第七章應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)分析

主講:符春生§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念一、點的應(yīng)力狀態(tài)1、什么叫一點的應(yīng)力狀態(tài)構(gòu)件內(nèi)不同截面上應(yīng)力不同；經(jīng)過一點不同方位截面上的應(yīng)力情況不同。同一截面不同點的應(yīng)力的也不同；FFxnTTτσ1σ3

一點處各方位截面上的應(yīng)力情況的集合——該點的應(yīng)力狀態(tài)。2、為什么要研究一點的應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)的強度計算σmax≤[σ]

τmax≤[τ]梁截面上的任意點的強度如何計算？分析材料破壞機理TTFFFF單元體sstt各面上的應(yīng)力均勻分布相互平行的一對面上應(yīng)力大小相等、符號相同3、怎么研究一點的應(yīng)力狀態(tài)滿足：力的平衡條件切應(yīng)力互等定理主平面：切應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力

σ1、σ

2、

σ

3。當(dāng)一個主應(yīng)力不為零，其余兩個主應(yīng)力為零——單向應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)兩個主應(yīng)力不為零，其余一個主應(yīng)力為零——二向應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)三個主應(yīng)力不為零——三向應(yīng)力狀態(tài)/

空間應(yīng)力狀態(tài)。平面應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)二、主平面、主應(yīng)力三、應(yīng)力狀態(tài)分類syzxytytxsysxtxtysx一、解析法:1.任意斜面上的應(yīng)力abcdfenaayxsxsxsysytytytxtx§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析tnbfe(設(shè)ef的面積為dA)α角以從x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜面的法線為正應(yīng)力的符號規(guī)定同前列平衡方程：tnbfe——平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的σα和τα計算公式。tnbfe——平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的σα和τα計算公式。對于與ef

垂直的截面上的應(yīng)力，

——任意兩個互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)，切應(yīng)力服從切應(yīng)力互等定理。xy2、主平面、主應(yīng)力σ1σ2令τα︳α＝α0＝0yx主單元體二、圖解法(應(yīng)力圓法)①②1.應(yīng)力圓若以σ為橫軸，τ為縱軸，則該圓的圓心在處，半徑為。這樣的圓——Mohr應(yīng)力圓（莫爾圓）。2.作應(yīng)力圓的方法COyxyx3.任意斜截面上的應(yīng)力F

應(yīng)力圓上點的坐標(biāo)和斜截面上的應(yīng)力有著一一對應(yīng)的關(guān)系。naaECOyx4.主平面和主應(yīng)力COFEA1A2

作應(yīng)力圓時，應(yīng)注意以下三個關(guān)系：

①點面對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上一點，對應(yīng)于單元體中某一截面。②起始對應(yīng)關(guān)系：在應(yīng)力圓上選擇哪個半徑作起始半徑，應(yīng)根據(jù)單元體的α角從哪根軸量。x軸~CD1半徑,y軸~CD2半徑。③轉(zhuǎn)向、轉(zhuǎn)角對應(yīng)關(guān)系：倆者轉(zhuǎn)向一致；當(dāng)單元體為α?xí)r，應(yīng)力圓上自起始半徑量2α角。作應(yīng)力圓量取線段OB1、OB2、B1D1和B2D2時，需根據(jù)單元體上相應(yīng)的應(yīng)力正負，量取正、負坐標(biāo)。例1：圖示單元體上，有σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。試用解析法和圖解法確定α1=30°和α2=-40°兩截面上的應(yīng)力,且求主應(yīng)力和主方向。40°30°解：1°解析法例1續(xù)：圖示單元體上，有σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。試用解析法和圖解法確定α1=30°和α2=-40°兩截面上的應(yīng)力,且求主應(yīng)力和主方向。40°30°解：1°解析法σ1σ220.869.2例1續(xù)：圖示單元體上，有σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。試用解析法和圖解法確定α1=30°和α2=-40°兩截面上的應(yīng)力,且求主應(yīng)力和主方向。解：40°30°2°圖解法COE1E2A1A32α020.869.2F1F232MPa=-=37MPa例2：圖示單元體上，σx=10MPa，σy=-4MPa，試用圖解法求α=-30°面上的應(yīng)力。解:σ-30°

