：面向判決環(huán)（等效低通信號(hào)表示）面向判決環(huán)帶通與等效低通的關(guān)系：26對(duì)數(shù)似然函數(shù)：稱為面向判決的載波相位估計(jì)（判決反饋）幾種特例：1.雙邊帶PAM信號(hào)接收機(jī)依據(jù)上式的實(shí)現(xiàn)方式面向判決環(huán)g(t-nT)r(t)27另一種實(shí)現(xiàn)方式：采用判決反饋PLL（DFPLL）接收信號(hào)A(t)濾去倍頻項(xiàng)，期望的分量是面向判決環(huán)延遲T秒以允許解調(diào)器達(dá)到一個(gè)判決282.QAM依據(jù)式:面向判決環(huán)r(t)yn(t)In*293.DFPLL的M元PSK解調(diào)后的相位估計(jì)值：上邊路：下邊路：誤差信號(hào)：（環(huán)路濾波器的輸入信號(hào)）上邊路下邊路相位估計(jì)值面向判決環(huán)下邊路r(t)=s(t)+n(t)s(t)=A(t)cos(2fct+m+)303.DFPLL的M元PSK上邊路下邊路

形成e(t)時(shí)，由于兩個(gè)正交噪聲分量呈現(xiàn)為加性項(xiàng)，因此不存在附加的功率損失。特點(diǎn)：CPM信號(hào)的載波相位恢復(fù)也可以采用PLL，以面向判決方式來實(shí)現(xiàn)。相位估計(jì)值面向判決環(huán)31非面向判決環(huán)思想：將數(shù)據(jù)序列{In}處理為隨機(jī)變量，并在最大化前將()對(duì)這些隨機(jī)變量求平均。例1：二進(jìn)制調(diào)制信號(hào)：A=±1且等概，A的PDF：求平均需要用到數(shù)據(jù)的概率分布，如何得到？當(dāng)已知數(shù)據(jù)的實(shí)際概率分布時(shí)，直接利用它；當(dāng)不知道數(shù)據(jù)的實(shí)際概率分布時(shí)，可以作合理的近似。非面向判決環(huán)32將似然函數(shù)()

在A的這兩個(gè)值上求平均：對(duì)數(shù)似然函數(shù)：令非面向判決的ML估計(jì)為了簡(jiǎn)化，可以采用近似：一般情況下，可假定符號(hào)是零均值高斯變量，然后再求平均似然函數(shù)非面向判決環(huán)當(dāng)互相關(guān)比較小時(shí)，對(duì)數(shù)似然函數(shù)包含有一個(gè)平方項(xiàng)。33例2:

在上例中，假設(shè)信號(hào)幅度A是零均值高斯隨機(jī)變量，具有單位方差在A的PDF上對(duì)Λ()求平均，可得平均似然函數(shù)：相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：令即可得

的ML估計(jì)值在高斯假設(shè)情況下，對(duì)數(shù)似然函數(shù)具有平方項(xiàng)；在前面例子中，當(dāng)r(t)與s(t,)的互相關(guān)值比較小時(shí)，也是近似平方的；所以，如果互相關(guān)值比較小，對(duì)信息符號(hào)的分布作高斯假設(shè)就可以得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)較好的近似。說明：非面向判決環(huán)34鑒于上述結(jié)果，該環(huán)相似于Costas環(huán)積分器輸出的兩個(gè)信號(hào)相乘破壞了信息符號(hào)所帶的正負(fù)號(hào)加法器起環(huán)路濾波器的作用說明：QAM，M-PSK的非面向判決ML相位估計(jì)與上相似。

在間隔T0=kT內(nèi)，對(duì)k個(gè)符號(hào)中的每一個(gè)將似然函數(shù)Λ()在高斯PDF上求平均，得：對(duì)觀測(cè)間隔T0內(nèi)所有符號(hào)采用高斯假設(shè)。非面向判決環(huán)35非面向判決環(huán)的幾種結(jié)構(gòu)

平方環(huán)：用于雙邊帶抑載(或PAM)信號(hào)的載波相位估計(jì)

接收機(jī)將接收信號(hào)平方，生成一個(gè)2fc頻率分量，用該分量驅(qū)動(dòng)一個(gè)調(diào)諧在2fc上的鎖相環(huán)PLL平方運(yùn)算導(dǎo)致噪聲增強(qiáng)，從而使相位誤差的方差增加平方環(huán)的VCO輸出必須二分頻存在180度相位模糊（解決方法：差分編碼）注意：取出倍頻項(xiàng)用于驅(qū)動(dòng)PLL非面向判決環(huán)36Costas環(huán)誤差信號(hào)：濾除倍頻項(xiàng)r(t)=s(t)+n(t)濾除倍頻項(xiàng)注意：如同平方PLL一樣，VCO輸出也存在180o相位模糊，可采用差分編碼解決。非面向判決環(huán)e(t)中的期望項(xiàng)s(t)=A(t)cos(2fct+)37●帶通濾波器選擇諧波來驅(qū)動(dòng)PLL；多相位信號(hào)的載波估計(jì)M-PSKM相信號(hào)：m=1,2,…M平方環(huán)推廣M方律器件

