學(xué)業(yè)分層測評(八)(建議用時：45分鐘)[達標必做]一、選擇題1．下列說法正確的個數(shù)是()①若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；②若a∥b，則a，b與c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，則a∥c.A．3 B．2C．1 D．0【解析】①中a與c也可能異面，③中a與c也可能相交或異面，②正確．【答案】C2．a(chǎn)、b為異面直線是指①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立． ()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合異面直線的定義．【答案】D3．下列選項中，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是()【導(dǎo)學(xué)號：09960052】【解析】易知選項A，B中PQ∥RS，選項D中RS與PQ相交，只有選項C中RS與PQ是異面直線．【答案】C4．如圖2-1-19所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、B1B、B1C1的中點，則異面直線EF與圖2-1-19A．45° B．60°C．90° D．120°【解析】連接A1B，BC1，因為E、F、G、H分別是AA1、AB、BB1、B1C1A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角為異面直線EF與GH所成角，連接A1C1知，△A1BC1為正三角形，故∠A1BC1【答案】B5．如圖2-1-20，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是圖2-1-20A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AEC．AE與B1C1D．AE與B1C1【解析】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，△【答案】C二、填空題6．如圖2-1-21所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1圖2-1-21①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認為正確結(jié)論的序號都填上)．【解析】由異面直線的定義知③④正確．【答案】③④7．如圖2-1-22，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點，∠GEF＝120°，則BD和AC所成角的度數(shù)為________．圖2-1-22【解析】依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其補角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.【答案】60°三、解答題8．(2023·重慶高一檢測)如圖2-1-23，長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1(1)求證：D1E∥BF；(2)求證：∠B1BF＝∠D1EA1.圖2-1-23【證明】(1)取BB1的中點M，連接EM，C1M在矩形ABB1A1中，易得EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))A1B1，∵A1B1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1D1，∴EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1D1，∴四邊形EMC1D1為平行四邊形，∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中，易得MBeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1F，∴BFeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF與∠D1EA1的對應(yīng)邊方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．(2023·沈陽高一檢測)如圖2-1-24，正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．【導(dǎo)學(xué)號：09960053】圖2-1-24【解】(1)如圖，因為CG∥BF，所以∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)連接FH，因為HDeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))EA，EAeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))FB，所以HDeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又依題意知O為AH的中點，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角是30°.[自我挑戰(zhàn)]10．(2023·煙臺高一檢測)如圖2-1-25是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，【導(dǎo)學(xué)號：09960054】圖2-1-25①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN是異面直線．以上四個命題中，正確命題的序號是()A．①②③ B．②④C．③④ D．②③④【解析】由題意畫出正方體的圖形如圖：顯然①②不正確；③CN與BM成60°角，即∠ANC＝60°，正確；④正確．【答案】C11．在四面體A-BCD中，E、F分別是AB、CD的中點．若BD、AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1.求EF的長度．【解】如圖，取BC中點O，連接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC、BD所成的