=

OF=6.5MPaτ-30°=EF=-6MPa10MPa4MPa30°作應(yīng)力圓D1D260°EFcσoτ例3：圖示單元體上，σx=-6MPa，τx=-3MPa，求主應(yīng)力大小和主平面位置。(a)CO(b)22.567.5(c)解：（1）圖解法?！螪1CA1=2α0=135°（2）解析法。σ1

σ3

1.24-7.24MPatan2α0=-2τx/σx=-1，α0=67.5oσ1=OA1=1.3

MPa，σ3=OA3=-7.25

MPa§7-3基本變形桿件的應(yīng)力狀態(tài)分析及主應(yīng)力跡線的概念一、拉壓桿件應(yīng)力狀態(tài)分析FFxnD1D2Oσ最大切應(yīng)力出現(xiàn)在哪個截面上？BB′C2αE二、

扭轉(zhuǎn)桿件應(yīng)力狀態(tài)分析TTnx最大正應(yīng)力出現(xiàn)在哪個截面上？τσ1σ3D1D2σ1σ3Oσ90°bedcayyyyymmσeσaτbτcτdσdσbxxxxxbdcσ1σ3梁內(nèi)任意一點的主應(yīng)力為：

三、梁的應(yīng)力狀態(tài)分析qmabcdemF1F2bedcayyyyymmσeσaτbτcτdσdσbxxxxxbdc1、梁上任一點均有兩個主應(yīng)力，一個主拉應(yīng)力，一個主壓應(yīng)力。2、主拉壓應(yīng)力的大小從梁頂（底）到梁底（頂）均連續(xù)變化。qmabcdemF1F2四、主應(yīng)力軌跡線（跡線）的概念彎起鋼筋縱向鋼筋q受荷載作用的梁縱向平面內(nèi)可畫出兩組曲線，其中一組曲線上每一點的切線方向是該點處主拉應(yīng)力的方向，另一組曲線上每一點的切線方向則是主壓應(yīng)力的方向。這樣的曲線就稱為梁的主應(yīng)力軌跡線。主拉壓應(yīng)力跡線的特點：中性層處（純剪切應(yīng)力狀態(tài)），主應(yīng)力跡線與軸線成±450；任一點的主拉應(yīng)力跡線與主壓應(yīng)力跡線正交；梁底、頂（單向應(yīng)力狀態(tài)），主應(yīng)力跡線平行或垂直于梁的上下邊界線；剪力為零的截面（單向應(yīng)力狀態(tài)），主應(yīng)力跡線平行或垂直于軸線；§7-4三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力一、一般三向狀態(tài)zxy獨立的應(yīng)力分量有符號規(guī)定：τxy中，x表示所在平面（之法向），y表示應(yīng)力指向。法向為坐標(biāo)正向時，指向坐標(biāo)軸正方向的應(yīng)力為正；法向為坐標(biāo)負向時，指向坐標(biāo)軸負方向的應(yīng)力為正。zxy二、主應(yīng)力與主平面平面應(yīng)力狀態(tài)：必存在兩個相互垂直的主平面空間應(yīng)力狀態(tài)：必存在三個相互垂直的主平面按大小記為σ1、σ2、σ3σmax=σ1，σmin=σ3τmax=（σ1

-σ3）/2三、最大應(yīng)力EAFOBabcστ一、廣義胡克定律單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律：§7-5

廣義胡克定律、體積應(yīng)變小變形、各向同性、線彈性條件下，疊加原理成立，因此單向應(yīng)力狀態(tài)下的橫向應(yīng)變：單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律：單向應(yīng)力狀態(tài)下的橫向應(yīng)變：所以引起