由于：因此，信息被除去；方法一：平方環(huán)推廣方法二：基于Costas環(huán)的推廣VCO的輸出被M分頻后，產(chǎn)生非面向判決環(huán)載波相位中攜帶的信息分量將接收信號(hào)進(jìn)行M次方運(yùn)算●VCO輸出：載波恢復(fù)的實(shí)質(zhì)：去除信息分量，從而得到未調(diào)載波38面向判決環(huán)非面向判決環(huán)比較不同之處：僅在于為除去調(diào)制而檢波A(t)的方法上。用來檢波A(t)的兩個(gè)正交信號(hào)都被噪聲惡化用來檢波A(t)的信號(hào)只有一個(gè)被噪聲惡化Costas環(huán)：DFPLL：DFPLL在性能上優(yōu)于Costas環(huán)和平方環(huán)！方法二：基于Costas環(huán)的推廣

（較為復(fù)雜，一般不采用）非面向判決環(huán)代表：DFPLL

代表：Costas環(huán)395.3符號(hào)定時(shí)估計(jì)40背景為了周期抽樣，要求在接收機(jī)中有一個(gè)時(shí)鐘；接收機(jī)提取時(shí)鐘信號(hào)的處理過程稱為符號(hào)同步或定時(shí)恢復(fù)；接收機(jī)不僅必須知道抽樣頻率1/T，也要知道在每個(gè)符號(hào)間隔中什么位置上抽樣。方法發(fā)送機(jī)和接收機(jī)都同步于一個(gè)主時(shí)鐘；發(fā)送機(jī)發(fā)送一個(gè)時(shí)鐘頻率為1/T（或1/T的倍頻）信號(hào)；直接從接收到的數(shù)據(jù)信號(hào)中提取。（最大似然定時(shí)估計(jì)）面向判決非面向判決抽樣時(shí)刻的選擇稱為定時(shí)相位。符號(hào)定時(shí)估計(jì)抽樣時(shí)刻：t=mT+

，是傳播延遲。41最大似然定時(shí)估計(jì)接收信號(hào)：

面向判決定時(shí)估計(jì)：對(duì)數(shù)似然函數(shù)：其中：假設(shè)信號(hào)部分是一個(gè)基帶PAM波形:符號(hào)定時(shí)估計(jì)42跟蹤環(huán)的實(shí)現(xiàn):y(t)其中：說明：環(huán)路中的求和器充當(dāng)環(huán)路濾波器，它的輸出驅(qū)動(dòng)壓控時(shí)鐘VCC；VCC控制環(huán)路輸入的抽樣時(shí)間；采用等效低通信號(hào)的處理方法，可直接將上述方法推廣到載波已調(diào)信號(hào)的形式，如QAM和PSK符號(hào)定時(shí)估計(jì)43

非面向判決定時(shí)估計(jì)：方法：首先將似然函數(shù)()在信息符號(hào)的PDF上求平均，得到再對(duì)或求導(dǎo)，得到最大似然估計(jì)值的條件跟蹤環(huán)的實(shí)現(xiàn)y(t)二進(jìn)制PAM：In=±1且等概時(shí):符號(hào)定時(shí)估計(jì)44兩種方案中，求和器是用來驅(qū)動(dòng)VCC的環(huán)路濾波器另一種基于上式的跟蹤環(huán)該種方案的定時(shí)環(huán)與用于相位估計(jì)的Costas環(huán)相似。y(t)yn()符號(hào)定時(shí)估計(jì)45另一種非面向判決定時(shí)估計(jì)器——

早遲門同步器特點(diǎn)：

利用了匹配濾波器或相關(guān)器輸出端信號(hào)的對(duì)稱性：

匹配濾波器的輸出相對(duì)最佳抽樣時(shí)刻t=T是偶函數(shù)。兩個(gè)相關(guān)器，一個(gè)提前秒，另一個(gè)推遲秒；相關(guān)器輸出絕對(duì)值之差形成誤差信號(hào)；低通濾波器平滑噪聲對(duì)信號(hào)樣值得影響若定時(shí)誤差偏離最佳抽樣時(shí)刻，環(huán)路濾波器輸出的平均誤差信號(hào)非零，正負(fù)號(hào)取決于時(shí)鐘信號(hào)是遲后還是提前。VCC的輸出就是期望的時(shí)鐘信號(hào)。符號(hào)定時(shí)估計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃訒r(shí)刻：在T-與T+之間的中點(diǎn)！46載波相位和符號(hào)定時(shí)的聯(lián)合估計(jì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)：其中，其中：得和的ML估計(jì)值一般情況下，聯(lián)合ML估計(jì)得到的估計(jì)值要優(yōu)于各自優(yōu)化得到的估計(jì)值。載波相位和符號(hào)定時(shí)聯(lián)合估計(jì)（等效低通信號(hào)形式）為方便，定義：47對(duì)數(shù)似然函數(shù)簡(jiǎn)化為：載波相位和符號(hào)定時(shí)聯(lián)合估計(jì)48QAM和PSK中載波相位和符號(hào)定時(shí)的面向判決聯(lián)合跟蹤環(huán)信道模型和信道容量49最大似然估計(jì)器的性能特征度量信號(hào)參數(shù)估計(jì)的質(zhì)量

——偏差、方差任何ML參數(shù)估計(jì)是漸進(jìn)無偏的和有效的。——無偏估計(jì)無偏的且方差達(dá)到下界限的估計(jì)稱為有效估計(jì)。最大似然估計(jì)。定義：定義：是參數(shù)的真值性能特征觀測(cè)序列[x1,x2,…xn]=x參數(shù)的估計(jì)值：參數(shù)的真值：第6章

信息論基礎(chǔ)信道容量隨機(jī)選擇的碼基于截止速率的通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)6.5信道模型和信道容量51

W僅隨k的增加而線性增加用M=2k個(gè)信號(hào)波形，每個(gè)波形傳遞k比特信息。

，可借助正交的信號(hào)波形使差錯(cuò)概率任意小?；仡檸扺=Mf

隨k增加而指數(shù)增加。信道帶寬利用率太低!編碼波形

（由二進(jìn)制或非二進(jìn)制序列產(chǎn)生的信號(hào)波形）在功率受限系統(tǒng)(R/W<1)和帶寬受限系統(tǒng)(R/W>1)中都具有優(yōu)越性能。M元調(diào)制產(chǎn)生的信號(hào)波形信道容量和信道編碼52信源和輸入變換器信源編碼器信道信源譯碼器數(shù)字調(diào)制器信道編碼器解調(diào)器檢測(cè)器信道譯碼器輸出信號(hào)輸出變換器插入冗余，克服信道干擾和噪聲影響輸入：離散的數(shù)字序列輸出：離散數(shù)字序列；碼率：k/n進(jìn)入通信信道的接口將每個(gè)二進(jìn)制數(shù)字映射為兩個(gè)可能的波形之一或采用M=2q個(gè)可能的波形，一次傳送q比特?cái)?shù)據(jù)塊。將接收到的受信道損傷的波形簡(jiǎn)化成一個(gè)矢量可以把檢測(cè)器判決過程看作是一種Q電平量化形式；

Q=2：二進(jìn)制量化，判決傳送的比特是0還是1（硬判決）對(duì)于M進(jìn)制信號(hào)：Q=M——硬判決；Q>M——軟判決；

Q=——不作量化回顧數(shù)字通信系統(tǒng)的模型信道模型和信道容量發(fā)送器536.5信道模型和信道容量54編碼設(shè)計(jì)時(shí)常用的信道模型描述信道模型的三個(gè)參數(shù)：信道模型和信道容量輸入和輸出序列之間關(guān)系的條件概率:信道的輸入信號(hào)集X信道的輸出信號(hào)集Y如果：對(duì)于所有n則稱信道是無記憶的。（i時(shí)刻的輸出僅取決于i時(shí)刻的輸入）55

最簡(jiǎn)單的信道模型，應(yīng)用于M=2，檢測(cè)器采用硬判決的情況。把調(diào)制、解調(diào)、檢測(cè)看成信道的一個(gè)部分四種信道模型1.二進(jìn)制對(duì)稱信道BSC——合成信道輸入與輸出之間關(guān)系：4個(gè)條件概率:信道模型和信道容量離散二進(jìn)制輸出離散二進(jìn)制輸入每個(gè)輸出比特僅與對(duì)應(yīng)的一個(gè)輸入比特有關(guān)——無記憶562.離散無記憶信道DMC

輸入X、輸出Y的

聯(lián)合概率：i=0,1,…Q-1j=0,1,…M-1無記憶條件條件概率P(yi|xj)可以表示成矩陣形式P

=[pij]，稱為信道的轉(zhuǎn)移概率矩陣。信道模型和信道容量離散輸入M元符號(hào)離散輸出Q元符號(hào)更廣義的離散輸入、離散輸出信道；合成信道的輸入輸出特性（無記憶信道和調(diào)制時(shí)）用MQ個(gè)條件概率描述：Q進(jìn)制輸出M元調(diào)制573.離散輸入、連續(xù)輸出信道調(diào)制器輸入信號(hào)為離散字符，檢測(cè)器的輸出未經(jīng)量化。一組條件概率密度函數(shù)：P(y|X=xk)k=0,1,…q-1例：AWGN信道：信道為無記憶的條件為：信道模型和信道容量連續(xù)輸出Y離散輸入XN：零均值，方差為2的高斯隨機(jī)變量對(duì)于任意給定的輸入序列Xi，相應(yīng)的輸出序列Yi=Xi+Ni