方向應(yīng)變?yōu)橐鸱较驊?yīng)變?yōu)橐?/p>

方向應(yīng)變?yōu)槿驊?yīng)力狀態(tài):廣義胡克定律因為三個主平面相互垂直，所以對于一般的三向應(yīng)力狀態(tài):zxy只要x、y、z相互垂直，廣義胡克定律即成立。1.線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)力影響不計；2.切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，正應(yīng)力影響不計。平面應(yīng)力狀態(tài)廣義胡克定律用主應(yīng)變表示主應(yīng)力:例4：已知一受力構(gòu)件中某點處為σ2=0的二向應(yīng)力狀態(tài),測得兩個主應(yīng)變ε1=240×10-6,ε3=-160×10-6

。構(gòu)件材料為Q235鋼,彈性常數(shù)E=2.1×105MPa,ν=0.3。求:該點的主應(yīng)力和主應(yīng)變ε2。解:例5：在一槽形鋼塊內(nèi)，放置一邊長為10mm的立方體鋁塊。鋁塊與槽壁間無間隙無摩擦。當(dāng)鋁塊受到合力為F=6kN的均布壓力時，試求鋁塊內(nèi)任一點的應(yīng)力。鋁塊的泊松比ν=0.33；假設(shè)鋼塊不變形。解：F1010例6：已知桿表面與母線成-450方向的線應(yīng)變ε-45°=260×10-6

、彈性常數(shù)E=200GPa、ν=0.3，直徑d=80mm;求外力偶矩T。解：τσ1σ3TT45°=4.02kN.m例7：求圖示拉桿在450方向的線應(yīng)變。已知F、E、A、ν。σxx1y1解：σx1σy1σx=F/AFF45°二、體積應(yīng)變dxdzdy單位體積的體積變化——體積應(yīng)變：切應(yīng)力不引起體積改變。因此對任意應(yīng)力狀態(tài)，有應(yīng)力不變量——純剪切應(yīng)力狀態(tài)如果結(jié)論：在任意應(yīng)力狀態(tài)下，一點處的體積應(yīng)變與切應(yīng)力無關(guān);而與通過該點的任意三個相互垂直平面上的正應(yīng)力之和成正比;如果三個主應(yīng)力之和為零，則體積應(yīng)變?yōu)榱?，即體積不變。§7-6應(yīng)變能和應(yīng)變能密度一、定義彈性體在外力作用下，產(chǎn)生變形，外力在相應(yīng)的位移上要做功，外力做的功以變形能的形式積蓄在彈性體內(nèi)。應(yīng)變能密度vε

：應(yīng)變能Vε：不計能量損耗，應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力做的功。單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，即應(yīng)變能密度。二、軸向拉壓桿件的應(yīng)變能和應(yīng)變能密度Fll1FAOBF△ld(△l)以上拉桿的應(yīng)變能公式也適用于壓桿，而應(yīng)變能密度的公式則適用于所有的單向應(yīng)力狀態(tài).應(yīng)變能密度應(yīng)變能三、三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度（a）與單元體積變化相應(yīng)的那一部分應(yīng)變能密度——體積改變能密度vv

；與單元形狀改變相應(yīng)的那一部分應(yīng)變能密度—形狀改變能密度vd；=+體積應(yīng)變θ為零體積改變能密度形狀改變能密度§7-7

平面應(yīng)變狀態(tài)分析一、應(yīng)力﹑應(yīng)變xyαβ（以直角減小為正）xyoαx1y1直角x1oy1的改變二、平面上任意方向的應(yīng)變D″1).線應(yīng)變αABCDdxD′B′2).切應(yīng)變對角線AD

轉(zhuǎn)過到AD′D′B′αABCDdxD″2).切應(yīng)變與AD垂直的微小線段AQ的轉(zhuǎn)角QD′B′αABCD負號表示與轉(zhuǎn)向相反D′B′αABCDQαABCDdyD’D"C’QαABCDQD′γxyD″三、主平面與主應(yīng)變令γα︱α=α0