i=1,2,…n584.波形信道把調(diào)制器和解調(diào)器從物理信道中分離出來單獨(dú)研究。將x(t)、y(t)和n(t)展開成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)的完備集：波形信道被簡(jiǎn)化成一個(gè)等效的離散時(shí)間信道！處理：矢量AWGN信道模型：信道模型和信道容量輸出也是波形輸入是波形其中：由于{ni}不相關(guān)，高斯分布59帶寬為W、時(shí)長(zhǎng)為T的信號(hào)空間維數(shù)：N=2WT由維度定理：考慮到信道輸入通常受功率限制：信道模型和信道容量如果對(duì)x(t),y(t)以奈奎斯特速率2W樣值/秒抽樣，則上述結(jié)果就是抽樣信號(hào)的統(tǒng)計(jì)值。即：結(jié)論：波形AWGN信道帶寬W限制；功率P限制等效的離散時(shí)間AWGN信道每秒使用2W次；噪聲方差：2=N0/2輸入功率受限：等效于60幾種信道模型小結(jié)信道模型和信道容量選用何種信道模型完全取決于研究的目的；當(dāng)設(shè)計(jì)和分析離散信道編、譯碼器的性能時(shí)——可以將調(diào)制、解調(diào)器歸并為復(fù)合信道的一部分；當(dāng)設(shè)計(jì)和分析數(shù)字調(diào)制、解調(diào)器的性能時(shí)——可采用波形信道模型。616.5.2

信道容量62信道容量考慮一個(gè)DMC信道：●輸入字符集：●輸出字符集：●轉(zhuǎn)移概率集合：由事件Y=yi

的發(fā)生而提供的關(guān)于X=xj

的互信息：假如傳輸?shù)男盘?hào)是xj，接收到的信號(hào)是yi輸出Y為輸入X提供的平均互信息：由信道特征決定

對(duì)于一組輸入符號(hào)概率p(xj)，I(X,Y)的最大值僅僅取決于由條件概率P(yi|xj)決定的DMC信道的特性！信道模型和信道容量63I(X,Y)的最大值稱為信道容量其中:如果以s

秒輸入一個(gè)符號(hào)，則信道容量為：C/sC的單位：●比特/符號(hào)；●奈特/符號(hào)單位：●bit/s；●奈特/秒信道模型和信道容量64例：BSC信道轉(zhuǎn)移概率：BSC信道容量：H(p)：二進(jìn)熵函數(shù)p是SNR的單調(diào)函數(shù)，所以C也是SNR的單調(diào)函數(shù)當(dāng)輸入概率時(shí)，平均互信息最大。例：離散時(shí)間的AWGN無記憶信道離散輸入連續(xù)輸出信道容量：信道模型和信道容量65當(dāng)P(X=A)=P(X=-A)=1/2時(shí)，平均互信息I(X,Y)最大。信道容量：特例，二進(jìn)制輸入時(shí)，離散時(shí)間的AWGN無記憶信道：注意：當(dāng)比值增大時(shí)，C從0到1比特/符號(hào)單調(diào)增大歸納：選擇等概的輸入符號(hào)能使平均互信息最大。因此，只要令輸入符號(hào)等概，就可以得出信道容量；除了選擇等概以外，一般情況下，只要信道轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)稱，就可以使I(X,Y)最大化。信道模型和信道容量但等概條件下不一定能從信道容量公式得到解；66例：受加性高斯白噪聲干擾的帶限波形信道

（求AWGN信道容量）y(t)=x(t)+n(t)用抽樣值（或級(jí)數(shù)展開系數(shù)）

{yi},{xi},{ni}來表征yi=xi

+ni計(jì)算序列XN={x1,x2,…xN}，YN={y1,y2,…yN}的平均互信息:其中:假設(shè){xi}是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,均值為零的高斯隨機(jī)變量,其PDF為:信道模型和信道容量（N=2wT）67AWGN信道容量:假設(shè)對(duì)發(fā)送信號(hào)x(t)的平均功率加以限制單位時(shí)間的信道容量：Shannon信道容量公式（AWGN信道在帶限及平均功率受限的輸入條件下）信道模型和信道容量（N=2wT）68討論:如果帶寬固定，波形信道的容量隨傳輸信號(hào)功率的增加而增加。如果Pav固定，容量隨帶寬w的增加而增加。注意:，信道容量趨于一個(gè)漸近值:信道容量隨SNR的增加而單調(diào)增加。對(duì)帶寬歸一化后的信道容量曲線信道模型和信道容量結(jié)論：信噪比和帶寬可以互換！在AWGN信道，C與帶寬W，發(fā)送功率Pav有關(guān)！無限帶寬AWGN的信道容量69討論:將C/w表示成信噪比的函數(shù):C的單位：bit/sPav：平均功率由于:C/w

→時(shí)，b/N0呈指數(shù)增加信道模型和信道容量70信道模型、信道容量小結(jié)離散輸入、離散輸出信道（特例：BSC）離散輸入、連續(xù)輸出、無記憶加性高斯白噪聲信道波形信道及信道容量信道帶寬受限信號(hào)受加性高斯噪聲損傷發(fā)送機(jī)平均功率受限約束條件：信道容量：噪聲編碼定理：

只要傳輸速率R<C，總存在一種信道編碼，以所要求的任意小的差錯(cuò)概率實(shí)現(xiàn)可靠通信。反之，如果R>C,不可能有任何一種編碼能使差錯(cuò)概率趨近于零。信道模型和信道容量信道容量公式的意義:為在噪聲信道中可靠通信確定傳輸速率的上限值。71當(dāng)速率且時(shí)，正交波形集能達(dá)到信道容量的邊界。

只要，若使差錯(cuò)概率就可以任意小。只要，對(duì)于正交信號(hào)，通過增加波形數(shù)M可以使差錯(cuò)概率PM任意小。6.6用正交信號(hào)獲取信道容量回顧：在無限帶寬的AWGN信道上，M元正交信號(hào)PM的邊界值:（推導(dǎo)從略）信道模型和信道容量C

：無限帶寬AWGN信道容量

R：比特率72稱為無限帶寬AWGN信道的信道可靠性函數(shù)。其中：

在M較大時(shí)，可靠性函數(shù)E(R)決定了數(shù)字信號(hào)在無限帶寬AWGN信道傳輸時(shí)，差錯(cuò)概率呈指數(shù)變化。將前面的式子表示為：信道模型和信道容量73注意：該差距是尋找更有效的信號(hào)波形的源動(dòng)力采用編碼的波形能可觀地減小這個(gè)差距！信道模型和信道容量R<C時(shí)，增加正交信號(hào)數(shù)目M可以使PM任意小。但實(shí)際得到的性能與信道容量公式算出的性能之間存在較大差距例如：相干檢測(cè)：M=16的正交信號(hào)，Pe=10-5時(shí)，需要SNR=7.5dB信道容量公式結(jié)果：C/w=0.5條件下，SNR為-0.8dB就能可靠傳輸。兩者之間存在8.3dB/比特的差距！746.8

信道截止速率基于截止速率的通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)75基于M元二進(jìn)制編碼信號(hào)的隨機(jī)編碼映射碼字Ci對(duì)應(yīng)的信號(hào)波形：每個(gè)波形與一個(gè)n維矢量相對(duì)應(yīng)：一共有M個(gè)碼字；與n維空間中超立方體的某個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)。其中：隨機(jī)選擇編碼編碼過程:輸入k個(gè)比特輸出n個(gè)比特：碼字C編碼器碼字：每個(gè)碼字長(zhǎng)度為n(n維）每比特→二進(jìn)制PSK定義：——符號(hào)率n=DT是信號(hào)空間的維數(shù)。（M元：M個(gè)二進(jìn)制碼字）每個(gè)碼字在T時(shí)間內(nèi)傳送。76用作編碼信號(hào)的頂點(diǎn)數(shù)與總頂點(diǎn)數(shù)之比：只有M=2k=2RT個(gè)被用來傳送信息。問題：

能否在全部2n=2DT個(gè)可用頂點(diǎn)中選出一個(gè)含M=2RT個(gè)頂點(diǎn)的子集，使得當(dāng)T

時(shí)（等效于n→∞，∵n=DT），差錯(cuò)概率Pe0？如果D>R，當(dāng)T→時(shí)，F(xiàn)→0隨機(jī)選擇編碼n維空間

超立方體總共有2n=2DT個(gè)頂點(diǎn)可行性：,選出具有最小距離的M個(gè)信號(hào)波形是可能的最小距離隨T→而增大，從而使Pe→0假設(shè)：進(jìn)入編碼器的信息速率為Rbit/s，每次編碼k比特：k=RT共需要M=2k=2RT種編碼波形信號(hào)77隨機(jī)地選如何選？第m個(gè)碼({si}m)被隨機(jī)選中的概率：假設(shè)與該碼對(duì)應(yīng)的條件差錯(cuò)概率為：隨機(jī)選擇編碼有種不同的選法！每一種選擇都構(gòu)成一種碼。假設(shè)M個(gè)編碼波形是隨機(jī)地從2nM個(gè)候選碼集中選取的。2nM個(gè)候選碼集中選取M個(gè)隨機(jī)地在整個(gè)碼集上的平均差錯(cuò)概率：78而有些碼的選擇會(huì)小于計(jì)算的上邊界，令T→時(shí)，，那么也必有：如果計(jì)算出的上邊界，該邊界對(duì)于的碼照樣成立?！捌骄铄e(cuò)概率”的含義意味著：討論隨機(jī)選擇編碼有些碼的選擇會(huì)大于啟示：計(jì)算的上邊界：考慮k比特消息：思路：求出該k比特的差錯(cuò)概率，然后將條件差錯(cuò)概率在整個(gè)碼集上的平均。K比特消息xk用{si}m碼傳送時(shí)的條件差錯(cuò)概率({si}m)({si}l)這些碼對(duì)應(yīng)于:k比特的差錯(cuò)概率：79結(jié)果：為了簡(jiǎn)化，定義:

截止速率注意：截止速率R0是SNR（c

/N0）的單調(diào)函數(shù)。隨機(jī)選擇編碼對(duì)所有的k比特信息序列求平均80當(dāng)碼率小于截止速率Rc<R0，碼長(zhǎng)n時(shí)，由于n時(shí)，可以任意小，因此，在2nm個(gè)碼集里一定存在若干個(gè)碼，它們的差錯(cuò)概率不大于2.

由其中：隨機(jī)選擇編碼結(jié)論：好碼必定存在！D=n/T—碼率結(jié)論:只要信息速率R<DR0，當(dāng)T時(shí)，1.

由：下面討論信息速率、碼速率、信噪比與截止速率對(duì)性能的影響81隨機(jī)選擇編碼3.

從每比特信噪比的角度來看平均差錯(cuò)率結(jié)論：每個(gè)信號(hào)波形的能量：其中：當(dāng)信號(hào)維數(shù)足夠大時(shí)，M元二進(jìn)碼的Pe與M元正交信號(hào)的Pe相當(dāng)。都是SNR的函數(shù)。參數(shù)0作為Rcb函數(shù)曲線注意：0：與截止速率R0有關(guān)的SNRc：每個(gè)碼字比特能量b：每個(gè)信息比特能量824.

信號(hào)維數(shù)參數(shù)D的討論D=n/TD與傳輸信號(hào)所需的信道帶寬成正比抽樣定理（維數(shù)定理）：隨機(jī)選擇編碼83截止速率與AWGN信道容量C的比較考慮到：定義：AWGN信道容量:——?dú)w一化信道容量隨機(jī)選擇編碼——表示截止速率R0的上邊界，經(jīng)推導(dǎo)：（推導(dǎo)從略）84討論：●

由于Cn是傳輸速率R/D的最終上限，必有：R0*<Cn●

對(duì)于小值，R0與Cn之差約3dB

因此，采用隨機(jī)選擇、最佳平均功率限制、多幅度信號(hào)得到的速率函數(shù)R0*位于信道容量的3dB范圍內(nèi)。隨機(jī)選擇編碼比較：R0*—Cn85圍繞兩種截止速率展開討論Q電平量化的截止速率RQ不作量化軟判決譯碼的截止速率R0檢測(cè)器判決相當(dāng)于一個(gè)量化過程；兩種判決方法：硬判決和軟判決，對(duì)應(yīng)于不同的量化電平Q設(shè)置；M進(jìn)制信號(hào)的量化：Q=M——硬判決；Q>M——軟判決；

Q=——不作量化回顧本小節(jié)內(nèi)容：主要討論運(yùn)行于截止速率R0（或RQ）時(shí)，對(duì)通信系統(tǒng)的性能要求?；诮刂顾俾实耐ㄐ偶僭O(shè)信道模型：轉(zhuǎn)移概率：P(i/j)q種輸入符號(hào)：{0,1,…q-1}，各輸入符號(hào)發(fā)生概率{pj}Q種輸出符號(hào)：{0,1,…Q-1}，Qqj=0,1,…q-1；i=0,1,…Q-1基于截止速率的通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)86對(duì)于離散無記憶信道：j=0,1RQ

—Q電平量化器的截止速率一般性結(jié)論：如：二進(jìn)制AWGN信道基于截止速率的通信抽樣瞬間相關(guān)器的輸出：無量化軟判決時(shí)：由RQ,令Q未量化（軟判決）譯碼器的截止速率R0第1個(gè)求和號(hào)改為積分轉(zhuǎn)移概率P(i|j)取決于信道噪聲特性、量化等因素。n：碼塊長(zhǎng)度；R：信息速率；D：符號(hào)率（如同前面推導(dǎo)）推導(dǎo)中，定義：87例：AWGN信道中當(dāng)接收機(jī)將輸出量化成Q=2,4,8電平時(shí)，二進(jìn)制PSK輸出信號(hào)的性能的比較假設(shè)：量化器電平設(shè)置在：量化器步長(zhǎng)；b：量化器的比特?cái)?shù)選擇的策略：選擇h，使運(yùn)行于碼率R0上所要求的每比特SNRb

最小.基于截止速率的通信考慮b=1（硬判決譯碼），b=2,b=3相當(dāng)于Q=2,4,8電平量化Q電平量化未量化軟判決譯碼直接利用前面的結(jié)論：1.不同量化步長(zhǎng)、不同量化電平數(shù)設(shè)置對(duì)系統(tǒng)性能的影響88采用步長(zhǎng)h

=1，2比特量化（Q=4）的軟判決譯碼，與硬判決譯碼（1比特）相比，可以獲得1.4dB的增益；采用步長(zhǎng)h

=0.5，3比特量化（Q=8）時(shí)，又可增添0.4dB增益；用3比特量化器，獲得的結(jié)果與未量化軟判決譯碼極限值之差在0.2dB以內(nèi)基于截止速率的通信AWGN信道、二進(jìn)制PSK調(diào)制、碼率R=R0

或R=RQ時(shí)，量化對(duì)編碼的通信系統(tǒng)性能的影響：089硬判決譯碼（Q=2）時(shí)二元PSK經(jīng)過AWGN信道，差錯(cuò)概率：2.二進(jìn)制信號(hào)硬/軟判決譯碼，當(dāng)運(yùn)行于截止速率時(shí)，所要求的最小SNR令R2=Rc（即運(yùn)行于截止速率下），代入p；滿足上述方程的b

就是運(yùn)行速率等于截止速率R2時(shí)所要求的最小SNR。軟判決譯碼（Q=）時(shí)在截止速率公式中，令R0=Rc，得到：R0=Rc滿足上式的b

就是運(yùn)行速率等于截止速率R0時(shí)所要求的最小SNR?；诮刂顾俾实耐ㄐ庞蓂=2，Q=2代入前面公式得：90R0（軟判決譯碼）R2（硬判決譯碼）比較結(jié)論：對(duì)于任意給出的Rc值（即Rc固定），硬判決和軟判決譯碼每比特所需SNR的差值，在AWGN中約為2dB左右。二進(jìn)制信號(hào)情況下，軟、硬判決譯碼的比較：其中每比特相應(yīng)的信噪比SNR：基于截止速率的通信截止速率與SNR的關(guān)系913.非二進(jìn)制碼與M元信號(hào)（M=q）結(jié)合的情況：M輸入、M輸出（未量化）的信道的截止速率為：假設(shè)M個(gè)信號(hào)正交，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則：與發(fā)送信號(hào)對(duì)應(yīng)的匹配濾波器輸出的PDF代入上式、化簡(jiǎn)得M元輸入、M元矢量輸出、未量化信道截止速率：基于截止速率的通信M個(gè)匹配濾波器的輸出直接作為檢測(cè)器輸出y=[y1,y2,…yM]92對(duì)于M元正交信號(hào)的相干檢測(cè)：—接收的每波形能量；Rw—信息速率，單位：比特/波形b=b/N0—每比特SNR其中：基于截止速率的通信討論：(1)M=2正交信號(hào)時(shí)：比雙極性信號(hào)的截止速率差3dB（2）M元正交信號(hào)，當(dāng)以截止速率運(yùn)行時(shí)：令Rw=R0：注意：對(duì)于M的任何取值，曲線飽和于R0=log2M處。93（3）M的極限情況比特/波形結(jié)論：以速率R0傳送信號(hào)所需功率比Shannon極限大3dB。結(jié)論：M→的極限情況下，截止速率是無限帶寬AWGN信道容量的一半?？紤]到：M→時(shí)，運(yùn)行于截止速率R0所要求的最小SNR代入基于截止速率的通信第7、8章

信道編碼線性分組碼基于網(wǎng)格和圖形的編碼95線性分組碼96線性分組碼線性分組碼基本概念：由一組固定長(zhǎng)度的碼字矢量組成。碼長(zhǎng)——矢量元數(shù)的個(gè)數(shù)n。碼字元素選自由q個(gè)元素組成的字符集（二進(jìn)制分組碼，非二進(jìn)制分組碼）長(zhǎng)度為n的碼字2n個(gè)碼字k個(gè)信息比特2k種組合(n,k)碼映射信息比特與碼字之間的關(guān)系碼率：更一般地：對(duì)于一個(gè)q進(jìn)制碼，存在qn個(gè)可能的碼字，可以選擇其中一個(gè)由M=2k

個(gè)碼字構(gòu)成的子集來傳送k比特長(zhǎng)的信息分組。97任何碼字都是G的矢量的線性組合：生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣假設(shè)：k個(gè)信息比特碼字（n位）編碼運(yùn)算：矩陣形式：j=1,…nG——

生成矩陣線性分組碼可以用一組n個(gè)方程來表示：98其中：編碼電路：編碼器輸出碼字：線性分組碼例:

(7,4)碼生成矩陣

由k級(jí)移位寄存器和n-k個(gè)模2加法器組成99(n,k)線性碼的對(duì)偶碼是一種(n,n-k)線性碼，有2n-k個(gè)碼矢量，屬于(n,k)碼的零空間。生成矩陣H，由零空間中的n-k個(gè)線性無關(guān)的碼矢量組成由于對(duì)(n,k)碼的每個(gè)碼字都成立，于是：(n,k)碼線性分組碼(n,k)碼任意一個(gè)碼字Cm都正交于矩陣H的每一行對(duì)偶碼(n,n-k)正交于H矩陣用于譯碼器檢查收到的碼字Y是否滿足

YHT=0H矩陣稱為(n,k)碼的一致校驗(yàn)矩陣（簡(jiǎn)稱校驗(yàn)矩陣）100例：(7，4)系統(tǒng)碼，G如前所述H矩陣：由CmHT=0

可得：CmHT的積等于信息位的線性組合加上相應(yīng)的校驗(yàn)位，與前面的結(jié)果等效。線性分組碼101循環(huán)碼是線性碼的一個(gè)子集。碼字碼字C的所有循環(huán)移位都是碼字碼字多項(xiàng)式：

n-1次多項(xiàng)式，用它與碼字C聯(lián)系起來特點(diǎn)：若兩邊同乘p：pC(p)除于pn+1：其中：C1(p)代表碼字：C1(p)是pC(p)除于pn+1的余式，因此：循環(huán)移位得到線性分組碼102循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(t)

(n-k次)g(t)是多項(xiàng)式（pn+1）的因子，其通式為：定義：k比特的信息多項(xiàng)式：結(jié)論：則乘積

X(p)g(p)

是一個(gè)

n-1次多項(xiàng)式，它代表一個(gè)碼字循環(huán)碼可以由唯一的g(p)多項(xiàng)式乘于2k

個(gè)消息多項(xiàng)式生成。線性分組碼g(p)稱為(n,k)碼的生成多項(xiàng)式，次數(shù)為

n-k

，并可整除pn+1。103BCH碼的生成多項(xiàng)式由的因式構(gòu)成BCH碼特點(diǎn)：循環(huán)碼的一個(gè)大類；（二進(jìn)制，非二進(jìn)制）二進(jìn)制BCH碼：m和t是任意正整數(shù)，非二進(jìn)制BCH碼：包括Reed-Solomon碼線性分組碼104線性分組碼的譯碼軟判決譯碼不進(jìn)行量化，直接對(duì)濾波器輸出進(jìn)行譯碼；譯碼按照最大相關(guān)度量準(zhǔn)則進(jìn)行。制約因素:要形成M個(gè)相關(guān)度量，比較這些量并獲取最大值的過程中，需要巨大的計(jì)算量。硬判決譯碼先將模擬樣值量化，然后用數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)譯碼。（軟判決譯碼，硬判決譯碼）線性分組碼譯碼過程計(jì)算接收碼字與2k個(gè)可能發(fā)送碼字之間的距離（硬判決——漢明距離；軟判決——?dú)W氏距離）選擇離接收碼字最接近的碼字作為判決輸出。105卷積碼106二進(jìn)制數(shù)據(jù)移位輸入到編碼器，沿著移存器每次移動(dòng)k比特；每個(gè)k比特長(zhǎng)的輸入序列對(duì)應(yīng)一個(gè)n比特長(zhǎng)的輸出序列；碼率：Rc=k/nK（移存器的級(jí)數(shù)）稱為卷積碼的約束長(zhǎng)度。編碼器由K級(jí)移存器（每級(jí)k比特）和n個(gè)模2加法器組成編碼過程：卷積碼107代數(shù)方法

——生成矩陣、生成矢量圖形方法

——樹圖、網(wǎng)格圖、狀態(tài)圖卷積碼的描述方法：卷積碼例：K=3，k=1，n=3的卷積編碼器狀態(tài)圖網(wǎng)格圖樹圖108卷積碼譯碼卷積碼沒有固定長(zhǎng)度，有記憶，采用序列譯碼；譯碼器是一個(gè)最大似然序列估計(jì)器；譯碼過程：搜遍網(wǎng)格圖找出最可能的序列譯碼度量：硬判決——漢明距離；軟判決——?dú)W氏距離卷積碼109級(jí)聯(lián)碼分組碼與分組碼級(jí)聯(lián)分組碼與卷積碼級(jí)聯(lián)卷積碼與卷積碼級(jí)聯(lián)分組碼——RS碼卷積碼——雙k碼外碼：常選用非二進(jìn)制碼內(nèi)碼：可選用二進(jìn)制碼，也可選用非二進(jìn)制碼；可以是分組碼，也可以是卷積碼。級(jí)聯(lián)碼級(jí)聯(lián)碼例：級(jí)聯(lián)分組碼110編碼器結(jié)構(gòu)：由兩個(gè)并聯(lián)的卷積編碼器組成，第2級(jí)編碼器前串接了一個(gè)交織器交織器：信息比特進(jìn)入下一級(jí)編碼器之前對(duì)它們重新排序?qū)ΧM(jìn)制卷積編碼器輸出的校驗(yàn)比特進(jìn)行刪余處理，目的是為了提高碼率級(jí)聯(lián)碼帶交織的并行級(jí)聯(lián)卷積碼——Turbo碼

1993，Berrou等人提出111特色之一：兩個(gè)編碼器與交織結(jié)合的效果：使碼字變得相對(duì)稀疏，即各碼字極少有離它很靠近的鄰碼。交織導(dǎo)致緊鄰碼字?jǐn)?shù)量的減少，由此使編碼增益提高。已經(jīng)證明，當(dāng)交織器長(zhǎng)度為N時(shí)，緊鄰碼字的數(shù)目減少N倍特色之二：使用基于MAP準(zhǔn)則的迭代譯碼級(jí)聯(lián)碼112Turbo碼的性能影響Turbo碼性能的一個(gè)重要因素——交織長(zhǎng)度（交織增益）大交織產(chǎn)生的問題：譯碼時(shí)延；計(jì)算復(fù)雜帶交織的串行級(jí)聯(lián)卷積碼

1998年Benedetto另一種級(jí)聯(lián)卷積碼在低誤碼率時(shí)，具有比并行級(jí)聯(lián)碼更好的性能使用足夠大的交織器，采用MAP迭代譯碼Turbo碼的性能可以非常接近S